Conjunto puntiagudo

Concepto básico en la teoría de conjuntos

En matemáticas , un conjunto puntiagudo ^{[1] [2]} (también conjunto base ^[1] o conjunto raíz ^[3] ) es un par ordenado donde es un conjunto y es un elemento de llamado punto base , ^[2] también escrito puntobase . ^{[4] : 10–11} ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$

Los mapas entre conjuntos puntiagudos y —llamados mapas basados ​​, ^[5] mapas puntiagudos , ^[4] o mapas que preservan puntos ^[6] —son funciones de a que mapean un punto base a otro, es decir, mapas tales que . Los mapas basados ​​se denotan generalmente como . ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ ${\textstyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$

Los conjuntos puntiagudos son estructuras algebraicas muy simples . En el sentido del álgebra universal , un conjunto puntiagudo es un conjunto con una única operación nularia ^[a] que escoge el punto base. ^[7] Las aplicaciones puntiagudas son los homomorfismos de estas estructuras algebraicas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle *:X^{0}\to X,}$

La clase de todos los conjuntos puntiagudos junto con la clase de todos los mapas basados ​​forman una categoría . Todo conjunto puntiagudo se puede convertir en un conjunto ordinario olvidando el punto base (el funtor olvidadizo es fiel ), pero lo inverso no es cierto. ^{[8] : 44} En particular, el conjunto vacío no puede ser puntiagudo, porque no tiene ningún elemento que pueda elegirse como punto base. ^[9]

Propiedades categóricas

La categoría de conjuntos puntiagudos y aplicaciones basadas es equivalente a la categoría de conjuntos y funciones parciales . ^[6] El punto base sirve como un "valor predeterminado" para aquellos argumentos para los que la función parcial no está definida. Un libro de texto señala que "Esta finalización formal de conjuntos y aplicaciones parciales mediante la adición de elementos 'impropios', 'infinitos' se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactificación de un punto ) y en informática teórica ." ^[10] Esta categoría también es isomorfa a la categoría coslice ( ), donde es (un funtor que selecciona) un conjunto singleton, y (el funtor identidad de) la categoría de conjuntos . ^{[8] : 46  [11]} Esto coincide con la caracterización algebraica, ya que la aplicación única extiende los triángulos conmutativos que definen flechas de la categoría coslice para formar los cuadrados conmutativos que definen homomorfismos de las álgebras. ${\displaystyle \mathbf {1} \downarrow \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle \mathbf {1} \to \mathbf {1} }$

Existe un funtor fiel desde los conjuntos puntiagudos a los conjuntos usuales, pero no es completo y estas categorías no son equivalentes . ^[8]

La categoría de conjuntos puntiagudos es una categoría puntiaguda . Los conjuntos singleton puntiagudos son tanto objetos iniciales como objetos terminales , ^[1] es decir, son objetos cero . ^{[4] : 226} La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas puntiagudos tiene tanto productos como coproductos , pero no es una categoría distributiva . También es un ejemplo de una categoría donde no es isomorfo a . ^[9] ${\displaystyle (\{a\},a)}$ ${\displaystyle 0\times A}$ ${\displaystyle 0}$

Aplicaciones

Muchas estructuras algebraicas se basan en un punto distinguido. Por ejemplo, los grupos son conjuntos puntiagudos al elegir el elemento identidad como punto base, de modo que los homomorfismos de grupo son aplicaciones que preservan el punto. ^{[12] : 24} Esta observación puede reformularse en términos de teoría de categorías como la existencia de un funtor olvidadizo de grupos a conjuntos puntiagudos. ^{[12] : 582}

Un conjunto puntiagudo puede verse como un espacio puntiagudo bajo la topología discreta o como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento . ^[13]

Como "conjunto enraizado", la noción aparece naturalmente en el estudio de los antimatroides ^[3] y los politopos de transporte. ^[14]

Véase también

• Grafo puntiagudo accesible  : grafo no dirigido en el que se ha distinguido un vértice como raíz.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Extensión de Alexandroff  : forma de extender un espacio topológico no compacto
• Esfera de Riemann  – Modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito

Notas

1. La notación X ⁰ se refiere a la potencia cartesiana cero del conjunto X , que es un conjunto de un elemento que contiene la tupla vacía.

Referencias

1. Mac Lane 1998.
2. Grégory Berhuy (2010). Introducción a la cohomología de Galois y sus aplicaciones . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 377. Cambridge University Press. pág. 34. ISBN 978-0-521-73866-8.Zbl 1207.12003  .
3. Korte, Bernhard ; Lovász, László ; Schrader, Rainer (1991), Greedoides , algoritmos y combinatoria, vol. 4, Nueva York, Berlín: Springer-Verlag , capítulo 3, ISBN 3-540-18190-3, Zbl0733.05023 ​
4. Joseph Rotman (2008). Introducción al álgebra homológica (2.ª ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9.
5. Maunder, CRF (1996), Topología algebraica, Dover, pág. 31, ISBN 978-0-486-69131-2.
6. Schröder 2001.
7. Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff (1999) [1988]. Álgebra (3.ª ed.). American Mathematical Soc. pág. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2.
8. J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 de enero de 2005) Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
9. Lawvere y Schanuel 2009.
10. Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Un curso de lógica matemática para matemáticos . Springer Science & Business Media. pág. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.
11. Francis Borceux; Dominique Bourn (2004). Mal'cev, Categorías protomodulares, homológicas y semi-abelianas . Springer Science & Business Media. pág. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.
12. Paolo Aluffi (2009). Álgebra: Capítulo 0. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4781-7.
13. Haran, MJ Shai (2007), "Geometría no aditiva" (PDF) , Compositio Mathematica , 143 (3): 618–688, doi :10.1112/S0010437X06002624, MR  2330442En la página 622, Haran escribe: "Consideramos los espacios vectoriales como conjuntos finitos con un elemento 'cero' distinguido..." ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$
14. Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. "Facetas y vértices de politopos de transporte". En George Bernard Dantzig (ed.). Matemáticas de las ciencias de la decisión. Parte 1. Sociedad Americana de Matemáticas. ASIN  B0020145L2. OCLC  859802521.

Lectura adicional

• Lawvere, F. W.; Schanuel, Stephen Hoel (2009). Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías (2.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.Zbl 0906.18001  .
• Schröder, Lutz (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Koslowski, Jürgen; Melton, Austin (eds.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN​ 978-0-8176-4186-3.

Enlaces externos

• Retrocesos en la categoría de conjuntos y funciones parciales
• Conjunto puntiagudo en PlanetMath .
• Objeto puntiagudo en el laboratorio n