Conjunto construible (topología)

En topología , los conjuntos construibles son una clase de subconjuntos de un espacio topológico que tienen una estructura relativamente "simple". Se utilizan particularmente en geometría algebraica y campos relacionados. Un resultado clave conocido como el teorema de Chevalley en geometría algebraica muestra que la imagen de un conjunto construible es construible para una clase importante de aplicaciones (más específicamente morfismos ) de variedades algebraicas (o más generalmente esquemas ). Además, una gran cantidad de propiedades geométricas "locales" de esquemas, morfismos y haces son (localmente) construibles. Los conjuntos construibles también aparecen en la definición de varios tipos de haces construibles en geometría algebraica y cohomología de intersecciones .

Definiciones

Una definición sencilla, adecuada en muchas situaciones, es que un conjunto construible es una unión finita de conjuntos localmente cerrados . (Un conjunto es localmente cerrado si es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado .) Sin embargo, se necesita una modificación y otra definición ligeramente más débil para tener definiciones que se comporten mejor con espacios "grandes":

Definiciones: Un subconjunto de un espacio topológico se denomina retrocompacto si es compacto para todo subconjunto abierto compacto . Un subconjunto de es construible si es una unión finita de subconjuntos de la forma donde tanto y son subconjuntos abiertos y retrocompactos de . Un subconjunto es localmente construible si existe una cubierta de que consiste en subconjuntos abiertos con la propiedad de que cada uno es un subconjunto construible de . ^{[1] [2]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap (X-V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

De manera equivalente, los subconjuntos construibles de un espacio topológico son la colección más pequeña de subconjuntos de ese espacio que (i) contiene todos los subconjuntos abiertos retrocompactos y (ii) contiene todos los complementos y uniones finitas (y, por lo tanto, también intersecciones finitas) de los conjuntos que lo componen. En otras palabras, los conjuntos construibles son precisamente el álgebra booleana generada por los subconjuntos abiertos retrocompactos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle X}$

En un espacio topológico localmente noetheriano , todos los subconjuntos son retrocompactos, ^[3] y por lo tanto, para tales espacios, la definición simplificada dada primero arriba es equivalente a la más elaborada. La mayoría de los esquemas comúnmente encontrados en geometría algebraica (incluidas todas las variedades algebraicas ) son localmente noetherianos, pero hay construcciones importantes que conducen a esquemas más generales.

En cualquier espacio topológico (no necesariamente noetheriano ), cada conjunto construible contiene un subconjunto denso abierto de su clausura. ^[4]

Terminología: La definición que se da aquí es la utilizada en la primera edición de EGA y en el proyecto Stacks . En la segunda edición de EGA, los conjuntos construibles (según la definición anterior) se denominan "construibles globalmente", mientras que la palabra "construible" se reserva para los conjuntos llamados localmente construibles anteriormente. ^[5]

Teorema de Chevalley

Una de las razones principales de la importancia de los conjuntos construibles en la geometría algebraica es que la imagen de un conjunto construible (localmente) también es construible (localmente) para una gran clase de aplicaciones (o "morfismos"). El resultado clave es:

Teorema de Chevalley. Si es un morfismo finitamente presentado de esquemas y es un subconjunto localmente construible, entonces también es localmente construible en . ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle f(Z)}$ ${\displaystyle Y}$

En particular, la imagen de una variedad algebraica no tiene por qué ser una variedad, sino que (según los supuestos) siempre es un conjunto construible. Por ejemplo, la función que envía a tiene como imagen el conjunto , que no es una variedad, pero es construible. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,xy)}$ ${\displaystyle \{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}}$

El teorema de Chevalley en la generalidad indicada anteriormente fallaría si se utilizara la definición simplificada de conjuntos construibles (sin restringir a conjuntos abiertos retrocompactos en la definición). ^[9]

Propiedades construibles

Un gran número de propiedades "locales" de morfismos de esquemas y haces cuasicoherentes en esquemas son válidas para un subconjunto localmente construible. EGA IV § 9 ^[10] cubre un gran número de tales propiedades. A continuación se presentan algunos ejemplos (donde todas las referencias apuntan a EGA IV):

• Si es un morfismo de esquemas finitamente presentado y es una secuencia de módulos cuasi-coherentes finitamente presentados , entonces el conjunto de para el cual es exacto es localmente construible. (Proposición (9.4.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}}$
• Si es un morfismo de esquemas finitamente presentado y es un módulo cuasi-coherente finitamente presentado , entonces el conjunto de para el cual es localmente libre es localmente construible. (Proposición (9.4.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$
• Si es un morfismo finitamente presentado de esquemas y es un subconjunto localmente construible, entonces el conjunto de para el cual es cerrado (o abierto) en es localmente construible. (Corolario (9.5.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)\cap Z}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$
• Sea un esquema y un morfismo de -esquemas. Considérese el conjunto de para el cual el morfismo inducido de fibras sobre tiene alguna propiedad . Entonces es localmente construible si es cualquiera de las siguientes propiedades: sobreyectiva, propia, finita, inmersión, inmersión cerrada, inmersión abierta, isomorfismo. (Proposición (9.6.1)) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Sea un morfismo finitamente presentado de esquemas y considere el conjunto de para el cual la fibra tiene una propiedad . Entonces es localmente construible si es cualquiera de las siguientes propiedades: geométricamente irreducible, geométricamente conexo, geométricamente reducido. (Teorema (9.7.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Sea un morfismo de esquemas presentado finitamente de manera local y considérese el conjunto de para el cual la fibra tiene una propiedad . Entonces es localmente construible si es cualquiera de las siguientes propiedades: geométricamente regular, geométricamente normal, geométricamente reducida. (Proposición (9.9.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Un papel importante que desempeñan estos resultados de constructibilidad es que, en la mayoría de los casos, suponiendo que los morfismos en cuestión también son planos , se deduce que las propiedades en cuestión se cumplen en un subconjunto abierto . Una cantidad sustancial de tales resultados se incluye en EGA IV § 12. ^[11]

Véase también

• Topología construible
• Gavilla construible

Notas

1. Grothendieck y Dieudonné 1961, cap. 0 _III , Definiciones (9.1.1), (9.1.2) y (9.1.11), págs. 12-14
2. "Definición 5.15.1 (etiqueta 005G)". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
3. Grothendieck y Dieudonné 1961, cap. III _, secc. (9.1), pág. 12
4. Jinpeng An (2012). "Estructuras geométricas rígidas, acciones isométricas y cocientes algebraicos". Geom. Dedicata 157 : 153–185.
5. Grothendieck y Dieudonné 1971, cap. 0 _I , Definiciones (2.3.1), (2.3.2) y (2.3.10), págs. 55-57
6. Grothendieck y Dieudonné 1964, cap. I , Teorème (1.8.4), pág. 239.
7. "Teorema 29.22.3 (Teorema de Chevalley) (etiqueta 054K)". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
8. Grothendieck y Dieudonné 1971, cap. I , Teorema (7.1.4), pág. 329.
9. "Sección 109.24 Imágenes de subconjuntos cerrados localmente (etiqueta 0GZL)". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
10. Grothendieck y Dieudonné 1966, cap. IV , § 9 Propriétés constructibles, págs. 54-94.
11. Grothendieck y Dieudonné 1966, cap. IV , § 12 Étude des fibres des morphismes plats de présentation finie, págs. 173-187.

Referencias

• Allouche, Jean Paul. Nota sobre los conjuntos construibles de un espacio topológico.
• Andradas, Carlos; Bröcker, Ludwig; Ruiz, Jesús M. (1996). Conjuntos construibles en geometría real . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3). vol. 33. Berlín: Springer-Verlag . págs.x+270. ISBN 3-540-60451-0.Señor 1393194  .
• Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi :10.1007/bf02684274. SEÑOR  0217085.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi :10.1007/bf02684747. SEÑOR  0173675.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 . doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR  0217086.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (en francés). vol. 166 (2ª ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Mostowski, A. (1969). Conjuntos construibles con aplicaciones . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. Ámsterdam --- Varsovia: North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Polish Scientific Publishers . pp. ix+269. MR  0255390.

Enlaces externos

• Definición topológica de constructibilidad (local)
• Propiedades de constructibilidad de morfismos de esquemas (incluido el teorema de Chevalley)