En geometría algebraica , las variedades determinantes son espacios de matrices con un límite superior dado en sus rangos . Su importancia proviene del hecho de que muchos ejemplos en geometría algebraica son de esta forma, como la incrustación de Segre de un producto de dos espacios proyectivos .
Dados m y n y r < min( m , n ), la variedad determinante Y r es el conjunto de todas las matrices m × n (sobre un cuerpo k ) con rango ≤ r . Naturalmente, se trata de una variedad algebraica , ya que la condición de que una matriz tenga rango ≤ r viene dada por la desaparición de todos sus menores ( r + 1) × ( r + 1 ) . Considerando la matriz genérica m × n cuyas entradas son variables algebraicamente independientes x i , j , estos menores son polinomios de grado r + 1. El ideal de k [ x i , j ] generado por estos polinomios es un ideal determinante . Puesto que las ecuaciones que definen a los menores son homogéneas, se puede considerar a Y r como una variedad afín en un espacio afín de dimensión mn , o como una variedad proyectiva en un espacio proyectivo de dimensión ( mn − 1) .
El ideal radical que define la variedad determinante es generado por los menores ( r + 1) × ( r + 1) de la matriz (Bruns-Vetter, Teorema 2.10).
Suponiendo que consideramos Y r como una variedad afín , su dimensión es r ( m + n − r ). Una forma de ver esto es la siguiente: formar el espacio producto sobre donde es el Grassmanniano de r -planos en un espacio vectorial m -dimensional, y considerar el subespacio , que es una desingularización de (sobre el conjunto abierto de matrices con rango exactamente r , esta función es un isomorfismo), y es un fibrado vectorial sobre el cual es isomorfo a donde es el fibrado tautológico sobre el Grassmanniano. Entonces, dado que son biracionalmente equivalentes , y dado que la fibra de tiene dimensión nr .
Lo anterior demuestra que las matrices de rango < r contienen el lugar geométrico singular de , y de hecho se tiene igualdad. Este hecho se puede verificar utilizando que el ideal radical está dado por los menores junto con el criterio jacobiano de no singularidad.
La variedad Y r tiene naturalmente una acción de , producto de grupos lineales generales . El problema de determinar las sicigias de , cuando la característica del cuerpo es cero, fue resuelto por Alain Lascoux , utilizando la acción natural de G .
Se puede "globalizar" la noción de variedades determinantes considerando el espacio de aplicaciones lineales entre dos fibrados vectoriales en una variedad algebraica. Entonces las variedades determinantes caen dentro del estudio general de los lugares de degeneración . Una expresión para la clase de cohomología de estos lugares de degeneración viene dada por la fórmula de Thom-Porteous , véase (Fulton-Pragacz).
