Número de intersección

Noción generalizada de conteo de intersecciones de curvas

En matemáticas , y especialmente en geometría algebraica , el número de intersección generaliza la noción intuitiva de contar el número de veces que dos curvas se intersecan a dimensiones superiores, curvas múltiples (más de 2) y contabilizar adecuadamente la tangencia . Se necesita una definición de número de intersección para poder enunciar resultados como el teorema de Bézout .

El número de intersección es obvio en ciertos casos, como la intersección de los ejes x e y en un plano, que debería ser uno. La complejidad entra en juego cuando se calculan intersecciones en puntos de tangencia y en intersecciones que no son simplemente puntos, sino que tienen una dimensión superior. Por ejemplo, si un plano es tangente a una superficie a lo largo de una línea, el número de intersección a lo largo de la línea debería ser al menos dos. Estas cuestiones se discuten sistemáticamente en la teoría de intersecciones .

Definición de superficies de Riemann

Sea X una superficie de Riemann . Entonces, el número de intersección de dos curvas cerradas en X tiene una definición simple en términos de una integral. Para cada curva cerrada c en X (es decir, función suave ), podemos asociar una forma diferencial de soporte compacto, el dual de Poincaré de c , con la propiedad de que las integrales a lo largo de c se pueden calcular mediante integrales sobre X : ${\displaystyle c:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$, para cada diferencial (1-) cerrado en X , ${\displaystyle \alpha }$

donde es el producto de cuña de las diferenciales, y es la estrella de Hodge . Entonces, el número de intersección de dos curvas cerradas, a y b , en X se define como ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$.

Tienen una definición intuitiva como sigue. Son una especie de delta de Dirac a lo largo de la curva c , lograda tomando la diferencial de una función de escalón unitario que cae de 1 a 0 a lo largo de c . Más formalmente, comenzamos definiendo para una curva cerrada simple c en X , una función f _c haciendo que sea una pequeña franja alrededor de c en forma de anillo. Nombra las partes izquierda y derecha de como y . Luego toma una subfranja más pequeña alrededor de c , , con partes izquierda y derecha y . Luego define f _c como ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega \setminus c}$ ${\displaystyle \Omega ^{+}}$ ${\displaystyle \Omega ^{-}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}^{+}}$

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$.

La definición se amplía entonces a curvas cerradas arbitrarias. Toda curva cerrada c en X es homóloga a para algunas curvas cerradas simples c _i , es decir, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$, para cada diferencial . ${\displaystyle \omega }$

Definir el por ${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$.

Definición de variedades algebraicas

La definición constructiva habitual en el caso de variedades algebraicas se realiza por pasos. La definición que se da a continuación corresponde al número de intersección de divisores en una variedad no singular X .

1. El único número de intersección que se puede calcular directamente a partir de la definición es la intersección de hipersuperficies (subvariedades de X de codimensión uno) que están en posición general en x . Específicamente, supongamos que tenemos una variedad no singular X , y n hipersuperficies Z ₁ , ..., Z _n que tienen ecuaciones locales f ₁ , ..., f _n cerca de x para polinomios f _i ( t ₁ , ..., t _n ), tales que se cumple lo siguiente:

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$.
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$para todo i (es decir, x está en la intersección de las hipersuperficies).
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$(es decir, los divisores están en posición general).
• Los no son singulares en x . ${\displaystyle f_{i}}$

Entonces el número de intersección en el punto x (llamado multiplicidad de intersección en x ) es

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})}$,

donde es el anillo local de X en x , y la dimensión es dimensión como un espacio vectorial k . Puede calcularse como la localización , donde es el ideal máximo de polinomios que se desvanecen en x , y U es un conjunto afín abierto que contiene a x y no contiene ninguna de las singularidades de f _i . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$

2. El número de intersección de hipersuperficies en posición general se define entonces como la suma de los números de intersección en cada punto de intersección.

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}$

3. Ampliar la definición a divisores efectivos por linealidad, es decir,

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$y . ${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})}$

4. Amplíe la definición a divisores arbitrarios en posición general notando que cada divisor tiene una expresión única como D = P – N para algunos divisores efectivos P y N . Entonces sea D _i = P _i – N _i , y use reglas de la forma

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

para transformar la intersección.

5. El número de intersección de divisores arbitrarios se define entonces utilizando un " lema móvil de Chow " que garantiza que podemos encontrar divisores linealmente equivalentes que estén en posición general, y que luego podamos intersecar.

Tenga en cuenta que la definición del número de intersección no depende del orden en que aparecen los divisores en el cálculo de este número.

Fórmula de Tor de Serre

Sean V y W dos subvariedades de una variedad proyectiva no singular X tales que dim( V ) + dim( W ) = dim( X ). Entonces esperamos que la intersección V ∩ W sea un conjunto finito de puntos. Si tratamos de contarlos, pueden surgir dos tipos de problemas. Primero, incluso si la dimensión esperada de V ∩ W es cero, la intersección real puede ser de una dimensión grande: por ejemplo, el número de autointersección de una línea proyectiva en un plano proyectivo . El segundo problema potencial es que incluso si la intersección es de dimensión cero, puede ser no transversal, por ejemplo, si V es una curva plana y W es una de sus líneas tangentes .

El primer problema requiere la maquinaria de la teoría de intersecciones , discutida anteriormente en detalle, que reemplaza V y W por subvariedades más convenientes usando el lema móvil . Por otro lado, el segundo problema se puede resolver directamente, sin mover V o W. En 1965, Jean-Pierre Serre describió cómo encontrar la multiplicidad de cada punto de intersección mediante métodos de álgebra conmutativa y álgebra homológica . ^[1] Esta conexión entre una noción geométrica de intersección y una noción homológica de un producto tensorial derivado ha sido influyente y condujo en particular a varias conjeturas homológicas en álgebra conmutativa .

La fórmula de Tor de Serre establece: sea X una variedad regular , V y W dos subvariedades de dimensión complementaria tales que V ∩ W es cero-dimensional. Para cualquier punto x ∈ V ∩ W , sea A el anillo local de x . Los haces de estructura de V y W en x corresponden a los ideales I , J ⊆ A . Entonces la multiplicidad de V ∩ W en el punto x es ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

donde length es la longitud de un módulo sobre un anillo local, y Tor es el funtor Tor . Cuando V y W pueden moverse a una posición transversal, esta fórmula homológica produce la respuesta esperada. Por ejemplo, si V y W se encuentran transversalmente en x , la multiplicidad es 1. Si V es una línea tangente en un punto x a una parábola W en un plano en un punto x , entonces la multiplicidad en x es 2.

Si tanto V como W están localmente recortados por secuencias regulares , por ejemplo si no son singulares , entonces en la fórmula anterior todos los Tor superiores se anulan, por lo que la multiplicidad es positiva. La positividad en el caso arbitrario es una de las conjeturas de multiplicidad de Serre .

Otras definiciones

La definición se puede generalizar enormemente, por ejemplo, a intersecciones a lo largo de subvariedades en lugar de sólo en puntos, o a variedades completas arbitrarias.

En topología algebraica, el número de intersección aparece como el dual de Poincaré del producto en copa . Específicamente, si dos variedades, X e Y , se intersecan transversalmente en una variedad M , la clase de homología de la intersección es el dual de Poincaré del producto en copa de los duales de Poincaré de X e Y . ${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$

Definición de número de intersección de Snapper-Kleiman

Existe un enfoque para el número de intersección, introducido por Snapper en 1959-60 y desarrollado posteriormente por Cartier y Kleiman, que define un número de intersección como una característica de Euler.

Sea X un esquema sobre un esquema S , Pic( X ) el grupo de Picard de X y G el grupo de Grothendieck de la categoría de haces coherentes sobre X cuyo soporte es propio sobre un subesquema artiniano de S .

Para cada L en Pic( X ), define el endomorfismo c ₁ ( L ) de G (llamado la primera clase de Chern de L ) por

${\displaystyle c_{1}(L)F=F-L^{-1}\otimes F.}$

Es aditivo en G ya que la tensificación con un fibrado lineal es exacta. También se tiene:

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})}$; en particular, y los desplazamientos diarios. ${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$ ${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1}$(Esto no es trivial y se desprende de un argumento de dévissage ).

El número de intersección

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

de los haces de líneas L _i 's se define entonces por:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

donde χ denota la característica de Euler . Alternativamente, se tiene por inducción:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Cada vez que F es fijo, es una funcional simétrica en L _i 's. ${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$

Si L _i = O _X ( D _i ) para algunos divisores de Cartier D _i 's, entonces escribiremos para el número de intersección. ${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$

Sea un morfismo de S -esquemas, fibrados lineales en X y F en G con . Entonces ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$ ${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$. ^[2]

Multiplicidades de intersección para curvas planas

Existe una función única que asigna a cada triplete formado por un par de curvas proyectivas, y , en y un punto , un número llamado multiplicidad de intersección de y en que satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle (P,Q,p)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[x,y]}$ ${\displaystyle p\in K^{2}}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p}$

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$si y solo si y tienen un factor común que es cero en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$si y solo si uno de o es distinto de cero (es decir, el punto no está en la intersección de las dos curvas) ${\displaystyle P(p)}$ ${\displaystyle Q(p)}$ ${\displaystyle p}$
4. ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$dónde ${\displaystyle p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$Para cualquiera ${\displaystyle R\in K[x,y]}$

Aunque estas propiedades caracterizan completamente la multiplicidad de intersecciones, en la práctica ésta se realiza de varias maneras diferentes.

Una realización de la multiplicidad de intersección es a través de la dimensión de un cierto espacio cociente del anillo de series de potencias . Haciendo un cambio de variables si es necesario, podemos suponer que . Sean y los polinomios que definen las curvas algebraicas que nos interesan. Si las ecuaciones originales se dan en forma homogénea, estas se pueden obtener al establecer . Sea el ideal de generado por y . La multiplicidad de intersección es la dimensión de como un espacio vectorial sobre . ${\displaystyle K[[x,y]]}$ ${\displaystyle p=(0,0)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle I=(P,Q)}$ ${\displaystyle K[[x,y]]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[[x,y]]/I}$ ${\displaystyle K}$

Otra realización de la multiplicidad de intersecciones proviene de la resultante de los dos polinomios y . En coordenadas donde , las curvas no tienen otras intersecciones con , y el grado de con respecto a es igual al grado total de , se puede definir como la potencia más alta de que divide la resultante de y (con y vistos como polinomios sobre ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p=(0,0)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[x]}$

La multiplicidad de intersecciones también se puede realizar como el número de intersecciones distintas que existen si las curvas se perturban ligeramente. Más específicamente, si y definen curvas que se intersecan solo una vez en el cierre de un conjunto abierto , entonces para un conjunto denso de , y son suaves y se intersecan transversalmente (es decir, tienen diferentes líneas tangentes) en exactamente algún número de puntos en . Decimos entonces que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$ ${\displaystyle P-\epsilon }$ ${\displaystyle Q-\delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$

Ejemplo

Considere la intersección del eje x con la parábola en el origen. ${\displaystyle y=x^{2}}$

Escribiendo y obtenemos ${\displaystyle P=y,}$ ${\displaystyle Q=y-x^{2},\ }$ ${\displaystyle p=(0,0)}$

${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2.\,}$

Por lo tanto, la multiplicidad de intersección es dos; es una tangencia ordinaria . De manera similar, se puede calcular que las curvas y con números enteros se intersecan en el origen con multiplicidad ${\displaystyle y=x^{m}}$ ${\displaystyle y=x^{n}}$ ${\displaystyle m>n\geq 0}$ ${\displaystyle n.}$

Intersecciones entre sí

Algunos de los números de intersección más interesantes para calcular son los números de autointersección . Esto significa que un divisor se mueve a otro divisor equivalente en posición general con respecto al primero, y los dos se intersecan. De esta manera, los números de autointersección pueden llegar a estar bien definidos, e incluso ser negativos.

Aplicaciones

El número de intersección está motivado en parte por el deseo de definir la intersección para satisfacer el teorema de Bézout .

El número de intersección surge en el estudio de los puntos fijos , que pueden definirse ingeniosamente como intersecciones de gráficos de funciones con diagonales . El cálculo de los números de intersección en los puntos fijos cuenta los puntos fijos con multiplicidad y conduce al teorema del punto fijo de Lefschetz en forma cuantitativa.

Notas

1. Serre, Jean-Pierre (1965). Algèbre locale, multiplicités . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 11. Springer-Verlag. págs.x+160.
2. Kollár 1996, capítulo VI. Proposición 2.11

Referencias

• William Fulton (1974). Curvas algebraicas . Serie de apuntes de matemáticas. WA Benjamin. págs. 74–83. ISBN 0-8053-3082-8.
• Robin Hartshorne (1977). Geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 52. ISBN. 0-387-90244-9.Apéndice A.
• William Fulton (1998). Teoría de la intersección (2.ª ed.). Springer. ISBN 9780387985497.
• Curvas algebraicas: Introducción a la geometría algebraica , de William Fulton con Richard Weiss. Nueva York: Benjamin, 1969. Reimpresión ed.: Redwood City, CA, EE. UU.: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3 . Texto completo en línea. 
• Hershel M. Farkas; Irwin Kra (1980). Superficies de Riemann . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 71. págs. 40-41, 55-56. ISBN. 0-387-90465-4.
• Kleiman, Steven L. (2005), "El esquema de Picard: Apéndice B.", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: American Mathematical Society , arXiv : math/0504020 , Bibcode :2005math......4020K, MR  2223410
• Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, Sr.  1440180