En matemáticas , un conjunto semialgebraico básico es un conjunto definido por igualdades polinómicas y desigualdades polinómicas, y un conjunto semialgebraico es una unión finita de conjuntos semialgebraicos básicos. Una función semialgebraica es una función con gráfica semialgebraica . Estos conjuntos y funciones se estudian principalmente en geometría algebraica real, que es el marco apropiado para la geometría algebraica sobre números reales.
Sea un campo cerrado real (por ejemplo podría ser el campo de los números reales ). Un subconjunto de es un conjunto semialgebraico si es una unión finita de conjuntos definidos por igualdades polinómicas de la forma y de conjuntos definidos por desigualdades polinómicas de la forma
De manera similar a las subvariedades algebraicas , las uniones finitas y las intersecciones de conjuntos semialgebraicos siguen siendo conjuntos semialgebraicos. Además, a diferencia de las subvariedades, el complemento de un conjunto semialgebraico es nuevamente semialgebraico. Finalmente, y lo más importante, el teorema de Tarski-Seidenberg dice que también son cerrados bajo la operación de proyección: en otras palabras, un conjunto semialgebraico proyectado sobre un subespacio lineal produce otro conjunto semialgebraico (como es el caso de la eliminación de cuantificadores ). Estas propiedades juntas significan que los conjuntos semialgebraicos forman una estructura mínima o en R.
Se dice que un conjunto (o función) semialgebraico está definido sobre un subanillo A de R si hay alguna descripción, como en la definición, donde se pueden elegir los polinomios para que tengan coeficientes en A.
En un subconjunto abierto denso del conjunto semialgebraico S , es (localmente) una subvariedad . Se puede definir la dimensión de S como la dimensión más grande en los puntos en los que es una subvariedad. No es difícil ver que un conjunto semialgebraico se encuentra dentro de una subvariedad algebraica de la misma dimensión.
