Functor diagonal

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el funtor diagonal está dado por , que mapea objetos así como morfismos . Este funtor puede emplearse para dar una descripción alternativa sucinta del producto de objetos dentro de la categoría : un producto es una flecha universal de a . La flecha comprende los mapas de proyección. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (a)=\langle a,a\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

En términos más generales, dada una categoría de índice pequeña , se puede construir la categoría de funtor , cuyos objetos se denominan diagramas . Para cada objeto en , existe un diagrama constante que asigna cada objeto en a y cada morfismo en a . El funtor diagonal asigna a cada objeto del diagrama , y a cada morfismo en la transformación natural en (dada para cada objeto de por ). Así, por ejemplo, en el caso de que sea una categoría discreta con dos objetos, se recupera el funtor diagonal . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle 1_{a}}$ ${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}}$ ${\displaystyle f:a\rightarrow b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \eta _{j}=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

Los funtores diagonales proporcionan una forma de definir límites y colímites de diagramas. Dado un diagrama , una transformación natural (para algún objeto de ) se llama cono para . Estos conos y sus factorizaciones corresponden precisamente a los objetos y morfismos de la categoría de coma , y un límite de es un objeto terminal en , es decir, una flecha universal . Dualmente, un colímite de es un objeto inicial en la categoría de coma , es decir, una flecha universal . ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Delta \rightarrow {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\downarrow \Delta )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow \Delta }$

Si cada funtor de a tiene un límite (lo que será el caso si es completo ), entonces la operación de tomar límites es en sí misma un funtor de a . El funtor límite es el adjunto por la derecha del funtor diagonal. De manera similar, el funtor colimite (que existe si la categoría es cocompleta) es el adjunto por la izquierda del funtor diagonal. Por ejemplo, el funtor diagonal descrito anteriormente es el adjunto por la izquierda del funtor producto binario y el adjunto por la derecha del funtor coproducto binario . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

Véase también

• Diagrama (teoría de categorías)
• Cono (teoría de categorías)
• Morfismo diagonal

Referencias

• Awodey, Steve (2006). "Functores y Naturalidad". Teoría de categorías . págs. 125-158. doi :10.1093/acprof:oso/9780198568612.003.0007. ISBN 978-0-19-856861-2.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Haces en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de topos . Nueva York: Springer-Verlag. pp. 20–23. ISBN 9780387977102.
• May, JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press. pág. 16. ISBN. 0-226-51183-9.