Teorema de Skolem-Noether

Teorema que caracteriza los automorfismos de anillos simples.

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, el teorema de Skolem-Noether caracteriza los automorfismos de anillos simples . Es un resultado fundamental en la teoría de álgebras centrales simples .

El teorema fue publicado por primera vez por Thoralf Skolem en 1927 en su artículo Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme ( alemán : Sobre la teoría de los sistemas numéricos asociativos ) y posteriormente redescubierto por Emmy Noether .

Declaración

En una formulación general, sean A y B anillos unitarios simples, y sea k el centro de B. El centro k es un campo ya que dado x distinto de cero en k , la simplicidad de B implica que el ideal bilateral distinto de cero BxB = ( x ) es el conjunto de B y, por tanto, que x es una unidad . Si la dimensión de B sobre k es finita, es decir, si B es un álgebra simple central de dimensión finita, y A también es una k -álgebra, entonces dados los homomorfismos de k -álgebra

F , gramo  : A → B ,

existe una unidad b en B tal que para todo a en A ^{[1] [2]}

gramo ( un ) = segundo · f ( un ) · segundo ⁻¹ .

En particular, cada automorfismo de una k -álgebra central simple es un automorfismo interno . ^{[3] [4]}

Prueba

Primero supongamos . Entonces f y g definen las acciones de A sobre ; denotemos los módulos A así obtenidos. Dado que el mapa f es inyectivo por simplicidad de A , A también es de dimensión finita. Por tanto, dos módulos A simples son isomórficos y son sumas directas finitas de módulos A simples . Como tienen la misma dimensión, se deduce que existe un isomorfismo de A -módulos . Pero tal b debe ser un elemento de . Para el caso general, es un álgebra matricial y eso es simple. Por la primera parte aplicada a los mapas , existe tal que ${\displaystyle B=\operatorname {M} _{n}(k)=\operatorname {End} _{k}(k^{n})}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle V_{f},V_{g}}$ ${\displaystyle f(1)=1\neq 0}$ ${\displaystyle V_{f},V_{g}}$ ${\displaystyle b:V_{g}\to V_{f}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(k)=B}$ ${\displaystyle B\otimes _{k}B^{\text{op}}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B^{\text{op}}}$ ${\displaystyle f\otimes 1,g\otimes 1:A\otimes _{k}B^{\text{op}}\to B\otimes _{k}B^{\text{op}}}$ ${\displaystyle b\in B\otimes _{k}B^{\text{op}}}$

${\displaystyle (f\otimes 1)(a\otimes z)=b(g\otimes 1)(a\otimes z)b^{-1}}$

para todos y . Tomando , encontramos ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle z\in B^{\text{op}}}$ ${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle 1\otimes z=b(1\otimes z)b^{-1}}$

para todos z . Es decir, b está dentro y por eso podemos escribir . Tomando este tiempo encontramos ${\displaystyle Z_{B\otimes B^{\text{op}}}(k\otimes B^{\text{op}})=B\otimes k}$ ${\displaystyle b=b'\otimes 1}$ ${\displaystyle z=1}$

${\displaystyle f(a)=b'g(a){b'^{-1}}}$,

que es lo que se buscaba.

Notas

1. Lorenz (2008) p.173
2. Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). Álgebra no conmutativa . Saltador. ISBN 9780387940571.
3. Gille y Szamuely (2006) pág. 40
4. Lorenz (2008) pág. 174

Referencias

• Skolem, Thoralf (1927). "Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme". Skrifter Oslo (en alemán) (12): 50. JFM  54.0154.02.
• Una discusión en el Capítulo IV de Milne , teoría de campos de clases [1]
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 101. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Saltador. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.