Conjunto de soluciones

Conjunto de valores que satisfacen un conjunto dado de ecuaciones.

En matemáticas , un conjunto solución es el conjunto de valores que satisfacen un conjunto dado de ecuaciones o desigualdades .

Por ejemplo, para un conjunto de polinomios sobre un anillo , el conjunto solución es el subconjunto de en el que todos los polinomios desaparecen (se evalúan como 0), formalmente ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}}$

La región factible de un problema de optimización restringido es el conjunto solución de las restricciones .

Ejemplos

1. El conjunto solución de la ecuación única es el conjunto {0}. ${\displaystyle x=0}$
2. Para cualquier polinomio distinto de cero sobre números complejos en una variable, el conjunto solución se compone de un número finito de puntos. ${\displaystyle f}$
3. Sin embargo, para un polinomio complejo en más de una variable, el conjunto solución no tiene puntos aislados.

Observaciones

En geometría algebraica , los conjuntos solución se denominan conjuntos algebraicos si no existen desigualdades. Sobre los reales , y con desigualdades, existen los llamados conjuntos semialgebraicos .

Otros significados

De manera más general, el conjunto de soluciones para una colección arbitraria E de relaciones ( E _i ) ( i variando en algún conjunto de índices I ) para una colección de incógnitas , que se supone toman valores en los espacios respectivos , es el conjunto S de todas las soluciones a las relaciones. E , donde una solución es una familia de valores tal que sustituir por en la colección E hace que todas las relaciones sean "verdaderas". ${\displaystyle {(x_{j})}_{j\in J}}$ ${\displaystyle {(X_{j})}_{j\in J}}$ ${\displaystyle x^{(k)}}$ ${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$ ${\displaystyle {\left(x_{j}\right)}_{j\in J}}$ ${\displaystyle x^{(k)}}$

(En lugar de relaciones que dependen de incógnitas, deberíamos hablar más correctamente de predicados , la colección E es su conjunción lógica y el conjunto solución es la imagen inversa del valor booleano verdadero por la función booleana asociada ).

El significado anterior es un caso especial de éste, si el conjunto de polinomios f _i se interpreta como el conjunto de ecuaciones f _i ( x )=0.

Ejemplos

• El conjunto solución para E = { x + y = 0 } con respecto a es S = { ( a ,− a ) : a ∈ R }. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$
• El conjunto de soluciones para E = { x + y = 0 } con respecto a es S = { − y }. (Aquí, y no se "declara" como una incógnita y, por tanto, no debe verse como un parámetro del que depende la ecuación y, por tanto, el conjunto solución.) ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
• La solución establecida para con respecto a es el intervalo S = [0,2] (ya que no está definido para valores negativos de x ). ${\displaystyle E=\{{\sqrt {x}}\leq 4\}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• La solución establecida para con respecto a es S = 2π Z (ver identidad de Euler ). ${\displaystyle E=\{e^{ix}=1\}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$

Ver también

• resolución de ecuaciones
• Soluciones extrañas y faltantes