Criterio local de planitud

En álgebra, el criterio local de planitud proporciona condiciones que se pueden comprobar para demostrar la planitud de un módulo . ^[1]

Declaración

Dado un anillo conmutativo A , un ideal I y un A -módulo M , supongamos que:

• A es un anillo noetheriano y M está idealmente separado para I : para cada ideal , (por ejemplo, este es el caso cuando A es un anillo local noetheriano , I su ideal máximo y M finitamente generado), ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \bigcap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0}$

o

• Yo soy nilpotente .

Entonces los siguientes son equivalentes: ^[2]

1. M es un módulo plano .
2. ${\displaystyle M/I}$es plano sobre y . ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I,M)=0}$
3. Para cada , es plano sobre . ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle M_{n}=M/I^{n+1}M}$ ${\displaystyle A_{n}=A/I^{n+1}}$
4. En las notaciones de 3., es -plana y la sobreyección -módulo natural ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}A}$

   ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M}$

   es un isomorfismo; es decir, cada uno es un isomorfismo. ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}\otimes _{A_{0}}M_{0}\to I^{n}M/I^{n+1}M}$

La suposición de que “ A es un anillo noetheriano” se utiliza para invocar el lema de Artin-Rees y puede debilitarse; véase ^[3]

Prueba

Después de la exposición IV de SGA 1, demostramos primero algunos lemas que son interesantes en sí mismos (véase también esta entrada del blog de Akhil Mathew para una demostración de un caso especial).

Lema 1  —  Dado un homomorfismo de anillo y un -módulo , los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

1. Para cada módulo , ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)=0.}$
2. ${\displaystyle M\otimes _{A}B}$es -plana y ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(B,M)=0.}$

Además, si , los dos anteriores son equivalentes a ${\displaystyle B=A/I}$

3. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)=0}$por cada módulo destruido por alguna potencia de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Demostración : La equivalencia de los dos primeros puede verse estudiando la secuencia espectral de Tor. He aquí una demostración directa: si 1. es válida y es una inyección de módulos con el co-núcleo C , entonces, como módulos A , ${\displaystyle N\hookrightarrow N'}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(C,M)=0\to N\otimes _{A}M\to N'\otimes _{A}M}$.

Como y lo mismo para , esto demuestra 2. Por el contrario, considerando donde F es B -libre, obtenemos: ${\displaystyle N\otimes _{A}M\simeq N\otimes _{B}(B\otimes _{A}N)}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle 0\to R\to F\to X\to 0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(F,M)=0\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)\to R\otimes _{A}M\to F\otimes _{A}M}$.

Aquí, el último mapa es inyectivo por planitud y eso nos da 1. Para ver la parte "Además", si 1. es válido, entonces y así sucesivamente. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X/I^{n+1}X,M)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n+1}X,M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X,M)\to 0.}$

Por inducción descendente, esto implica 3. Lo inverso es trivial. ${\displaystyle \square }$

Lema 2  —  Sea un anillo y un módulo sobre él. Si para cada , entonces la sobreyección natural que preserva el grado ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{n},M)=0}$ ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M}$

es un isomorfismo. Además, cuando I es nilpotente,

${\displaystyle M}$es plano si y sólo si es plano sobre y es un isomorfismo. ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M}$

Prueba : La suposición implica que y por lo tanto, dado que el producto tensorial conmuta con la extensión de la base, ${\displaystyle I^{n}\otimes M=I^{n}M}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n})_{0}\otimes _{A_{0}}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n}\otimes _{A}M)_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n}M)_{0}=\operatorname {gr} _{I}M}$.

Para la segunda parte, denotemos la secuencia exacta y . Consideremos la secuencia exacta de complejos: ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)\to I^{i}\otimes M\to I^{i}M\to 0}$ ${\displaystyle \gamma _{i}:0\to 0\to I^{i}/I^{i+1}\otimes M{\overset {\simeq }{\to }}I^{i}M/I^{i+1}M\to 0}$

${\displaystyle \alpha _{i+1}\to \alpha _{i}\to \gamma _{i}.}$

Entonces (es así para grande y luego usar inducción descendente). 3. del Lema 1 entonces implica que es plano. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)=0,i>0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba del enunciado principal .

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$: Si es nilpotente, entonces, por el Lema 1, y es plano sobre . Por lo tanto, supongamos que el primer supuesto es válido. Sea un ideal y demostraremos que es inyectivo. Para un entero , considere la secuencia exacta ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(-,M)=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\otimes M\to M}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\to A/I^{k}\to A/({\mathfrak {a}}+I^{k})\to 0.}$

Ya que por el Lema 1 (nota mata ), tensando lo anterior con , obtenemos: ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/({\mathfrak {a}}+I^{k}),M)=0}$ ${\displaystyle I^{k}}$ ${\displaystyle A/({\mathfrak {a}}+I^{k})}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M\to A/I^{k}\otimes M=M/I^{k}M}$.

Tensando con , también tenemos: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\to 0}$

${\displaystyle (I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M{\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g}{\to }}{\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M\to 0.}$

Combinamos los dos para obtener la secuencia exacta:

${\displaystyle (I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M{\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g'}{\to }}M/I^{k}M.}$

Ahora bien, si está en el núcleo de , entonces, a fortiori, está en . Por el lema de Artin-Rees , dado , podemos hallar tal que . Como , concluimos . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\otimes M\to M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} (g')=\operatorname {im} (f)=(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\subset I^{n}{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \cap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0}$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle 1.\Rightarrow 4.}$se sigue del Lema 2.

${\displaystyle 4.\Rightarrow 3.}$: Dado que , la condición 4. sigue siendo válida con reemplazado por . Entonces el Lema 2 dice que es plano sobre . ${\displaystyle (A_{n})_{0}=A_{0}}$ ${\displaystyle M,A}$ ${\displaystyle M_{n},A_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$Tensando con M , vemos que es el núcleo de . Por lo tanto, la implicación se establece mediante un argumento similar al de ${\displaystyle 0\to I\to A\to A/I\to 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I,M)}$ ${\displaystyle I\otimes M\to M}$ ${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$ ${\displaystyle \square }$

Aplicación: caracterización de un morfismo étale

El criterio local se puede utilizar para demostrar lo siguiente:

Proposición  —  Dado un morfismo de tipo finito entre esquemas noetherianos, es étale ( plano y no ramificado ) si y sólo si para cada x en X , f es un isomorfismo analíticamente local cerca de x ; es decir, con , es un isomorfismo. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f_{x}^{*}}}:{\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x,X}}}}$

Demostración : Supongamos que es un isomorfismo y demostramos que f es étale. Primero, como es fielmente plano (en particular es un subanillo puro), tenemos: ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x,X}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{y}{\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{y}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\widehat {{\mathfrak {m}}_{y}}}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\widehat {{\mathfrak {m}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}}$.

Por lo tanto, no está ramificado (la separabilidad es trivial). Ahora bien, que es plano se deduce de (1) la suposición de que el mapa inducido al completarse es plano y (2) el hecho de que la planicidad desciende bajo un cambio de base fielmente plano (no debería ser difícil entender (2)). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{y}\to {\mathcal {O}}_{x}}$

A continuación, demostramos el recíproco: por el criterio local, para cada n , la función natural es un isomorfismo. Por inducción y por el quinto lema, esto implica que es un isomorfismo para cada n . Pasando al límite, obtenemos el isomorfismo afirmado. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{y}^{n}/{\mathfrak {m}}_{y}^{n+1}\to {\mathfrak {m}}_{x}^{n}/{\mathfrak {m}}_{x}^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{y}/{\mathfrak {m}}_{y}^{n}\to {\mathcal {O}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{n}}$ ${\displaystyle \square }$

El Libro Rojo de Mumford ofrece una prueba extrínseca del hecho mencionado anteriormente (Cap. III, § 5, Teorema 3).

Teorema de planitud milagrosa

B. Conrad llama al siguiente teorema el teorema de la planitud milagrosa . ^[4]

Teorema  —  Sea un homomorfismo de anillos locales entre anillos noetherianos locales. Si S es plano sobre R , entonces ${\displaystyle R\to S}$

${\displaystyle \dim S=\dim R+\dim S/{\mathfrak {m}}_{R}S}$.

Por el contrario, si esta igualdad de dimensión se cumple, si R es regular y si S es Cohen-Macaulay (por ejemplo, regular ), entonces S es plano sobre R.

Notas

1. Matsumura 1989, cap. 8, § 22.
2. Matsumura 1989, Teorema 22.3.
3. Fujiwara, Gabber y Kato 2011, Proposición 2.2.1.
4. Problema 10 en http://math.stanford.edu/~conrad/papers/gpschemehw1.pdf

Referencias

• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, Sr.  1011461
• Exposé IV de Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) , Documents Mathématiques (París) [Documentos matemáticos (París)], vol. 3, París: Société Mathématique de France , arXiv : math/0206203 , Bibcode :2002math......6203G, ISBN 978-2-85629-141-2, Sr.  2017446
• Fujiwara, K.; Gabber, O.; Kato, F. (2011). "Sobre las terminaciones de Hausdorff de anillos conmutativos en geometría rígida". Journal of Algebra (322): 293–321.

Enlaces externos

• Entrada de blog de Akhil Mathew