Incrustación de Segre

En matemáticas , la incrustación de Segre se utiliza en geometría proyectiva para considerar el producto cartesiano (de conjuntos) de dos espacios proyectivos como una variedad proyectiva . Recibe su nombre en honor a Corrado Segre .

Definición

El mapa del Segre puede definirse como el mapa

${\displaystyle \sigma :P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

Tomando un par de puntos para su producto. ${\displaystyle ([X],[Y])\in P^{n}\times P^{m}}$

${\displaystyle \sigma :([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\ }$

(las X _i Y _j se toman en orden lexicográfico ).

Aquí, y son espacios vectoriales proyectivos sobre algún campo arbitrario , y la notación ${\displaystyle P^{n}}$ ${\displaystyle P^{m}}$

${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]\ }$

es la de coordenadas homogéneas en el espacio. La imagen del mapa es una variedad, llamada variedad Segre . A veces se escribe como . ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$

Discusión

En el lenguaje del álgebra lineal , para espacios vectoriales dados U y V sobre el mismo campo K , existe una forma natural de mapear su producto cartesiano a su producto tensorial .

${\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ }$

En general, esto no necesita ser inyectivo porque, para , y cualquier , distinto de cero ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ }$

Considerando los espacios proyectivos subyacentes P ( U ) y P ( V ), esta aplicación se convierte en un morfismo de variedades

${\displaystyle \sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\ }$

Esto no es sólo inyectivo en el sentido de la teoría de conjuntos: es una inmersión cerrada en el sentido de la geometría algebraica . Es decir, se puede dar un conjunto de ecuaciones para la imagen. Salvo por problemas de notación, es fácil decir cuáles son esas ecuaciones: expresan dos formas de factorizar productos de coordenadas a partir del producto tensorial, obtenido de dos formas diferentes como algo de U por algo de V.

Esta aplicación o morfismo σ es la incrustación de Segre . Contando las dimensiones, muestra cómo el producto de espacios proyectivos de dimensiones m y n se incrusta en la dimensión

${\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ }$

La terminología clásica llama a las coordenadas del producto multihomogéneas , y al producto generalizado a k factores espacio proyectivo de k vías .

Propiedades

La variedad Segre es un ejemplo de variedad determinante ; es el lugar geométrico cero de los menores 2×2 de la matriz . Es decir, la variedad Segre es el lugar geométrico cero común de los polinomios cuadráticos ${\displaystyle (Z_{i,j})}$

${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}.\ }$

Aquí se entiende como la coordenada natural en la imagen del mapa del Segre. ${\displaystyle Z_{i,j}}$

La variedad Segre es el producto categórico de y . ^[1] La proyección ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$ ${\displaystyle P^{n}\ }$ ${\displaystyle P^{m}}$

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

El primer factor se puede especificar mediante m+1 aplicaciones en subconjuntos abiertos que cubren la variedad Segre, que concuerdan en las intersecciones de los subconjuntos. Para , la aplicación se da enviando a . Las ecuaciones aseguran que estas aplicaciones concuerden entre sí, porque si tenemos . ${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle [Z_{i,j}]}$ ${\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]}$ ${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ }$ ${\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0}$ ${\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]}$

Las fibras del producto son subespacios lineales. Es decir, sean

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

sea ​​la proyección al primer factor; y lo mismo para el segundo factor. Entonces la imagen del mapa ${\displaystyle \pi _{Y}}$

${\displaystyle \sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

para un punto fijo p es un subespacio lineal del codominio .

Ejemplos

Cuadrárica

Por ejemplo, con m = n = 1 obtenemos una incrustación del producto de la línea proyectiva consigo misma en P ³ . La imagen es una cuádrica y se ve fácilmente que contiene dos familias de líneas de un parámetro. Sobre los números complejos, esta es una cuádrica no singular bastante general . Dejando

${\displaystyle [Z_{0}:Z_{1}:Z_{2}:Z_{3}]\ }$

sean las coordenadas homogéneas en P ³ , esta cuadrática se da como el lugar geométrico cero del polinomio cuadrático dado por el determinante

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.\ }$

Segre triple

El mapa

${\displaystyle \sigma :P^{2}\times P^{1}\to P^{5}}$

Se conoce como la tríada de Segre . Es un ejemplo de una curva normal racional . La intersección de la tríada de Segre y un plano tridimensional es una curva cúbica torcida . ${\displaystyle P^{3}}$

Variedad veronesa

La imagen de la diagonal bajo el mapa del Segre es la variedad veronesa de grado dos. ${\displaystyle \Delta \subset P^{n}\times P^{n}}$

${\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ }$

Aplicaciones

Debido a que el mapa de Segre es el producto categórico de espacios proyectivos, es una aplicación natural para describir estados no enredados en la mecánica cuántica y la teoría de la información cuántica . Más precisamente, el mapa de Segre describe cómo tomar productos de espacios proyectivos de Hilbert . ^[2]

En estadística algebraica , las variedades de Segre corresponden a modelos de independencia.

La incrustación de Segre de P ² × P ² en P ⁸ es la única variedad de Severi de dimensión 4.

Referencias

1. McKernan, James (2010). "Algebraic Geometry Course, Lecture 6: Products and fibre products" (PDF) . material del curso en línea . Consultado el 11 de abril de 2014 .
2. Gharahi, Masoud; Mancini, Stefano; Ottaviani, Giorgio (1 de octubre de 2020). "Clasificación de estructura fina de entrelazamiento multiqubit mediante geometría algebraica". Physical Review Research . 2 (4): 043003. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.043003 . hdl : 2158/1210686 .

• Harris, Joe (1995), Geometría algebraica: un primer curso , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97716-4
• Hassett, Brendan (2007), Introducción a la geometría algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, pág. 154, doi :10.1017/CBO9780511755224, ISBN 978-0-521-69141-3, Sr.  2324354