Hipercobertura

En matemáticas , y en particular en teoría de homotopía , una hipercobertura (o hipercubierta) es un objeto simplicial que generaliza el nervio de Čech de una cubierta . Para el nervio de Čech de una cubierta abierta , se puede demostrar que si el espacio es compacto y si cada intersección de conjuntos abiertos en la cubierta es contráctil, entonces se pueden contraer estos conjuntos y obtener un conjunto simplicial que es débilmente equivalente a de manera natural. Para la topología étale y otros sitios, estas condiciones fallan. La idea de una hipercobertura es, en lugar de trabajar solo con intersecciones de pliegues de los conjuntos de la cubierta abierta dada , permitir que las intersecciones por pares de los conjuntos en sean cubiertas por una cubierta abierta , y dejar que las intersecciones triples de esta cubierta sean cubiertas por otra cubierta abierta , y así sucesivamente, iterativamente. Las hipercoberturas tienen un papel central en la homotopía étale y otras áreas donde la teoría de la homotopía se aplica a la geometría algebraica , como la teoría de la homotopía motívica . ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{2}}$

Definición formal

Definición original dada para la cohomología de étale por Jean-Louis Verdier en SGA4 , Expose V, Sec. 7, Teoría 7.4.1, para calcular la cohomología de haces en topologías arbitrarias de Grothendieck. Para el sitio de étale la definición es la siguiente:

Sea un esquema y considere la categoría de esquemas étale sobre . Una hipercubierta es un objeto semisimplícito de esta categoría tal que es una cubierta étale y tal que es una cubierta étale para cada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{0}\to X}$ ${\displaystyle U_{n+1}\to \left(\left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}:=\operatorname {cosk} _{n}\circ \operatorname {tr} _{n}\right)U_{\bullet }\right)_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Aquí, está el límite del diagrama que tiene una copia de para cada cara dimensional del símplex estándar (para ), un morfismo para cada inclusión de caras y el mapa de aumento al final. Los morfismos están dados por los mapas de límites del objeto semisimplicial . ${\displaystyle U_{n+1}\to \left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}U_{\bullet }\right)_{n+1}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle U_{0}\to X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$

Propiedades

El teorema de hipercobertura de Verdier establece que la cohomología del haz abeliano de un haz étale se puede calcular como un colimite de las cohomologías de cocadena en todas las hipercoberturas.

Para un esquema localmente noetheriano , la categoría de hipercubrimientos módulo homotopía simplicial es cofiltrante y, por lo tanto, da un pro-objeto en la categoría de homotopía de conjuntos simpliciales. La realización geométrica de esto es el tipo de homotopía Artin-Mazur . Una generalización de E. Friedlander que utiliza hipercubrimientos bisimpliciales de esquemas simpliciales se denomina tipo topológico étale. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle HR(X)}$

Referencias

• Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Homotopía étale . Springer.
• Friedlander, Eric (1982). Étale homotopy of simplicial schemes . Anales de estudios matemáticos, PUP.
• Apuntes de conferencias de G. Quick "Étale homotopía conferencia 2".
• Hypercover en el n Lab