Producto de taza

Convierte la cohomología de un espacio en un anillo graduado

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el producto de copa es un método para unir dos cociclos de grado p y q para formar un cociclo compuesto de grado p + q . Esto define una operación de producto conmutativo graduado asociativo (y distributivo) en cohomología, convirtiendo la cohomología de un espacio X en un anillo graduado , H ^∗ ( X ), llamado anillo de cohomología . El producto de copa fue introducido en el trabajo de JW Alexander , Eduard Čech y Hassler Whitney de 1935 a 1938 y, en general, por Samuel Eilenberg en 1944.

Definición

En cohomología singular , el producto de copa es una construcción que da un producto en el anillo de cohomología graduada H ^∗ ( X ) de un espacio topológico X .

La construcción comienza con un producto de cocadenas : si es una p -cocadena y es una q -cocadena, entonces ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle \beta ^{q}}$

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

donde σ es un ( p + q ) - símplex singular y es la incrustación canónica del símplex abarcado por S en el -símplex cuyos vértices están indexados por . ${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$

De manera informal, es la cara frontal p -ésima y es la cara posterior q -ésima de σ, respectivamente. ${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$ ${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$

El colímite del producto de copa de las cocadenas y está dado por ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle \beta ^{q}}$

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

El producto de copa de dos cociclos es nuevamente un cociclo, y el producto de un colímite con un cociclo (en cualquier orden) es un colímite. La operación de producto de copa induce una operación bilineal en cohomología,

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

Propiedades

La operación del producto de taza en cohomología satisface la identidad

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

de modo que la multiplicación correspondiente es conmutativa graduada .

El producto de la taza es funcional , en el siguiente sentido: si

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

es una función continua, y

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

es el homomorfismo inducido en cohomología, entonces

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

para todas las clases α, β en H ^* ( Y ). En otras palabras, f ^* es un homomorfismo de anillo (graduado) .

Interpretación

Es posible visualizar el producto de taza como inducido a partir de la siguiente composición: ${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$

en términos de los complejos de cadena de y , donde el primer mapa es el mapa de Künneth y el segundo es el mapa inducido por la diagonal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$

Esta composición pasa al cociente para dar una función bien definida en términos de cohomología, este es el producto de taza. Este enfoque explica la existencia de un producto de taza para cohomología pero no para homología: induce una función pero también induciría una función , lo que va al revés para permitirnos definir un producto. Sin embargo, esto es útil para definir el producto de tapa . ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$

La bilinealidad se desprende de esta presentación del producto taza, es decir, y ${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$ ${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$

Ejemplos

Los productos de copa se pueden utilizar para distinguir variedades de cuñas de espacios con grupos de cohomología idénticos. El espacio tiene los mismos grupos de cohomología que el toro T , pero con un producto de copa diferente. En el caso de X la multiplicación de las cocadenas asociadas a las copias de es degenerada, mientras que en T la multiplicación en el primer grupo de cohomología se puede utilizar para descomponer el toro como un diagrama de 2 celdas, teniendo así un producto igual a Z (más generalmente M donde este es el módulo base). ${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Otras definiciones

Producto de taza y formas diferenciales

En la cohomología de De Rham , el producto en copa de las formas diferenciales es inducido por el producto en cuña . En otras palabras, el producto en cuña de dos formas diferenciales cerradas pertenece a la clase de De Rham del producto en copa de las dos clases de De Rham originales.

Producto de copa e intersecciones geométricas

El número de enlace se puede definir en términos de un producto de copa no nulo en el complemento de un enlace. El complemento de estos dos círculos enlazados en la deformación se retrae a una suma en cuña de un toro y una 2-esfera, que tiene un producto de copa no nulo de grado 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Para variedades orientadas , existe una heurística geométrica que dice que "el producto de copa es dual para las intersecciones". ^{[1] [2]}

En efecto, sea una variedad lisa orientada de dimensión . Si dos subvariedades de codimensión y se intersecan transversalmente , entonces su intersección es nuevamente una subvariedad de codimensión . Al tomar las imágenes de las clases de homología fundamentales de estas variedades bajo inclusión, se puede obtener un producto bilineal sobre homología. Este producto es dual de Poincaré del producto de copa, en el sentido de que al tomar los emparejamientos de Poincaré , se tiene la siguiente igualdad: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle i+j}$ ${\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}}$

${\displaystyle [A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}$. ^[1]

De manera similar, el número de enlace se puede definir en términos de intersecciones, desplazando las dimensiones en 1 o, alternativamente, en términos de un producto de copa no nulo en el complemento de un enlace.

Productos Massey

Los productos Massey generalizan el producto de taza, lo que permite definir "números de enlace de orden superior", los invariantes de Milnor .

El producto de copa es una operación binaria (2-aria); se puede definir una operación ternaria (3-aria) y de orden superior llamada producto de Massey , que generaliza el producto de copa. Esta es una operación de cohomología de orden superior , que solo está definida parcialmente (solo se define para algunas ternas).

Véase también

• Homología singular
• Teoría de la homología
• Producto de tapa
• Producto Massey
• Grupo Torelli

Referencias

1. Hutchings, Michael. "Producto de taza e intersecciones" (PDF) .
2. Ciencias TV (2016-12-10), Charla informal en geometría derivada (Jacob Lurie), archivado desde el original el 2021-12-21 , consultado el 2018-04-26

• James R. Munkres, "Elementos de topología algebraica", Perseus Publishing, Cambridge, Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (tapa dura) ISBN 0-201-62728-0 (libro de bolsillo)  
• Glen E. Bredon , "Topología y geometría", Springer-Verlag, Nueva York (1993) ISBN 0-387-97926-3 
• Allen Hatcher, "Topología algebraica", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0