n-esqueleto

Concepto en topología algebraica

Este gráfico de hipercubo es el 1-esqueleto del teseracto .

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , el n -esqueleto de un espacio topológico X presentado como un complejo simplicial (resp. complejo CW ) se refiere al subespacio X _n que es la unión de los simples de X (resp. celdas de X ). de dimensiones m ≤ n . En otras palabras, dada una definición inductiva de un complejo, el n -esqueleto se obtiene deteniéndose en el n -ésimo paso .

Estos subespacios aumentan con n . El esqueleto 0 es un espacio discreto y el esqueleto 1 un gráfico topológico . Los esqueletos de un espacio se utilizan en la teoría de la obstrucción , para construir secuencias espectrales mediante filtraciones y, en general, para formular argumentos inductivos . Son particularmente importantes cuando X tiene dimensión infinita, en el sentido de que X _n no se vuelve constante cuando n → ∞.

En geometría

En geometría , un k -esqueleto de n - politopo P (funcionalmente representado como skel _k ( P )) consta de todos los i -elementos de politopo de dimensión hasta k . ^[1]

Por ejemplo:

skel ₀ (cubo) = 8 vértices

skel ₁ (cubo) = 8 vértices, 12 aristas

skel ₂ (cubo) = 8 vértices, 12 aristas, 6 caras cuadradas

Para conjuntos simples

La definición anterior de esqueleto de un complejo simplicial es un caso particular de la noción de esqueleto de un conjunto simplicial . En pocas palabras, un conjunto simplicial puede describirse mediante una colección de conjuntos , junto con mapas de caras y degeneración entre ellos que satisfacen una serie de ecuaciones. La idea del n -esqueleto es descartar primero los conjuntos con y luego completar la colección de con hasta el conjunto simplicial "más pequeño posible" para que el conjunto simplicial resultante no contenga simples no degenerados en grados . ${\displaystyle K_{*}}$ ${\displaystyle K_{i},\ i\geq 0}$ ${\displaystyle sk_{n}(K_{*})}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle i\leq n}$ ${\displaystyle i>n}$

Más precisamente, el funtor de restricción

${\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets}$

tiene un adjunto izquierdo, denotado . ^[2] (Las notaciones son comparables con la de los funtores de imagen para haces ). El n -esqueleto de algún conjunto simplicial se define como ${\displaystyle i^{*}}$ ${\displaystyle i^{*},i_{*}}$ ${\displaystyle K_{*}}$

${\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}$

Cosqueleto

Además, tiene un adjunto derecho . El n -cosqueleto se define como ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i^{!}}$

${\displaystyle cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}$

Por ejemplo, el esqueleto 0 de K es el conjunto simplicial constante definido por . El 0-cosqueleto está formado por el nervio Cech. ${\displaystyle K_{0}}$

${\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}$

(Los morfismos de límite y degeneración vienen dados por varias proyecciones e incrustaciones diagonales, respectivamente).

Las construcciones anteriores también funcionan para categorías más generales (en lugar de conjuntos), siempre que la categoría tenga productos de fibra . El coesqueleto es necesario para definir el concepto de hipercobertura en álgebra homotópica y geometría algebraica . ^[3]

Referencias

1. Peter McMullen , Egon Schulte , Politopos regulares abstractos, Cambridge University Press, 2002. ISBN  0-521-81496-0 (página 29)
2. Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Teoría de la homotopía simple , Progreso en Matemáticas, vol. 174, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, sección IV.3.2
3. Artín, Michael ; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy , Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Esqueleto". MundoMatemático .