Variedad algebraica

Las variedades algebraicas son los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica , un subcampo de las matemáticas . Clásicamente, una variedad algebraica se define como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales sobre los números reales o complejos . Las definiciones modernas generalizan este concepto de varias maneras diferentes, al tiempo que intentan preservar la intuición geométrica detrás de la definición original. ^[1]^{: 58}

Las convenciones relativas a la definición de variedad algebraica difieren ligeramente. Por ejemplo, algunas definiciones requieren que una variedad algebraica sea irreducible , lo que significa que no es la unión de dos conjuntos más pequeños que son cerrados en la topología de Zariski . Según esta definición, las variedades algebraicas no irreducibles se denominan conjuntos algebraicos . Otras convenciones no requieren irreductibilidad.

El teorema fundamental del álgebra establece un vínculo entre el álgebra y la geometría al mostrar que un polinomio mónico (un objeto algebraico) en una variable con coeficientes de números complejos está determinado por el conjunto de sus raíces (un objeto geométrico) en el plano complejo . Al generalizar este resultado, el Nullstellensatz de Hilbert proporciona una correspondencia fundamental entre ideales de anillos polinómicos y conjuntos algebraicos. Utilizando Nullstellensatz y resultados relacionados, los matemáticos han establecido una fuerte correspondencia entre preguntas sobre conjuntos algebraicos y preguntas de teoría de anillos . Esta correspondencia es una característica definitoria de la geometría algebraica.

Muchas variedades algebraicas son variedades diferenciables , pero una variedad algebraica puede tener puntos singulares , mientras que una variedad diferenciable no. Las variedades algebraicas se pueden caracterizar por su dimensión . Las variedades algebraicas de dimensión uno se denominan curvas algebraicas y las variedades algebraicas de dimensión dos se denominan superficies algebraicas .

En el contexto de la teoría de esquemas moderna , una variedad algebraica sobre un campo es un esquema integral (irreducible y reducido) sobre ese campo cuya estructura morfismo es separada y de tipo finito.

Descripción general y definiciones

Una variedad afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es conceptualmente el tipo de variedad más fácil de definir, lo cual se hará en esta sección. A continuación, se pueden definir variedades proyectivas y cuasiproyectivas de manera similar. La definición más general de variedad se obtiene uniendo variedades cuasiproyectivas más pequeñas. No es obvio que se puedan construir ejemplos genuinamente nuevos de variedades de esta manera, pero Nagata dio un ejemplo de una variedad tan nueva en la década de 1950.

Variedades afines

Para un campo algebraicamente cerrado $K$ y un número natural $n$ , $sea An$ $un$ espacio n afín sobre K $,$ identificado mediante la elección de un sistema de coordenadas afín . Los polinomios $f$ en el anillo $K$ $[$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $]$ pueden verse como funciones con valores K $en$ $An$ evaluando $f$ en los puntos de $An ,$ $es$ decir, eligiendo valores en K para cada x _i . Para cada conjunto S de polinomios en $K$ $[$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $]$ , defina el lugar geométrico Z ( S ) como el conjunto de puntos en $A$ $n$ en los que las funciones en S desaparecen simultáneamente, es decir, decir $K^{n}$

Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ para todos }}f\in S\right\}.

Un subconjunto V de $An$ se llama conjunto algebraico afín si V = Z $($ S ) para algún S. ^[1]^{: 2} Un conjunto algebraico afín no vacío V se llama irreducible si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios . ^[1]^{: 3} Un conjunto algebraico afín irreducible también se llama variedad afín . ^[1]^{: 3} (Algunos autores utilizan la frase variedad afín para referirse a cualquier conjunto algebraico afín, irreducible o no. ^{[nota 1]} )

A las variedades afines se les puede dar una topología natural declarando que los conjuntos cerrados son precisamente conjuntos algebraicos afines. Esta topología se llama topología de Zariski. ^[1]^{: 2}

Dado un subconjunto V de $An$ , definimos I ( V ) como el ideal de todas las funciones polinomiales que desaparecen $en$ V :

I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ para todos }}x\in V \bien\}.

Para cualquier conjunto algebraico afín V , el anillo de coordenadas o anillo de estructura de V es el cociente del anillo polinómico por este ideal. ^[1]^{: 4}

Variedades proyectivas y variedades cuasiproyectivas.

Sea $k$ un campo algebraicamente cerrado y sea $P n$ el espacio n proyectivo sobre $k$ . Sea $f$ en $k$ $[$ $x$ $0$ $, ...,$ $x$ $n$ $]$ un polinomio homogéneo de grado d . No está bien definido evaluar $f$ en puntos en $P$ $n$ en coordenadas homogéneas . Sin embargo, debido a que $f$ es homogénea, lo que significa que $f$ $($ $λx$ $0$ $, ...,$ $λx$ $n$ $) =$ $λ$ $d$ $f$ $($ $x$ $0$ $, ...,$ $x$ $n$ $)$ , tiene sentido preguntar si $f$ desaparece en un punto $[$ $x$ $0$ $: ... :$ $x$ $n$ $]$ . Para cada conjunto S de polinomios homogéneos, defina el lugar cero de S como el conjunto de puntos en $P$ $n$ en los que las funciones en S desaparecen:

Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ para todos }}f\in S\}.

Un subconjunto V de $P n$ se llama conjunto algebraico proyectivo si V = Z ( S ) para algún S . ^[1]^{: 9} Un conjunto algebraico proyectivo irreducible se llama variedad proyectiva . ^[1]^{: 10}

Las variedades proyectivas también están equipadas con la topología de Zariski al declarar cerrados todos los conjuntos algebraicos.

Dado un subconjunto V de $P n$ , sea I ( V ) el ideal generado por todos los polinomios homogéneos que desaparecen en V . Para cualquier conjunto algebraico proyectivo V , el anillo de coordenadas de V es el cociente del anillo polinómico por este ideal. ^[1]^{: 10}

A quasi-projective variety is a Zariski open subset of a projective variety. Notice that every affine variety is quasi-projective.^[2] Notice also that the complement of an algebraic set in an affine variety is a quasi-projective variety; in the context of affine varieties, such a quasi-projective variety is usually not called a variety but a constructible set.

Abstract varieties

In classical algebraic geometry, all varieties were by definition quasi-projective varieties, meaning that they were open subvarieties of closed subvarieties of projective space. For example, in Chapter 1 of Hartshorne a variety over an algebraically closed field is defined to be a quasi-projective variety,^[1]^: 15 but from Chapter 2 onwards, the term variety (also called an abstract variety) refers to a more general object, which locally is a quasi-projective variety, but when viewed as a whole is not necessarily quasi-projective; i.e. it might not have an embedding into projective space.^[1]^: 105 So classically the definition of an algebraic variety required an embedding into projective space, and this embedding was used to define the topology on the variety and the regular functions on the variety. The disadvantage of such a definition is that not all varieties come with natural embeddings into projective space. For example, under this definition, the product $P 1 \times P 1$ is not a variety until it is embedded into the projective space; this is usually done by the Segre embedding. However, any variety that admits one embedding into projective space admits many others by composing the embedding with the Veronese embedding. Consequently, many notions that should be intrinsic, such as the concept of a regular function, are not obviously so.

André Weil realizó el primer intento exitoso de definir una variedad algebraica de manera abstracta, sin incrustación . En sus Fundamentos de Geometría Algebraica , Weil definió una variedad algebraica abstracta utilizando valoraciones . Claude Chevalley hizo una definición de esquema , que tenía un propósito similar, pero era más general. Sin embargo, la definición de esquema de Alexander Grothendieck es aún más general y ha recibido la aceptación más amplia. En el lenguaje de Grothendieck, una variedad algebraica abstracta generalmente se define como un esquema integral y separado de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado, ^[1]^{: 104-105,} aunque algunos autores abandonan la condición de irreductibilidad, reducción o separación o permiten la campo subyacente no es algebraicamente cerrado. ^{[nota 2]} Las variedades algebraicas clásicas son los esquemas de tipo finito separados integrales cuasiproyectivos sobre un campo algebraicamente cerrado.

Existencia de variedades algebraicas abstractas no cuasiproyectivas

Nagata dio uno de los primeros ejemplos de una variedad algebraica no cuasiproyectiva. ^[3] El ejemplo de Nagata no estaba completo (el análogo de la compacidad), pero poco después encontró una superficie algebraica que era completa y no proyectiva. ^[4]^[1]^{: Observación 4.10.2 p.105} Desde entonces se han encontrado otros ejemplos; por ejemplo, es sencillo construir una variedad tórica que no sea cuasiproyectiva sino completa. ^[5]

Ejemplos

Subvariedad

Una subvariedad es un subconjunto de una variedad que es en sí misma una variedad (con respecto a la estructura topológica inducida por la variedad ambiental). Por ejemplo, todo subconjunto abierto de una variedad es una variedad. Véase también inmersión cerrada .

Nullstellensatz de Hilbert dice que las subvariedades cerradas de una variedad afín o proyectiva están en correspondencia uno a uno con los ideales primos o ideales primos homogéneos no irrelevantes del anillo de coordenadas de la variedad.

variedad afín

Ejemplo 1

Sea $k = C$ y A ^{2 el}espacio afín bidimensional sobre C . Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones complejas en A ² evaluando en los puntos en A ² . Sea el subconjunto S de C [ x , y ] que contenga un solo elemento $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ :

f(x,y)=x+y-1.

El lugar geométrico de $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ es el conjunto de puntos en A ² en los que esta función desaparece: es el conjunto de todos los pares de números complejos ( x , y ) tales que y = 1 − x . Esto se llama línea en el plano afín. (En la topología clásica proveniente de la topología de números complejos, una recta compleja es una variedad real de dimensión dos). Este es el conjunto $Z$ $($ $f$ $)$ :

Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.

Por tanto, el subconjunto $V = Z (f)$ de A ² es un conjunto algebraico. El conjunto V no está vacío. Es irreducible, ya que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios. Por tanto, es una variedad algebraica afín.

Ejemplo 2

Sea $k = C$ y A ² el espacio afín bidimensional sobre C . Los polinomios en el anillo C [ x , y ] pueden verse como funciones complejas en A ² evaluando en los puntos en A ² . Sea el subconjunto S de C [ x , y ] que contenga un solo elemento g ( x , y ):

g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.

El lugar geométrico de g ( x , y ) es el conjunto de puntos en A ² en los que esta función desaparece, es decir, el conjunto de puntos ( x , y ) tales que x ² + y ² = 1. Como g ( x , y ) es un polinomio absolutamente irreducible , esta es una variedad algebraica. El conjunto de sus puntos reales (es decir, los puntos para los cuales x e y son números reales), se conoce como círculo unitario ; Este nombre también se suele dar a toda la variedad.

Ejemplo 3

El siguiente ejemplo no es ni una hipersuperficie , ni un espacio lineal , ni un solo punto. Sea A ³ el espacio afín tridimensional sobre C . El conjunto de puntos ( x , x ² , x ³ ) para x en C es una variedad algebraica, y más precisamente una curva algebraica que no está contenida en ningún plano. ^{[nota 3]} Es la cúbica retorcida que se muestra en la figura anterior. Puede definirse mediante las ecuaciones.

{\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0\end{aligned}}

La irreductibilidad de este conjunto algebraico necesita una demostración. Un enfoque en este caso es comprobar que la proyección ( x , y , z ) → ( x , y ) es inyectiva sobre el conjunto de las soluciones y que su imagen es una curva plana irreducible.

Para ejemplos más difíciles, siempre se puede dar una prueba similar, pero puede implicar un cálculo difícil: primero un cálculo de base de Gröbner para calcular la dimensión, seguido de un cambio lineal aleatorio de variables (no siempre necesario); luego un cálculo de la base de Gröbner para otro ordenamiento monomial para calcular la proyección y demostrar que es genéricamente inyectiva y que su imagen es una hipersuperficie , y finalmente una factorización polinómica para demostrar la irreductibilidad de la imagen.

Grupo lineal general

El conjunto de matrices n por n sobre el campo base k se puede identificar con el espacio afín n ² con coordenadas tales que es la ( i , j )-ésima entrada de la matriz . El determinante es entonces un polinomio en y así define la hipersuperficie en . El complemento de es entonces un subconjunto abierto de que consta de todas las matrices invertibles n por n , el grupo lineal general . Es una variedad afín, ya que, en general, el complemento de una hipersuperficie en una variedad afín es afín. Explícitamente, considere dónde se da la coordenada t a la línea afín . Entonces equivale al lugar cero del polinomio en : $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ $x_{ij}$ $x_{ij}(A)$ $A$ $\det$ $x_{ij}$ $H=V(\det )$ $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ $H$ $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ $\operatorname {GL} _ {n}(k)$ $\mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}$ $\operatorname {GL} _ {n}(k)$ $\mathbb {A} ^{n^{2}}\times \mathbb {A} ^{1}$ $x_{ij},t$

t\cdot \det[x_{ij}]-1,

es decir, el conjunto de matrices A tales que tiene solución. Esto se ve mejor algebraicamente: el anillo de coordenadas de es la localización , que puede identificarse con . $t\det(A)=1$ $\operatorname {GL} _ {n}(k)$ $k[x_{ij}\mid 0\leq i,j\leq n][{\det }^{-1}]$ $k[x_{ij},t\mid 0\leq i,j\leq n]/(t\det -1)$

El grupo multiplicativo k ^* del campo base k es el mismo y por tanto es una variedad afín. Un producto finito de él es un toro algebraico , que nuevamente es una variedad afín. $\operatorname {GL} _ {1}(k)$ $(k^{*})^{r}$

Un grupo lineal general es un ejemplo de grupo algebraico lineal , una variedad afín que tiene una estructura de grupo de tal manera que las operaciones del grupo son morfismos de variedades.

Variedad característica

Sea A un álgebra no necesariamente conmutativa sobre un campo k . Incluso si A no es conmutativo, aún puede suceder que A tenga una -filtración de modo que el anillo asociado sea conmutativo, reducido y finitamente generado como un k -álgebra; es decir, es el anillo de coordenadas de una variedad afín (reducible) X. Por ejemplo, si A es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita , entonces es un anillo polinomial (el teorema PBW ); más precisamente, el anillo de coordenadas del espacio vectorial dual . $\mathbb {Z}$ $\operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}$ $\operatorname {gr} A$ ${\mathfrak {g}}$ $\operatorname {gr} A$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

Sea M un módulo filtrado sobre A (es decir, ). Si finalmente se genera como un -álgebra, entonces el soporte de en X ; es decir , el lugar donde no desaparece se denomina variedad característica de M. ^[6] La noción juega un papel importante en la teoría de los módulos D. ${\ Displaystyle A_ {i} M_ {j} \ subconjunto M_ {i + j}}$ $\operatorname {gr} M$ $\operatorname {gr} A$ $\operatorname {gr} M$ $\operatorname {gr} M$

Variedad proyectiva

Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo. Es decir, es el lugar cero de un conjunto de polinomios homogéneos que generan un ideal primo .

Ejemplo 1

La curva del plano afín y ² = x ³ − x . La curva proyectiva correspondiente se llama curva elíptica.

Una curva proyectiva plana es el lugar cero de un polinomio homogéneo irreducible en tres indeterminados. La línea proyectiva P ¹ es un ejemplo de curva proyectiva; puede verse como la curva en el plano proyectivo P ² = {[ x , y , z ] } definido por x = 0 . Para otro ejemplo, considere primero la curva cúbica afín

y^{2}=x^{3}-x.

en el espacio afín bidimensional (sobre un campo de características, no dos). Tiene la ecuación polinómica cúbica homogénea asociada:

y^{2}z=x^{3}-xz^{2},

que define una curva en P ² llamada curva elíptica . La curva tiene género uno ( fórmula de género ); en particular, no es isomorfo a la línea proyectiva P ¹ , que tiene género cero. Usar el género para distinguir curvas es muy básico: de hecho, el género es el primer invariante que se usa para clasificar curvas (ver también la construcción de módulos de curvas algebraicas ).

Ejemplo 2: Grassmanniano

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. La variedad Grassmanniana G _n ( V ) es el conjunto de todos los subespacios n -dimensionales de V . Es una variedad proyectiva: está incrustada en un espacio proyectivo mediante la incrustación de Plücker :

{\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{ n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}

donde b _i es cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en V , es la n -ésima potencia exterior de V , y el corchete [ w ] significa la línea atravesada por el vector w distinto de cero . $\cuña ^{n}V$

La variedad Grassmanniana viene con un haz de vectores naturales (o haz localmente libre en otra terminología) llamado haz tautológico , que es importante en el estudio de clases características como las clases de Chern .

Variedad jacobiana y variedad abeliana.

Sea C una curva completa suave y su grupo Picard ; es decir, el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas en C. Dado que C es suave, se puede identificar como el grupo de clase divisor de C y, por lo tanto, existe el grado de homomorfismo . La variedad jacobiana de C es el núcleo de este mapa de grados; es decir, el grupo de clases de divisores en C de grado cero. Una variedad jacobiana es un ejemplo de una variedad abeliana , una variedad completa con una estructura de grupo abeliana compatible (sin embargo, el nombre "abeliano" no se debe a que sea un grupo abeliano). Una variedad abeliana resulta ser proyectiva (en resumen, las funciones theta algebraicas dan una incrustación en un espacio proyectivo. Consulte las ecuaciones que definen las variedades abelianas ); por tanto, es una variedad proyectiva. El espacio tangente al elemento identidad es naturalmente isomorfo a ^[7] por lo tanto, la dimensión de es el género de . $\operatorname {Imagen} (C)$ $\operatorname {Imagen} (C)$ $\operatorname {grado} :\operatorname {Imagen} (C)\to \mathbb {Z}$ $\operatorname {Jac} (C)$ $\operatorname {Jac} (C)$ $\operatorname {Jac} (C)$ $\operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});$ $\operatorname {Jac} (C)$ $C$

Fijar un punto en . Para cada número entero , existe un morfismo natural ^[8] ${\ Displaystyle P_ {0}}$ $C$ $n>0$

C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n} -nP_ {0}]

donde es el producto de n copias de C . Para (es decir, C es una curva elíptica), el morfismo anterior resulta ser un isomorfismo; ^[1]^{: Cap.}^{IV, Ejemplo 1.3.7.}en particular, una curva elíptica es una variedad abeliana. $C^{n}$ $g=1$ $n=1$

Variedades de módulos

Dado un número entero , el conjunto de clases de isomorfismo de curvas de género completas suaves se denomina módulo de curvas de género y se denota como . Hay pocas formas de demostrar que este módulo tiene una estructura de una variedad algebraica posiblemente reducible; por ejemplo, una forma es utilizar la teoría geométrica invariante que garantiza que un conjunto de clases de isomorfismo tenga una estructura de variedad cuasiproyectiva (reducible). ^[9] Los módulos como los módulos de curvas de género fijo no suelen ser una variedad proyectiva; A grandes rasgos, la razón es que una degeneración (límite) de una curva suave tiende a ser no suave o reducible. Esto lleva a la noción de una curva estable de género , una curva completa no necesariamente suave sin singularidades terriblemente malas y un grupo de automorfismos no tan grande. Los módulos de curvas estables , el conjunto de clases de isomorfismo de curvas estables de género , es entonces una variedad proyectiva que contiene como subconjunto abierto. Dado que se obtiene agregando puntos límite a , se dice coloquialmente que es una compactación de . Históricamente, un artículo de Mumford y Deligne ^[10] introdujo la noción de una curva estable para mostrar que es irreducible cuando . $g\geq 0$ $g$ $g$ ${\mathfrak {M}}_{g}$ $g\geq 2$ ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ $g\geq 2$ ${\mathfrak {M}}_{g}$ ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ ${\mathfrak {M}}_{g}$ ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ ${\mathfrak {M}}_{g}$ ${\mathfrak {M}}_{g}$ $g\geq 2$

Los módulos de curvas ejemplifican una situación típica: los módulos de objetos agradables tienden a no ser proyectivos sino cuasiproyectivos. Otro caso es el de módulos de haces de vectores en una curva. Aquí existen las nociones de haces de vectores estables y semiestables en una curva completa suave . Los módulos de paquetes de vectores semiestables de un rango dado y un grado dado (grado del determinante del paquete) es entonces una variedad proyectiva denotada como , que contiene el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes de vectores estables de rango y grado como un subconjunto abierto . ^[11] Dado que un paquete de líneas es estable, dicho módulo es una generalización de la variedad jacobiana de . $C$ $n$ $d$ $SU_{C}(n,d)$ ${\ Displaystyle U_ {C} (n, d)}$ $n$ $d$ $C$

En general, a diferencia del caso de los módulos de curvas, la compactación de un módulo no tiene por qué ser única y, en algunos casos, se construyen diferentes compactaciones no equivalentes utilizando diferentes métodos y por diferentes autores. Un ejemplo es el problema de compactar el cociente de un dominio simétrico acotado por una acción de un grupo aritmético discreto . ^[12] Un ejemplo básico es cuando , el medio espacio superior de Siegel y conmensurable con ; en ese caso, tiene una interpretación como los módulos de variedades de dimensión abelianas complejas principalmente polarizadas (una polarización principal identifica una variedad abeliana con su dual). La teoría de las variedades tóricas (o incrustaciones de toros) proporciona una forma de compactar , una compactación toroidal del mismo. ^[13]^[14] Pero hay otras formas de compactar ; por ejemplo, existe la compactación mínima debida a Baily y Borel: es la variedad proyectiva asociada al anillo graduado formado por formas modulares (en el caso de Siegel, formas modulares de Siegel ; ^[15] ver también variedad modular de Siegel ). La no unicidad de las compactaciones se debe a la falta de interpretaciones de los módulos de esas compactaciones; es decir, no representan (en el sentido de la teoría de categorías) ningún problema de módulos naturales o, en el lenguaje preciso, no existe una pila de módulos naturales que sea análoga a la pila de módulos de curvas estables. $\mathbb {C}$ $D/\Gamma$ $D$ $\Gamma$ $D/\Gamma$ $D={\mathfrak {H}}_{g}$ $\Gamma$ $\operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )$ $D/\Gamma$ ${\mathfrak {A}}_{g}$ $g$ $D/\Gamma$ $D/\Gamma$ $D/\Gamma$

Ejemplo no afín y no proyectivo

Una variedad algebraica no puede ser ni afín ni proyectiva. Para dar un ejemplo, sea X = P ¹ × A ¹ y p : X → A ¹ la proyección. Es una variedad algebraica ya que es producto de variedades. No es afín ya que P ¹ es una subvariedad cerrada de X (como el lugar cero de p ), pero una variedad afín no puede contener una variedad proyectiva de dimensión positiva como una subvariedad cerrada. Tampoco es proyectivo, ya que existe una función regular no constante en X ; es decir, pág .

Otro ejemplo de una variedad no proyectiva no afín es X = A ² − (0, 0) (cf. Morfismo de variedades § Ejemplos ).

No ejemplos

Considere la línea afín sobre . El complemento del círculo en no es una variedad algebraica (ni siquiera un conjunto algebraico). Tenga en cuenta que no es un polinomio en (aunque sí un polinomio en variables reales ). Por otro lado, el complemento del origen en es una variedad algebraica (afín), ya que el origen es el lugar cero de . Esto puede explicarse de la siguiente manera: la línea afín tiene dimensión uno y, por lo tanto, cualquier subvariedad de ella distinta de ella misma debe tener estrictamente menos dimensión; es decir, cero. $\mathbb {A} ^{1}$ $\mathbb {C}$ $\{z\in \mathbb {C} ||z|^{2}=1\}$ $\mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C}$ $|z|^{2}-1$ $z$ $x,y$ $\mathbb {A} ^{1}=\mathbb {C}$ $z$

Por razones similares, un grupo unitario (sobre los números complejos) no es una variedad algebraica, mientras que el grupo lineal especial es una subvariedad cerrada de , el lugar cero de . (Sin embargo, sobre un campo base diferente, a un grupo unitario se le puede dar una estructura de variedad). $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {C} )$ $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $\det -1$

Resultados básicos

Un conjunto algebraico afín V es una variedad si y sólo si I ( V ) es un ideal primo ; de manera equivalente, V es una variedad si y sólo si su anillo de coordenadas es un dominio integral . ^[16]^{: 52}^[1]^{: 4}
Todo conjunto algebraico afín no vacío puede escribirse únicamente como una unión finita de variedades algebraicas (donde ninguna de las variedades en la descomposición es una subvariedad de otra). ^[¹⁵
La dimensión de una variedad puede definirse de varias maneras equivalentes. Consulte Dimensión de una variedad algebraica para obtener más detalles.
Un producto de un número finito de variedades algebraicas (sobre un campo algebraicamente cerrado) es una variedad algebraica. Un producto finito de variedades afines es afín ^[17] y un producto finito de variedades proyectivas es proyectivo.

Isomorfismo de variedades algebraicas.

Sean $V 1, V 2$ variedades algebraicas. Decimos que $V 1$ y $V 2$ son isomorfos y escribimos $V 1 ≅ V 2$ , si hay aplicaciones regulares $φ : V 1 \to V 2$ y $ψ : V 2 \to V 1$ tales que las composiciones $ψ \circ φ$ y $φ \circ ψ$ son los mapas de identidad en $V 1$ y $V 2$ respectivamente.

Discusión y generalizaciones.

Las definiciones y hechos básicos anteriores permiten hacer geometría algebraica clásica. Para poder hacer más (por ejemplo, abordar variedades en campos que no son algebraicamente cerrados ) se requieren algunos cambios fundamentales. La noción moderna de variedad es considerablemente más abstracta que la anterior, aunque equivalente en el caso de variedades sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Una variedad algebraica abstracta es un tipo particular de esquema; la generalización a esquemas en el lado geométrico permite una extensión de la correspondencia descrita anteriormente a una clase más amplia de anillos. Un esquema es un espacio localmente anillado tal que cada punto tiene una vecindad que, como espacio localmente anillado, es isomorfa a un espectro de un anillo . Básicamente, una variedad sobre $k$ es un esquema cuya estructura es un haz de $k$ -álgebras con la propiedad de que los anillos R que ocurren arriba son todos dominios integrales y son todos $k$ -álgebras generadas finitamente, es decir, son cocientes. de álgebras polinómicas por ideales primos .

Esta definición funciona sobre cualquier campo $k$ . Le permite pegar variedades afines (a lo largo de conjuntos abiertos comunes) sin preocuparse de si el objeto resultante se puede colocar en algún espacio proyectivo. Esto también genera dificultades, ya que se pueden introducir objetos algo patológicos, por ejemplo, una línea afín con cero duplicado. Por lo general, estos objetos no se consideran variedades y se eliminan exigiendo que se separen los esquemas subyacentes a una variedad . (Estrictamente hablando, también existe una tercera condición, a saber, que sólo se necesitan un número finito de parches afines en la definición anterior).

Algunos investigadores modernos también eliminan la restricción de que una variedad tenga gráficos afines de dominio integral , y cuando se habla de una variedad solo requieren que los gráficos afines tengan un radical nil trivial .

Una variedad completa es una variedad tal que cualquier mapa de un subconjunto abierto de una curva no singular puede extenderse únicamente a toda la curva. Toda variedad proyectiva es completa, pero no al revés.

Estas variedades se han denominado "variedades en el sentido de Serre", ya que para ellas se escribió el artículo fundacional de Serre , FAC ^[18] sobre cohomología de gavillas . Siguen siendo objetos típicos para empezar a estudiar geometría algebraica, aunque también se utilizan objetos más generales de forma auxiliar.

Una forma de llevar a generalizaciones es permitir conjuntos algebraicos reducibles (y campos $k$ que no sean algebraicamente cerrados), de modo que los anillos R puedan no ser dominios integrales. Una modificación más significativa es permitir nilpotentes en el haz de anillos, es decir, anillos que no están reducidos . Ésta es una de varias generalizaciones de la geometría algebraica clásica incorporadas en la teoría de esquemas de Grothendieck .

Permitir elementos nilpotentes en anillos está relacionado con realizar un seguimiento de las "multiplicidades" en geometría algebraica. Por ejemplo, el subesquema cerrado de la línea afín definida por x ² = 0 es diferente del subesquema definido por x = 0 (el origen). De manera más general, la fibra de un morfismo de esquemas X → Y en un punto de Y puede no estar reducida, incluso si X e Y están reducidos. Geométricamente, esto dice que las fibras con buenas asignaciones pueden tener una estructura "infinitesimal" no trivial.

Existen más generalizaciones llamadas espacios y pilas algebraicos .

Variedades algebraicas

Una variedad algebraica es una variedad algebraica que también es una ^variedad m -dimensional y, por lo tanto, cada parche local suficientemente pequeño es isomorfo a km . De manera equivalente, la variedad es lisa (libre de puntos singulares). Cuando $k$ son los números reales, R , las variedades algebraicas se denominan variedades de Nash . Las variedades algebraicas se pueden definir como el conjunto cero de una colección finita de funciones algebraicas analíticas. Las variedades algebraicas proyectivas son una definición equivalente de variedades proyectivas. La esfera de Riemann es un ejemplo.

Ver también

Variedad (desambiguación) : enumera también varios significados matemáticos
Campo funcional de una variedad algebraica.
Geometría biracional
Motivo (geometría algebraica)
Variedad analítica
Espacio Zariski-Riemann
Conjunto semialgebraico
variedad fano
Teorema de universalidad de Mnëv

Notas

^ Hartshorne, p.xv, Harris, p.3
^ Liu, Qing. Geometría algebraica y curvas aritméticas , p. 55 Definición 2.3.47, y pág. 88 Ejemplo 3.2.3
^ Harris, página 9; que es irreductible se afirma como un ejercicio en Hartshorne p.7

Referencias

^ abcdefghijklmnop Hartshorne, Robin (1977). Geometría Algebraica . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
^ Hartshorne, Ejercicio I.2.9, p.12
^ Nagata, Masayoshi (1956). "Sobre el problema de la incrustación de variedades abstractas en variedades proyectivas". Memorias de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Kyoto. Serie A: Matemáticas . 30 : 71–82. doi : 10.1215/kjm/1250777138 . SEÑOR 0088035.
^ Nagata, Masayoshi (1957). "Sobre las incrustaciones de superficies abstractas en variedades proyectivas". Memorias de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Kyoto. Serie A: Matemáticas . 30 (3): 231–235. doi : 10.1215/kjm/1250777007 . SEÑOR 0094358. S2CID 118328992.
^ En la página 65 de Fulton, William (1993), Introducción a las variedades tóricas , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7, un comentario describe una variedad tórica completa que no tiene un conjunto de líneas no trivial; por lo tanto, en particular, no tiene un paquete de líneas amplio.
^ Definición 1.1.12 en Ginzburg, V., 1998. Conferencias sobre módulos D. Universidad de Chicago.
^ Milne 2008, Proposición 2.1.
^ Milne 2008, El comienzo del § 5.
^ MFK 1994, Teorema 5.11.
^ Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969). "La irreductibilidad del espacio de curvas de determinado género" (PDF) . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75-109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi :10.1007/bf02684599. S2CID 16482150.
^ MFK 1994, Apéndice C del cap. 5.
^ Mark Goresky. Compactificaciones y cohomología de variedades modulares. En Análisis armónico, fórmula de trazas y variedades Shimura, volumen 4 de Clay Math. Proc., páginas 551–582. América. Matemáticas. Soc., Providencia, RI, 2005.
^ Ceniza, A.; Mumford, David ; Rapoport, M.; Tai, Y. (1975), Compactificación suave de variedades localmente simétricas (PDF) , Brookline, Mass.: Math. Ciencia. Prensa, ISBN 978-0-521-73955-9, SEÑOR 0457437
^ Namikawa, Yukihiko (1980). Compactificación toroidal de espacios de Siegel . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 812. doi : 10.1007/BFb0091051. ISBN 978-3-540-10021-8.
^ Chai, Ching-Li (1986). "Esquemas de Siegel Moduli y sus compactaciones terminadas ". Geometría aritmética. págs. 231-251. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1_9. ISBN $\mathbb {C}$ 978-1-4613-8657-5.
^ Harris, Joe (1992). Geometría Algebraica - Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 133. Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-2189-8. ISBN 0-387-97716-3.
^ Geometría Algebraica I. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 23. 1994. doi : 10.1007/978-3-642-57878-6. ISBN 978-3-540-63705-9.
^ Serre, Jean-Pierre (1955). «Faisceaux Algebriques Coherents» (PDF) . Anales de Matemáticas . 61 (2): 197–278. doi :10.2307/1969915. JSTOR 1969915.

Fuentes

Cox, David ; Juan pequeño; Don O'Shea (1997). Ideales, variedades y algoritmos (segunda ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94680-2.
Eisenbud, David (1999). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94269-6.
Milne, James S. (2008). «Geometría Algebraica» . Consultado el 1 de septiembre de 2009 .
Milne J., Jacobian Varieties, publicado como Capítulo VII de Geometría aritmética (Storrs, Connecticut, 1984), 167–212, Springer, Nueva York, 1986.
Mumford, David ; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. SEÑOR 1304906.
Geometría algebraica y curvas aritméticas /. Publicaciones científicas de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford. 2006.ISBN 978-0-19-154780-5.

Este artículo incorpora material del isomorfismo de variedades en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .