Producto de tapa

Método en topología algebraica

En topología algebraica, el producto de cap es un método para unir una cadena de grado p con una cocadena de grado q , de manera que q ≤ p , para formar una cadena compuesta de grado p − q . Fue introducido por Eduard Čech en 1936, e independientemente por Hassler Whitney en 1938.

Definición

Sea X un espacio topológico y R un anillo de coeficientes. El producto de cap es una función bilineal en homología y cohomología singulares.

${\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R).}$

definida mediante la contratación de una cadena singular con una cocadena singular mediante la fórmula: ${\displaystyle \sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X}$ ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R),}$

${\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.}$

Aquí, la notación indica la restricción de la función simplicial a su cara abarcada por los vectores de la base, véase Simplex . ${\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Interpretación

En analogía con la interpretación del producto de copa en términos de la fórmula de Künneth , podemos explicar la existencia del producto de tapa de la siguiente manera. Usando la aproximación CW podemos asumir que es un complejo CW y (y ) es el complejo de sus cadenas celulares (o cocadenas, respectivamente). Consideremos entonces la composición donde tomamos productos tensoriales de complejos de cadena , es el mapa diagonal que induce el mapa en el complejo de cadena, y es el mapa de evaluación (siempre 0 excepto para ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle C^{\bullet }(X)}$ $${\displaystyle C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ $${\displaystyle \Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)}$$ ${\displaystyle \varepsilon \colon C_{p}(X)\otimes C^{q}(X)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p=q}$

Esta composición pasa luego al cociente para definir el producto límite , y al observar cuidadosamente la composición anterior se ve que efectivamente toma la forma de mapas , que siempre es cero para . ${\displaystyle \frown \colon H_{\bullet }(X)\times H^{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle \frown \colon H_{p}(X)\times H^{q}(X)\to H_{p-q}(X)}$ ${\displaystyle p<q}$

Clase fundamental

Para cualquier punto en , tenemos la secuencia larga y exacta en homología (con coeficientes en ) del par (M, M - {x}) (Ver Homología relativa ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\to \cdots .}$

Un elemento de se denomina clase fundamental si es un generador de . Existe una clase fundamental si es cerrada y R-orientable . De hecho, si es una variedad cerrada, conexa y -orientable, la función es un isomorfismo para todo en y, por lo tanto, podemos elegir cualquier generador de como clase fundamental. ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j_{*}([M])}$ ${\displaystyle H_{n}(M,M-{x};R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$

Relación con la dualidad de Poincaré

Para una variedad n cerrada y orientable con clase fundamental en (que podemos elegir como generador de cualquier ), la función del producto de tapa es un isomorfismo para todos los . Este resultado se conoce como dualidad de Poincaré . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ $${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$$ ${\displaystyle k}$

El producto inclinado

Si en la discusión anterior se reemplaza por , la construcción puede ser (parcialmente) replicada a partir de las asignaciones y ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle C_{\bullet }(X\times Y)\otimes C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(Y)\otimes C^{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ $${\displaystyle C^{\bullet }(X\times Y)\otimes C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}$$

para obtener, respectivamente, productos inclinados : y ${\displaystyle /}$ $${\displaystyle H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}$$ $${\displaystyle H^{p}(X\times Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{p-q}(X;R).}$$

En el caso X = Y , el primero está relacionado con el producto de tapa por el mapa diagonal: . ${\displaystyle \Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi }$

Estos "productos" son en algunos aspectos más parecidos a la división que a la multiplicación, lo que se refleja en su notación.

Ecuaciones

El límite de un producto de tapa está dado por:

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}$

Dado un mapa f los mapas inducidos satisfacen:

${\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}$

Los productos de tapa y taza están relacionados por:

${\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}$

dónde

${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X}$, y ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}$

Si se permite que sea de grado superior a , la última identidad toma una forma más general ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle (\sigma \frown \varphi )\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi )}$

lo que lo convierte en un módulo derecho . ${\displaystyle H_{\ast }(X;R)}$ ${\displaystyle H^{\ast }(X;R)}$

Véase también

• Producto de taza
• Dualidad de Poincaré
• Homología singular
• Teoría de la homología

Referencias

• Hatcher, A. , Topología algebraica, Cambridge University Press (2002) ISBN  0-521-79540-0 . Discusión detallada de teorías de homología para complejos y variedades simpliciales, homología singular, etc.
• May JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press . Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09 . Consultado el 2008-09-27 .La sección 2.7 proporciona una presentación teórica de categorías del teorema como un colimite en la categoría de grupoides.
• producto inclinado en el laboratorio n
• Dualidad de Poincaré en el laboratorio n