Geometría algebraica de espacios proyectivos.

El concepto de espacio proyectivo juega un papel central en la geometría algebraica . Este artículo tiene como objetivo definir la noción en términos de geometría algebraica abstracta y describir algunos usos básicos de los espacios proyectivos.

Ideales polinomiales homogéneos

Sea k un campo algebraicamente cerrado y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . El álgebra simétrica del espacio vectorial dual V* se llama anillo polinomial en V y se denota por k [ V ]. Es un álgebra graduada naturalmente por el grado de los polinomios.

El Nullstellensatz proyectivo establece que, para cualquier ideal homogéneo I que no contenga todos los polinomios de un cierto grado (denominado ideal irrelevante ), el lugar cero común de todos los polinomios en I (o Nullstelle ) no es trivial (es decir, el el lugar cero común contiene más que el elemento único {0}), y, más precisamente, el ideal de los polinomios que desaparecen en ese lugar coincide con el radical del ideal I.

Esta última afirmación se resume mejor en la fórmula: para cualquier ideal relevante I ,

${\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}.}$

En particular, los ideales relevantes máximos homogéneos de k [ V ] son ​​uno a uno con líneas que pasan por el origen de V.

Construcción de esquemas proyectivizados.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k . El esquema sobre k definido por Proj ( k [ V ]) se llama proyectivización de V . El espacio n proyectivo en k es la proyectivización del espacio vectorial . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+1}}$

La definición de la gavilla se realiza sobre la base de conjuntos abiertos de conjuntos abiertos principales  D ( P ), donde P varía sobre el conjunto de polinomios homogéneos, estableciendo las secciones

${\displaystyle \Gamma (D(P),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)})}$

ser el anillo , el componente de grado cero del anillo obtenido por localización en P. Sus elementos son por tanto las funciones racionales con numerador homogéneo y alguna potencia de P como denominador, con el mismo grado que el numerador. ${\displaystyle (k[V]_{P})_{0}}$

La situación es más clara en una forma lineal que no desaparece φ. La restricción de la estructura del haz al conjunto abierto D (φ) se identifica canónicamente ^{[nota 1]} con la especificación del esquema afín ( k [ker φ]). Dado que D ( φ ) forma una cubierta abierta de X , se puede considerar que los esquemas proyectivos se obtienen mediante el pegado mediante proyectivización de esquemas afines isomórficos.

Se puede observar que el anillo de secciones globales de este esquema es un campo, lo que implica que el esquema no es afín. Dos conjuntos abiertos cualesquiera se cruzan de forma no trivial: es decir, el esquema es irreducible . Cuando el cuerpo k es algebraicamente cerrado , es en realidad una variedad abstracta , que además es completa. cf. Glosario de teoría de esquemas ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

Divisores y poleas torcidas.

De hecho, el funtor Proj ofrece más que un simple esquema: en el proceso se define un haz de módulos graduados sobre el haz de estructura. Los componentes homogéneos de esta gavilla clasificada se denominan gavillas torcidas de Serre . Todas estas gavillas son en realidad haces de líneas . Según la correspondencia entre los divisores Cartier y los haces de líneas, el primer haz giratorio equivale a los divisores del hiperplano. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Dado que el anillo de polinomios es un dominio de factorización único , cualquier ideal primo de altura 1 es principal , lo que muestra que cualquier divisor de Weil es linealmente equivalente a alguna potencia de un divisor de hiperplano. Esta consideración demuestra que el grupo Picard de un espacio proyectivo está libre de rango 1. Es decir , y el isomorfismo viene dado por el grado de los divisores. ${\displaystyle \mathrm {Pic} \ \mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{n}=\mathbb {Z} }$

Clasificación de paquetes de vectores.

Las gavillas invertibles , o haces de líneas , en el espacio proyectivo para k un campo , son exactamente las gavillas torcidas , por lo que el grupo de Picard es isomorfo a . El isomorfismo viene dado por la primera clase de Chern . ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n},\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\ m\in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El espacio de secciones locales en un conjunto abierto del haz de líneas es el espacio de grado homogéneo k funciones regulares sobre el cono en V asociado a U. En particular, el espacio de las secciones globales. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {P} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$

${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ,{\mathcal {O}}(m))}$

desaparece si m < 0, y consta de constantes en k para m = 0 y de polinomios homogéneos de grado m para m > 0 . (Por lo tanto tiene dimensión ). ${\textstyle {\binom {m+n}{m}}={\binom {m+n}{n}}}$

El teorema de Birkhoff-Grothendieck establece que en la línea proyectiva, cualquier paquete de vectores se divide de una manera única como una suma directa de los paquetes de líneas.

Paquetes de líneas importantes

El haz tautológico , que aparece por ejemplo como divisor excepcional de la explosión de una punta lisa, es la gavilla . El paquete canónico ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {P} _{k}^{n}),\,}$es . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-(n+1))}$

Este hecho deriva de una afirmación geométrica fundamental sobre los espacios proyectivos: la secuencia de Euler .

La negatividad del paquete de líneas canónico hace que los espacios proyectivos sean ejemplos principales de variedades de Fano ; de manera equivalente, su paquete de líneas anticanónico es amplio (de hecho, muy amplio). Su índice ( cf. variedades Fano ) viene dado por y, mediante un teorema de Kobayashi-Ochiai, los espacios proyectivos se caracterizan entre las variedades Fano por la propiedad ${\displaystyle \mathrm {Ind} (\mathbb {P} ^{n})=n+1}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=\dim X+1.}$

Morfismos a esquemas proyectivos.

Como los espacios afines pueden integrarse en espacios proyectivos, todas las variedades afines también pueden integrarse en espacios proyectivos.

Cualquier elección de un sistema finito de secciones globales que desaparecen no simultáneamente de un paquete de líneas generado globalmente define un morfismo en un espacio proyectivo. Un paquete de líneas cuya base puede incrustarse en un espacio proyectivo mediante tal morfismo se llama muy amplio .

El grupo de simetrías del espacio proyectivo es el grupo de automorfismos lineales proyectivizados . La elección de un morfismo para un módulo espacial proyectivo de la acción de este grupo es de hecho equivalente a la elección de un sistema lineal de divisores n -dimensional que genera globalmente en un paquete de líneas en X. La elección de una incrustación proyectiva de X , transformaciones proyectivas de módulo es también equivalente a la elección de un paquete de líneas muy amplio en X. ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}}$

Un morfismo en un espacio proyectivo define un paquete de líneas generado globalmente por y un sistema lineal ${\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle j^{*}{\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))\subset \Gamma (X,j^{*}{\mathcal {O}}(1)).}$

Si el rango del morfismo no está contenido en un divisor de hiperplano, entonces el retroceso es una inyección y el sistema lineal de divisores ${\displaystyle j}$

${\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))}$es un sistema lineal de dimensión n .

Un ejemplo: las incrustaciones veronesas

Las incrustaciones veronesas son incrustaciones para ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}}$ ${\textstyle N={\binom {n+d}{d}}-1}$

Consulte la respuesta en MathOverflow para ver una aplicación de la incrustación veronesa al cálculo de grupos de cohomología de hipersuperficies proyectivas suaves (divisores suaves).

Curvas en espacios proyectivos.

Al igual que las variedades Fano, los espacios proyectivos son variedades regladas . La teoría de la intersección de curvas en el plano proyectivo produce el teorema de Bézout .

Ver también

Geometría algebraica general

• Esquema (matemáticas)
• Variedad proyectiva
• construcción del proyecto

Geometría proyectiva general

• Espacio proyectivo
• Geometría proyectiva
• Polinomio homogéneo

Notas

1. En coordenadas esta correspondencia viene dada por ${\displaystyle {\frac {P(X_{0},\ldots ,X_{n})}{X_{0}^{\deg(P)}}}\mapsto P(1,X_{1},\ldots ,X_{n})}$

Referencias

• Robin Hartshorne (1977). Geometría Algebraica . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
• Ficha de ejercicios ^{[ enlace muerto permanente ]} (en francés) sobre espacios proyectivos, en la página de Yves Laszlo.