En topología algebraica , el teorema de aproximación celular establece que una función entre complejos CW siempre puede tomarse como de un tipo específico. Concretamente, si X e Y son complejos CW, y f : X → Y es una función continua, entonces se dice que f es celular , si f lleva el n -esqueleto de X al n -esqueleto de Y para todo n , es decir, si para todo n . El contenido del teorema de aproximación celular es entonces que cualquier función continua f : X → Y entre complejos CW X e Y es homotópica a una función celular, y si f ya es celular en un subcomplejo A de X , entonces podemos elegir además que la homotopía sea estacionaria en A . Desde un punto de vista topológico algebraico, cualquier función entre complejos CW puede tomarse así como celular.
La prueba puede darse por inducción después de n , con la afirmación de que f es celular en el esqueleto X n . Para el caso base n=0, observe que cada componente de trayectoria de Y debe contener una celda 0. La imagen bajo f de una celda 0 de X puede entonces conectarse a una celda 0 de Y por una trayectoria, pero esto da una homotopía de f a una función que es celular en el esqueleto 0 de X.
Supóngase inductivamente que f es celular en el ( n − 1)-esqueleto de X , y sea e n una n -célula de X . La clausura de e n es compacta en X , siendo la imagen de la función característica de la célula, y por tanto la imagen de la clausura de e n bajo f es también compacta en Y . Entonces es un resultado general de los complejos CW que cualquier subespacio compacto de un complejo CW se encuentra (es decir, interseca de manera no trivial ) solo con un número finito de células del complejo. Así, f ( e n ) se encuentra como máximo con un número finito de células de Y , por lo que podemos tomar como una célula de máxima dimensión que se encuentra con f ( e n ). Si , la función f ya es celular en e n , ya que en este caso solo las células del n -esqueleto de Y se encuentran con f ( e n ), por lo que podemos suponer que k > n . Es entonces un resultado técnico, no trivial (ver Hatcher) que la restricción de f a puede ser homotopada en relación con X n-1 a una función que falta un punto p ∈ e k . Puesto que la deformación de Y k − { p } se retrae sobre el subespacio Y k - e k , podemos homotopar aún más la restricción de f a una función, digamos, g , con la propiedad de que g ( e n ) no alcanza la celda e k de Y , todavía en relación con X n-1 . Puesto que f ( e n ) solo se encuentra con un número finito de celdas de Y para empezar, podemos repetir este proceso un número finito de veces para hacer que se pierdan todas las celdas de Y de dimensión mayor que n .
Repetimos este proceso para cada n -célula de X , fijando las células del subcomplejo A en el que f ya es celular, y así obtenemos una homotopía (relativa al ( n − 1)-esqueleto de X y las n -células de A ) de la restricción de f a X n a una función celular en todas las células de X de dimensión como máximo n . Usando entonces la propiedad de extensión de homotopía para extender esto a una homotopía en todos los X , y uniendo estas homotopías, terminaremos la prueba. Para más detalles, consulte a Hatcher.
El teorema de aproximación celular se puede utilizar para calcular inmediatamente algunos grupos de homotopía . En particular, si entonces Da y su estructura CW canónica , con una celda 0 cada una, y con una celda n para y una celda k para Cualquier mapa que preserve el punto base es entonces homotópico a un mapa cuya imagen se encuentra en el n -esqueleto del cual consiste solo en el punto base. Es decir, cualquier mapa de este tipo es nulohomotópico.
Sea f : (X,A) → (Y,B) una función de pares CW , es decir, f es una función de X a Y , y la imagen de debajo de f se encuentra dentro de B . Entonces f es homotópica a una función celular (X,A) → (Y,B) . Para ver esto, restrinja f a A y use la aproximación celular para obtener una homotopía de f a una función celular en A . Use la propiedad de extensión de homotopía para extender esta homotopía a todo X , y aplique la aproximación celular nuevamente para obtener una función celular en X , pero sin violar la propiedad celular en A .
Como consecuencia, tenemos que un par CW (X,A) está n-conectado , si todas las células de tienen dimensión estrictamente mayor que n : Si , entonces cualquier mapa → (X,A) es homotópico a un mapa celular de pares, y dado que el n -esqueleto de X se encuentra dentro de A , cualquier mapa de este tipo es homotópico a un mapa cuya imagen está en A , y por lo tanto es 0 en el grupo de homotopía relativa .
Tenemos en particular que está n -conectado, por lo que se sigue de la larga secuencia exacta de grupos de homotopía para el par que tenemos isomorfismos → para todos y una sobreyección → .
Para cada espacio X se puede construir un complejo CW Z y una equivalencia de homotopía débil que se llama aproximación CW a X . La aproximación CW, al ser una equivalencia de homotopía débil, induce isomorfismos en los grupos de homología y cohomología de X . Por lo tanto, a menudo se puede usar la aproximación CW para reducir un enunciado general a una versión más simple que solo concierne a los complejos CW.
La aproximación CW se construye induciendo sobre el esqueleto de , de modo que las funciones son isomorfas para y son sobre para (para cualquier punto base). Luego se construye a partir de agregando (i+1) celdas que (para todos los puntos base)
La aproximación celular asegura entonces que la adición de (i+1)-celdas no afecta a , mientras que se factoriza por las clases de las asignaciones de unión de estas celdas dando . La sobreyectividad de es evidente a partir del segundo paso de la construcción.
