En matemáticas, particularmente en el subcampo de la geometría analítica real, un conjunto subanalítico es un conjunto de puntos (por ejemplo, en el espacio euclidiano ) definido de una manera más amplia que para los conjuntos semianalíticos (en términos generales, aquellos que satisfacen condiciones que requieren que ciertas series de potencias reales sean positivas allí). Los conjuntos subanalíticos aún tienen una descripción local razonable en términos de subvariedades .
Un subconjunto V de un espacio euclidiano E dado es semianalítico si cada punto tiene un entorno U en E tal que la intersección de V y U se encuentra en el álgebra de Boole de conjuntos generados por subconjuntos definidos por desigualdades f > 0, donde f es una función analítica real . No existe un teorema de Tarski-Seidenberg para conjuntos semianalíticos, y las proyecciones de conjuntos semianalíticos en general no son semianalíticas.
Un subconjunto V de E es un conjunto subanalítico si para cada punto existe un conjunto semianalítico relativamente compacto X en un espacio euclidiano F de dimensión al menos tan grande como E , y una vecindad U en E , tal que la intersección de V y U es una proyección lineal de X en E desde F .
En particular, todos los conjuntos semianalíticos son subanalíticos. En un subconjunto denso abierto, los conjuntos subanalíticos son subvariedades y, por lo tanto, tienen una dimensión definida "en la mayoría de los puntos". Los conjuntos semianalíticos están contenidos en una subvariedad real-analítica de la misma dimensión. Sin embargo, los conjuntos subanalíticos no están contenidos en general en ninguna subvariedad de la misma dimensión. Por otra parte, existe un teorema según el cual un conjunto subanalítico A puede escribirse como una unión localmente finita de subvariedades.
Sin embargo, los conjuntos subanalíticos no están cerrados bajo proyecciones porque una subvariedad analítica real que no es relativamente compacta puede tener una proyección que no es una unión localmente finita de subvariedades y, por lo tanto, no es subanalítica.
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