Alexander Grothendieck ( / ˈ ɡ r oʊ t ən d iː k / ; Pronunciación alemana: [ˌalɛˈksandɐ ˈɡʁoːtn̩ˌdiːk] ⓘ ; Francés: [ɡʁɔtɛndik] ; 28 de marzo de 1928 - 13 de noviembre de 2014) fue unmatemáticola geometría algebraicamoderna. [7][8]Su investigación amplió el alcance del campo y agregó elementos deálgebra conmutativa,álgebra homológica,teoría de la gavillayteoría de categoríasa sus fundamentos, mientras que su llamadaperspectiva "relativa"condujo a avances revolucionarios en muchas áreas. dematemáticas puras. [7][9]Muchos lo consideran el mayor matemático del siglo XX. [10][11]
Grothendieck inició su productiva y pública carrera como matemático en 1949. En 1958, fue nombrado profesor de investigación en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) y permaneció allí hasta 1970, cuando, impulsado por convicciones personales y políticas, abandonó el país siguiendo una disputa sobre la financiación militar. Recibió la Medalla Fields en 1966 por sus avances en geometría algebraica , álgebra homológica y teoría K. [12] Posteriormente se convirtió en profesor en la Universidad de Montpellier [1] y, aunque todavía producía trabajos matemáticos relevantes, se retiró de la comunidad matemática y se dedicó a actividades políticas y religiosas (primero el budismo y más tarde, una visión cristiana más católica). . [13] En 1991, se mudó al pueblo francés de Lasserre en los Pirineos , donde vivió recluido, todavía trabajando en matemáticas y sus pensamientos filosóficos y religiosos hasta su muerte en 2014. [14]
Grothendieck nació en Berlín de padres anarquistas . Su padre, Alexander "Sascha" Schapiro (también conocido como Alexander Tanaroff), tenía raíces judías jasídicas y había sido encarcelado en Rusia antes de mudarse a Alemania en 1922, mientras que su madre, Johanna "Hanka" Grothendieck, provenía de una familia protestante alemana en Hamburgo y trabajó como periodista. [a] Cuando eran adolescentes, sus padres se habían alejado de sus orígenes iniciales. [16] En el momento de su nacimiento, la madre de Grothendieck estaba casada con el periodista Johannes Raddatz e inicialmente, su nombre de nacimiento se registró como "Alexander Raddatz". Ese matrimonio se disolvió en 1929 y Schapiro reconoció su paternidad, pero nunca se casó con Hanka Grothendieck. [16] Grothendieck tenía un hermano materno, su media hermana Maidi.
Grothendieck vivió con sus padres en Berlín hasta finales de 1933, cuando su padre se trasladó a París para evadir el nazismo . Su madre lo siguió poco después. Grothendieck quedó al cuidado de Wilhelm Heydorn, un pastor y maestro luterano en Hamburgo . [17] [18] Según Winfried Scharlau , durante este tiempo, sus padres participaron en la Guerra Civil Española como auxiliares no combatientes. [19] [20] Sin embargo, otros afirman que Schapiro luchó en la milicia anarquista. [21]
En mayo de 1939, Grothendieck fue embarcado en un tren en Hamburgo con destino a Francia. Poco después su padre fue internado en Le Vernet . [22] Él y su madre fueron internados en varios campos de 1940 a 1942 como "extranjeros peligrosos indeseables". [23] El primer campo fue el campo de Rieucros , donde su madre contrajo la tuberculosis que eventualmente le causaría la muerte en 1957. Mientras estuvo allí, Grothendieck logró asistir a la escuela local, en Mendel. Una vez logró escapar del campo con la intención de asesinar a Hitler . [22] Más tarde, su madre Hanka fue trasladada al campo de internamiento de Gurs durante el resto de la Segunda Guerra Mundial . [22] A Grothendieck se le permitió vivir separado de su madre. [24]
En el pueblo de Le Chambon-sur-Lignon , fue refugiado y escondido en pensiones o pensiones locales , aunque ocasionalmente tuvo que buscar refugio en el bosque durante las incursiones nazis, sobreviviendo en ocasiones sin comida ni agua durante varios días. [22] [24]
Su padre fue arrestado bajo la legislación antijudía de Vichy y enviado al campo de internamiento de Drancy , y luego entregado por el gobierno francés de Vichy a los alemanes para ser enviado para ser asesinado en el campo de concentración de Auschwitz en 1942. [8] [ 25]
En Le Chambon, Grothendieck asistió al Collège Cévenol (ahora conocido como Le Collège-Lycée Cévenol International ), una escuela secundaria única fundada en 1938 por pacifistas protestantes locales y activistas pacifistas. Muchos de los niños refugiados escondidos en Le Chambon asistieron al Collège Cévenol, y fue en esta escuela donde aparentemente Grothendieck quedó fascinado por las matemáticas. [26]
En 1990, por arriesgar sus vidas para rescatar a judíos, todo el pueblo fue reconocido como " Justo entre las Naciones ".
Después de la guerra, el joven Grothendieck estudió matemáticas en Francia, inicialmente en la Universidad de Montpellier , donde al principio no obtuvo buenos resultados y reprobó materias como astronomía. [27] Trabajando por su cuenta, redescubrió la medida de Lebesgue . Después de tres años de estudios cada vez más independientes allí, fue a continuar sus estudios a París en 1948. [17]
Inicialmente, Grothendieck asistió al seminario de Henri Cartan en la École Normale Supérieure , pero carecía de la formación necesaria para seguir el seminario de alto nivel. Siguiendo el consejo de Cartan y André Weil , se trasladó a la Universidad de Nancy , donde dos destacados expertos estaban trabajando en el área de interés de Grothendieck, los espacios vectoriales topológicos : Jean Dieudonné y Laurent Schwartz . Este último había ganado recientemente una medalla Fields. Le mostró a su nuevo alumno su último trabajo; Terminó con una lista de 14 preguntas abiertas, relevantes para espacios localmente convexos . Grothendieck introdujo nuevos métodos matemáticos que le permitieron resolver todos estos problemas en unos pocos meses. [28]
En Nancy, escribió su tesis sobre análisis funcional con esos dos profesores , de 1950 a 1953. [29] En ese momento era un destacado experto en la teoría de los espacios vectoriales topológicos. [30] En 1953 se trasladó a la Universidad de São Paulo en Brasil, donde emigró mediante un pasaporte Nansen , dado que se había negado a tomar la nacionalidad francesa (ya que eso habría implicado el servicio militar en contra de sus convicciones). Permaneció en São Paulo (aparte de una larga visita a Francia de octubre de 1953 a marzo de 1954) hasta finales de 1954. Su trabajo publicado durante su estancia en Brasil todavía se centra en la teoría de los espacios vectoriales topológicos; es allí donde completó su último trabajo importante sobre ese tema (sobre la teoría "métrica" de los espacios de Banach ).
Grothendieck se mudó a Lawrence, Kansas a principios de 1955, y allí dejó de lado su antigua materia para trabajar en topología algebraica y álgebra homológica , y cada vez más en geometría algebraica. [31] [32] Fue en Lawrence donde Grothendieck desarrolló su teoría de las categorías abelianas y la reformulación de la cohomología de la gavilla basada en ellas, lo que condujo al muy influyente " artículo de Tôhoku ". [33]
En 1957, Oscar Zariski lo invitó a visitar Harvard , pero la oferta fracasó cuando se negó a firmar un compromiso en el que prometía no trabajar para derrocar al gobierno de los Estados Unidos, negativa que, según le advirtieron, amenazaba con llevarlo a prisión. La perspectiva de ir a prisión no le preocupaba, siempre que pudiera tener acceso a los libros. [34]
Comparando a Grothendieck durante sus años en Nancy con los estudiantes formados en la École Normale Supérieure en ese momento ( Pierre Samuel , Roger Godement , René Thom , Jacques Dixmier , Jean Cerf , Yvonne Bruhat , Jean-Pierre Serre y Bernard Malgrange ), Leila Schneps dijo:
Era tan completamente desconocido para este grupo y para sus profesores, provenía de un entorno tan desposeído y caótico y, en comparación con ellos, era tan ignorante al comienzo de su carrera investigadora, que su fulgurante ascenso al repentino estrellato resulta aún más evidente. increíble; bastante único en la historia de las matemáticas. [35]
Sus primeros trabajos sobre espacios vectoriales topológicos en 1953 se han aplicado con éxito a la física y la informática, culminando en una relación entre la desigualdad de Grothendieck y la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen en la física cuántica . [36]
En 1958, Grothendieck se instaló en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), un nuevo instituto de investigación con financiación privada que, en efecto, había sido creado para Jean Dieudonné y Grothendieck. [3] Grothendieck atrajo la atención por una intensa y altamente productiva actividad de seminarios allí ( grupos de trabajo de facto que reclutaban en trabajos fundacionales a algunos de los matemáticos franceses y otros más capaces de la generación más joven). [17] Grothendieck prácticamente dejó de publicar artículos a través de la ruta convencional y científica de las revistas . Sin embargo, pudo desempeñar un papel dominante en matemáticas durante aproximadamente una década, formando una escuela sólida. [37]
Oficialmente durante este tiempo, tuvo como alumnos a Michel Demazure (que trabajó en SGA3, sobre esquemas de grupo ), Luc Illusie (complejo cotangente), Michel Raynaud , Jean-Louis Verdier (cofundador de la teoría de categorías derivadas ) y Pierre Deligne. . Los colaboradores de los proyectos SGA también incluyeron a Michael Artin ( étale cohomology ), Nick Katz ( teoría de la monodromía y lápices Lefschetz ). Jean Giraud también desarrolló allí extensiones de la teoría torsor de la cohomología nobeliana . También participaron muchos otros, como David Mumford , Robin Hartshorne , Barry Mazur y CP Ramanujam .
El trabajo de Alexander Grothendieck durante lo que se describe como el período de la "Edad de Oro" en el IHÉS estableció varios temas unificadores en geometría algebraica , teoría de números , topología , teoría de categorías y análisis complejo . [29] Su primer descubrimiento (pre-IHÉS) en geometría algebraica fue el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch , una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch demostrada algebraicamente; En este contexto también introdujo la teoría K. Luego, siguiendo el programa que esbozó en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 , introdujo la teoría de esquemas , desarrollándola en detalle en sus Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) y proporcionando los nuevos fundamentos más flexibles y generales para la geometría algebraica. que se ha adoptado en el campo desde entonces. [17] Continuó presentando la teoría de esquemas de cohomología étale , proporcionando las herramientas clave para probar las conjeturas de Weil , así como la cohomología cristalina y la cohomología algebraica de Rham para complementarla. Estrechamente vinculado a estas teorías de la cohomología, originó la teoría del topos como una generalización de la topología (relevante también en la lógica categórica ). También proporcionó, por medio de una teoría categórica de Galois , una definición algebraica de grupos fundamentales de esquemas que dieron origen al ahora famoso grupo fundamental étale y luego conjeturó la existencia de una mayor generalización del mismo, que ahora se conoce como esquema de grupo fundamental. . Como marco para su coherente teoría de la dualidad, también introdujo categorías derivadas , que fueron desarrolladas aún más por Verdier. [38]
Los resultados de su trabajo sobre estos y otros temas fueron publicados en la EGA y de forma menos pulida en las notas del Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ) que dirigió en el IHÉS. [17]
Las opiniones políticas de Grothendieck eran radicales y pacifistas . Se opuso firmemente tanto a la intervención de Estados Unidos en Vietnam como al expansionismo militar soviético . Para protestar contra la guerra de Vietnam , dio conferencias sobre teoría de categorías en los bosques que rodean Hanoi mientras la ciudad era bombardeada. [39] En 1966, se había negado a asistir al Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en Moscú, donde iba a recibir la Medalla Fields. [7] Se retiró de la vida científica alrededor de 1970 después de descubrir que el IHÉS estaba financiado en parte por los militares. [40] Regresó a la academia unos años más tarde como profesor en la Universidad de Montpellier .
Si bien la cuestión de la financiación militar fue quizás la explicación más obvia para la salida de Grothendieck del IHÉS, quienes lo conocieron dicen que las causas de la ruptura fueron más profundas. Pierre Cartier , visiteur de longue durée ("invitado de larga duración") del IHÉS, escribió un artículo sobre Grothendieck para un volumen especial publicado con motivo del cuadragésimo aniversario del IHÉS. [41] En esa publicación, Cartier señala que como hijo de un anarquista antimilitar y que creció entre los marginados, Grothendieck siempre tuvo una profunda compasión por los pobres y los oprimidos. Como dice Cartier, Grothendieck llegó a encontrar Bures-sur-Yvette como " une Cage Dorée " ("una jaula dorada"). Mientras Grothendieck estaba en el IHÉS, la oposición a la guerra de Vietnam iba en aumento, y Cartier sugiere que esto también reforzó el disgusto de Grothendieck por haberse convertido en un mandarín del mundo científico. [3] Además, después de varios años en el IHÉS, Grothendieck parecía buscar nuevos intereses intelectuales. A finales de la década de 1960, comenzó a interesarse por áreas científicas fuera de las matemáticas. David Ruelle , un físico que se unió a la facultad del IHÉS en 1964, dijo que Grothendieck vino a hablar con él algunas veces sobre física . [b] La biología interesó a Grothendieck mucho más que la física, y organizó algunos seminarios sobre temas biológicos. [41]
En 1970, Grothendieck, con otros dos matemáticos, Claude Chevalley y Pierre Samuel , crearon un grupo político titulado Survivre (el nombre luego cambió a Survivre et vivre ). El grupo publicaba un boletín y se dedicaba a cuestiones antimilitaristas y ecológicas. También desarrolló fuertes críticas al uso indiscriminado de la ciencia y la tecnología. [42] Grothendieck dedicó los siguientes tres años a este grupo y se desempeñó como editor principal de su boletín. [1]
Aunque Grothendieck continuó con investigaciones matemáticas, su carrera matemática estándar terminó en gran medida cuando dejó el IHÉS. [8] Después de dejar el IHÉS, Grothendieck se convirtió en profesor temporal en el Collège de France durante dos años. [42] Luego se convirtió en profesor en la Universidad de Montpellier, donde se alejó cada vez más de la comunidad matemática. Se jubiló formalmente en 1988, algunos años después de haber aceptado un puesto de investigación en el CNRS . [1]
Si bien no publicó investigaciones matemáticas de manera convencional durante la década de 1980, produjo varios manuscritos influyentes con distribución limitada, con contenido tanto matemático como biográfico.
Producida durante 1980 y 1981, La Longue Marche à travers la théorie de Galois ( La larga marcha a través de la teoría de Galois ) es un manuscrito de 1600 páginas que contiene muchas de las ideas que llevaron al programa Esquisse d'un . [43] También incluye un estudio de la teoría de Teichmüller .
En 1983, estimulado por la correspondencia con Ronald Brown y Tim Porter en la Universidad de Bangor , Grothendieck escribió un manuscrito de 600 páginas titulado Pursuing Stacks . Comenzó con una carta dirigida a Daniel Quillen . Esta carta y sus partes sucesivas se distribuyeron desde Bangor (consulte los enlaces externos a continuación). Dentro de estos, de manera informal, similar a un diario, Grothendieck explicó y desarrolló sus ideas sobre la relación entre la teoría de la homotopía algebraica y la geometría algebraica y las perspectivas de una teoría de pilas no conmutativa . El manuscrito, que está siendo editado para su publicación por G. Maltsiniotis, dio lugar posteriormente a otra de sus obras monumentales, Les Dérivateurs . Escrito en 1991, este último trabajo de aproximadamente 2000 páginas desarrolló aún más las ideas homotópicas iniciadas en Pursuing Stacks . [7] Gran parte de este trabajo anticipó el desarrollo posterior a mediados de la década de 1990 de la teoría de la homotopía motívica de Fabien Morel y Vladimir Voevodsky .
En 1984, Grothendieck escribió la propuesta Esquisse d'un Programme ("Bosquejo de un programa") [43] para un puesto en el Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). Describe nuevas ideas para estudiar el espacio de módulos de curvas complejas. Aunque Grothendieck nunca publicó su trabajo en esta área, la propuesta inspiró a otros matemáticos a trabajar en el área al convertirse en la fuente de la teoría del diseño de niños y la geometría anabeliana . Posteriormente, se publicó en dos volúmenes y se tituló Acciones Geométricas de Galois (Cambridge University Press, 1997).
Durante este período, Grothendieck también dio su consentimiento para publicar algunos de sus borradores para EGA sobre teoremas de tipo Bertini ( EGA V, publicado en Ulam Quarterly en 1992-1993 y luego disponible en el sitio web de Grothendieck Circle en 2004).
En el manuscrito autobiográfico de 1.000 páginas Récoltes et semailles (1986), Grothendieck describe su enfoque de las matemáticas y sus experiencias en la comunidad matemática, una comunidad que inicialmente lo aceptó de manera abierta y acogedora, pero que progresivamente percibió como gobernada. por competencia y estatus. Se queja de lo que vio como un "entierro" de su trabajo y una traición por parte de sus antiguos alumnos y colegas después de haber abandonado la comunidad. [17] La obra Récoltes et semailles está ahora disponible en Internet en su original francés, [44] y se está realizando una traducción al inglés. Tsuji Yuichi (1938-2002), un amigo de Grothendieck del período Survivre , completó una traducción japonesa de todo el libro en cuatro volúmenes . Los primeros tres volúmenes (correspondientes a las Partes 0 a III del libro) se publicaron entre 1989 y 1993, mientras que el cuarto volumen (Parte IV) se completó y, aunque inédito, circulan copias del mismo como manuscrito mecanografiado. Grothendieck ayudó con la traducción y escribió un prefacio, en el que llamó a Tsuji su "primer verdadero colaborador". [45] [46] [47] [48] [49] [50] Partes de Récoltes et semailles se han traducido al español, [51] así como a una traducción rusa que se publicó en Moscú. [52] El original francés se publicó finalmente en dos volúmenes en enero de 2022, con textos adicionales de personas de diversas profesiones que discuten ciertos aspectos del libro. [53]
En 1988, Grothendieck rechazó el Premio Crafoord con una carta abierta a los medios de comunicación. Escribió que él y otros matemáticos consagrados no necesitaban apoyo financiero adicional y criticó lo que consideraba la decadencia de la ética de la comunidad científica, que se caracterizaba por un robo científico descarado que, en su opinión, se había convertido en algo común y tolerado. La carta también expresaba su creencia de que acontecimientos totalmente imprevistos antes de finales de siglo conducirían a un colapso de la civilización sin precedentes. Grothendieck añadió, sin embargo, que sus opiniones "no pretenden en modo alguno ser una crítica a los objetivos de la Real Academia en la administración de sus fondos" y añadió: "Lamento los inconvenientes que mi negativa a aceptar el premio Crafoord pueda haberles causado a usted y a la Real Academia." [54]
La Clef des Songes , [55] un manuscrito de 315 páginas escrito en 1987, es el relato de Grothendieck de cómo su consideración de la fuente de los sueños lo llevó a concluir que existe una deidad . [56] Como parte de las notas de este manuscrito, Grothendieck describió la vida y la obra de 18 "mutantes", personas a las que admiraba como visionarios muy adelantados a su tiempo y presagios de una nueva era. [1] El único matemático en su lista era Bernhard Riemann . [57] Influenciado por la mística católica Marthe Robin , de quien se decía que había sobrevivido sólo gracias a la Sagrada Eucaristía, Grothendieck casi se muere de hambre en 1988. [1] Su creciente preocupación por los asuntos espirituales también fue evidente en una carta titulada Lettre de la Bonne Nouvelle enviada a 250 amigos en enero de 1990. En ella, describía sus encuentros con una deidad y anunciaba que una "Nueva Era" comenzaría el 14 de octubre de 1996. [7]
El Grothendieck Festschrift , publicado en 1990, fue una colección de trabajos de investigación en tres volúmenes con motivo de su sexagésimo cumpleaños en 1988. [58]
Más de 20.000 páginas de escritos matemáticos y de otro tipo de Grothendieck se conservan en la Universidad de Montpellier y permanecen inéditas. [59] Han sido digitalizados para su preservación y están disponibles gratuitamente en acceso abierto a través del portal del Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck. [60] [61]
En 1991, Grothendieck se mudó a una nueva dirección que no compartía con sus contactos anteriores en la comunidad matemática. [1] Muy pocas personas lo visitaron después. [62] Los aldeanos locales lo ayudaron a mantenerse con una dieta más variada después de que intentó vivir con un alimento básico de sopa de diente de león . [63] En algún momento, Leila Schneps y Pierre Lochak lo localizaron y luego mantuvieron una breve correspondencia. Así se convirtieron en "los últimos miembros del establishment matemático en entrar en contacto con él". [64] Después de su muerte, se reveló que vivía solo en una casa en Lasserre, Ariège , un pequeño pueblo al pie de los Pirineos . [sesenta y cinco]
En enero de 2010, Grothendieck escribió la carta titulada "Déclaration d'intention de non-publication" a Luc Illusie , alegando que todos los materiales publicados en su ausencia habían sido publicados sin su permiso. Pidió que ninguna de sus obras sea reproducida total o parcialmente y que se retiren copias de esta obra de las bibliotecas. [66] Calificó un sitio web dedicado a su trabajo como "una abominación". [67] Es posible que su dictado haya sido revocado en 2010. [68]
El 13 de noviembre de 2014, a la edad de 86 años, Grothendieck murió en el hospital de Saint-Girons, Ariège . [26] [69]
Grothendieck nació en Weimar, Alemania . En 1938, a los diez años, se trasladó a Francia como refugiado. Los registros de su nacionalidad fueron destruidos durante la caída de la Alemania nazi en 1945 y no solicitó la ciudadanía francesa después de la guerra. Por lo tanto, se convirtió en apátrida durante al menos la mayor parte de su vida laboral y viajó con un pasaporte Nansen . [4] [5] [6] Parte de su renuencia a mantener la nacionalidad francesa se atribuye a no desear servir en el ejército francés, particularmente debido a la Guerra de Argelia (1954-1962). [3] [6] [15] Finalmente solicitó la ciudadanía francesa a principios de la década de 1980, después de haber superado la edad que lo eximía del servicio militar. [3]
Grothendieck era muy cercano a su madre a quien dedicó su tesis. Murió en 1957 a causa de la tuberculosis que contrajo en los campos de desplazados. [42]
Tuvo cinco hijos: un hijo con su casera durante su estancia en Nancy; [3] tres hijos, Johanna (1959), Alexander (1961) y Mathieu (1965) con su esposa Mireille Dufour; [1] [34] y un hijo con Justine Skalba, con quien vivió en una comuna a principios de la década de 1970. [1]
Los primeros trabajos matemáticos de Grothendieck se centraron en el análisis funcional . Entre 1949 y 1953 realizó su tesis doctoral sobre esta materia en Nancy , dirigida por Jean Dieudonné y Laurent Schwartz . Sus contribuciones clave incluyen productos tensoriales topológicos de espacios vectoriales topológicos , la teoría de los espacios nucleares como base para las distribuciones de Schwartz y la aplicación de espacios L p en el estudio de mapas lineales entre espacios vectoriales topológicos. En pocos años, se había convertido en una autoridad líder en esta área del análisis funcional, hasta el punto de que Dieudonné compara su impacto en este campo con el de Banach . [70]
Sin embargo, es en geometría algebraica y campos relacionados donde Grothendieck realizó su trabajo más importante e influyente. Aproximadamente desde 1955 comenzó a trabajar en la teoría de la gavilla y el álgebra homológica , produciendo el influyente " artículo Tôhoku " ( Sur quelques point d'algèbre homologique , publicado en el Tohoku Mathematical Journal en 1957) donde introdujo las categorías abelianas y aplicó su teoría para mostrar esa cohomología de gavilla puede definirse como ciertos funtores derivados en este contexto. [17]
Los métodos homológicos y la teoría de las gavillas ya habían sido introducidos en la geometría algebraica por Jean-Pierre Serre [71] y otros, después de que Jean Leray definiera las gavillas . Grothendieck los llevó a un nivel superior de abstracción y los convirtió en un principio organizador clave de su teoría. Desvió la atención del estudio de variedades individuales a su punto de vista relativo (pares de variedades relacionadas por un morfismo ), permitiendo una amplia generalización de muchos teoremas clásicos. [42] La primera aplicación importante fue la versión relativa del teorema de Serre que muestra que la cohomología de una gavilla coherente en una variedad completa es de dimensión finita; El teorema de Grothendieck muestra que las imágenes directas superiores de haces coherentes bajo un mapa adecuado son coherentes; esto se reduce al teorema de Serre sobre un espacio de un punto.
En 1956, aplicó el mismo pensamiento al teorema de Riemann-Roch , que recientemente había sido generalizado a cualquier dimensión por Hirzebruch . El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue anunciado por Grothendieck en el Mathematische Arbeitstagung inicial en Bonn , en 1957. [42] Apareció impreso en un artículo escrito por Armand Borel con Serre. Este resultado fue su primer trabajo en geometría algebraica. Grothendieck pasó a planificar y ejecutar un programa para reconstruir los fundamentos de la geometría algebraica, que en ese momento estaban en un estado de cambio y estaban siendo discutidos en el seminario de Claude Chevalley . Esbozó su programa en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 .
Su trabajo fundamental sobre geometría algebraica se encuentra en un nivel de abstracción más alto que todas las versiones anteriores. Adaptó el uso de puntos genéricos no cerrados , lo que condujo a la teoría de esquemas . Grothendieck también fue pionero en el uso sistemático de nilpotentes . Como "funciones", éstas sólo pueden tomar el valor 0, pero contienen información infinitesimal , en entornos puramente algebraicos. Su teoría de los esquemas se ha consolidado como el mejor fundamento universal para este campo, tanto por su expresividad como por su profundidad técnica. En ese entorno se pueden utilizar geometría biracional , técnicas de la teoría de números , la teoría de Galois , el álgebra conmutativa y análogos cercanos de los métodos de la topología algebraica , todo de forma integrada. [17] [72] [73]
Grothendieck se destaca por su dominio de los enfoques abstractos de las matemáticas y su perfeccionismo en cuestiones de formulación y presentación. [37] Relativamente poco de su trabajo después de 1960 fue publicado por la ruta convencional de la revista científica , circulando inicialmente en volúmenes duplicados de notas de seminarios; su influencia fue en gran medida personal. Su influencia se extendió a muchas otras ramas de las matemáticas, por ejemplo, la teoría contemporánea de los módulos D. Aunque elogiado como "el Einstein de las matemáticas", su trabajo también provocó reacciones adversas, y muchos matemáticos buscaron áreas y problemas más concretos. [74] [75]
La mayor parte del trabajo publicado de Grothendieck se recoge en los monumentales, aunque incompletos, Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) y Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ). La colección Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA ), que reúne las conferencias pronunciadas en el Séminaire Bourbaki , contiene también material importante. [17]
El trabajo de Grothendieck incluye la invención de las teorías de cohomología étale y l-adic , que explican una observación hecha por André Weil que defendía una conexión entre las características topológicas de una variedad y sus propiedades diofánticas (teórica de números). [42] Por ejemplo, el número de soluciones de una ecuación en un campo finito refleja la naturaleza topológica de sus soluciones en números complejos . Weil se había dado cuenta de que para demostrar tal conexión se necesitaba una nueva teoría de cohomología, pero ni él ni ningún otro experto vio cómo lograrlo hasta que Grothendieck expresó dicha teoría.
Este programa culminó con las pruebas de las conjeturas de Weil , la última de las cuales fue resuelta por el alumno de Grothendieck, Pierre Deligne, a principios de la década de 1970, después de que Grothendieck se retirara en gran medida de las matemáticas. [17]
En la retrospectiva Récoltes et Semailles de Grothendieck , identificó doce de sus contribuciones que, en su opinión, calificaban como "grandes ideas". [76] En orden cronológico, son:
Aquí el término yoga denota una especie de "metateoría" que puede usarse heurísticamente; Michel Raynaud escribe los otros términos "hilo de Ariadna" y "filosofía" como equivalentes efectivos. [77]
Grothendieck escribió que, de estos temas, el de mayor alcance era el topoi, ya que sintetizaban geometría algebraica, topología y aritmética. El tema que se había desarrollado más ampliamente eran los esquemas, que constituían el marco " por excelencia " de ocho de los otros temas (todos menos 1, 5 y 12). Grothendieck escribió que el primer y el último tema, los productos tensoriales topológicos y las configuraciones regulares, eran de tamaño más modesto que los demás. Los productos tensoriales topológicos habían desempeñado el papel de herramienta más que de fuente de inspiración para futuros desarrollos; pero esperaba que las configuraciones regulares no pudieran agotarse durante la vida de un matemático que se dedicara a ellas. Creía que los temas más profundos eran los motivos, la geometría anabeliana y la teoría de Galois-Teichmüller. [78]
Grothendieck es considerado por muchos el mayor matemático del siglo XX. [11] En un obituario, David Mumford y John Tate escribieron:
Aunque las matemáticas se volvieron cada vez más abstractas y generales a lo largo del siglo XX, fue Alexander Grothendieck el mayor maestro de esta tendencia. Su habilidad única era eliminar todas las hipótesis innecesarias y profundizar en un área tan profundamente que sus patrones internos en el nivel más abstracto se revelaran y luego, como un mago, mostrar cómo la solución de viejos problemas se volvía directa ahora que sus La verdadera naturaleza había sido revelada. [11]
En la década de 1970, el trabajo de Grothendieck se consideraba influyente, no sólo en la geometría algebraica y los campos afines de la teoría de la gavilla y el álgebra homológica, [79] sino que influyó en la lógica, en el campo de la lógica categórica. [80]
Grothendieck abordó la geometría algebraica aclarando los fundamentos del campo y desarrollando herramientas matemáticas destinadas a probar una serie de conjeturas notables. La geometría algebraica ha significado tradicionalmente la comprensión de objetos geométricos, como curvas y superficies algebraicas , mediante el estudio de las ecuaciones algebraicas de esos objetos. Las propiedades de las ecuaciones algebraicas se estudian a su vez utilizando las técnicas de la teoría de anillos . En este enfoque, las propiedades de un objeto geométrico están relacionadas con las propiedades de un anillo asociado. El espacio (por ejemplo, real, complejo o proyectivo) en el que se define el objeto es extrínseco al objeto, mientras que el anillo es intrínseco.
Grothendieck sentó una nueva base para la geometría algebraica al hacer de los espacios intrínsecos ("espectros") y los anillos asociados los principales objetos de estudio. Con ese fin, desarrolló la teoría de esquemas que informalmente pueden considerarse espacios topológicos en los que se asocia un anillo conmutativo a cada subconjunto abierto del espacio. Los esquemas se han convertido en los objetos básicos de estudio para los profesionales de la geometría algebraica moderna. Su uso como base permitió que la geometría absorbiera avances técnicos de otros campos. [81]
Su generalización del teorema clásico de Riemann-Roch relacionó las propiedades topológicas de curvas algebraicas complejas con su estructura algebraica y ahora lleva su nombre, llamándose "el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch". Las herramientas que desarrolló para demostrar este teorema iniciaron el estudio de la teoría K algebraica y topológica , que explora las propiedades topológicas de los objetos asociándolos con anillos. [82] Después del contacto directo con las ideas de Grothendieck en el Arbeitstagung de Bonn , Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch fundaron la teoría K topológica . [83]
La construcción de Grothendieck de nuevas teorías de cohomología , que utilizan técnicas algebraicas para estudiar objetos topológicos, ha influido en el desarrollo de la teoría algebraica de números , la topología algebraica y la teoría de la representación . Como parte de este proyecto, su creación de la teoría del topos , una generalización teórica de categorías de la topología de conjuntos de puntos , ha influido en los campos de la teoría de conjuntos y la lógica matemática . [79]
Las conjeturas de Weil se formularon a finales de la década de 1940 como un conjunto de problemas matemáticos de geometría aritmética . Describen propiedades de invariantes analíticas, llamadas funciones zeta locales , del número de puntos en una curva algebraica o variedad de dimensión superior. El descubrimiento de Grothendieck de la cohomología ℓ-adic étale , el primer ejemplo de una teoría de cohomología de Weil , abrió el camino para una prueba de las conjeturas de Weil, finalmente completadas en la década de 1970 por su alumno Pierre Deligne . [82] El enfoque a gran escala de Grothendieck ha sido llamado un "programa visionario". [84] La cohomología ℓ-ádica se convirtió entonces en una herramienta fundamental para los teóricos de números, con aplicaciones al programa Langlands . [85]
La teoría conjetural de los motivos de Grothendieck pretendía ser la teoría "ℓ-ádica", pero sin la elección de "ℓ", un número primo. No proporcionó la ruta prevista hacia las conjeturas de Weil, pero ha estado detrás de los desarrollos modernos en la teoría K algebraica , la teoría de la homotopía motívica y la integración motívica . [86] Esta teoría, el trabajo de Daniel Quillen y la teoría de las clases de Chern de Grothendieck , se consideran el trasfondo de la teoría del cobordismo algebraico , otro análogo algebraico de las ideas topológicas. [87]
El énfasis de Grothendieck en el papel de las propiedades universales en diversas estructuras matemáticas llevó la teoría de categorías a la corriente principal como principio organizador de las matemáticas en general. Entre sus usos, la teoría de categorías crea un lenguaje común para describir estructuras y técnicas similares vistas en muchos sistemas matemáticos diferentes. [88] Su noción de categoría abeliana es ahora el objeto básico de estudio en álgebra homológica . [89] El surgimiento de una disciplina matemática separada de la teoría de categorías se ha atribuido a la influencia de Grothendieck, aunque no intencional. [90]
La novela Coronel Lágrimas ( Coronel Tears en inglés, disponible en Restless Books) del escritor puertorriqueño-costarricense Carlos Fonseca es una novela semibiográfica sobre Grothendieck. [91]
La banda Stone Hill All Stars tiene una canción que lleva el nombre de Alexander Grothendieck. [92]
En la novela Cuando dejamos de entender el mundo , Benjamin Labatut dedica un capítulo a la historia de Grothendieck. [93]
En la novela El pasajero y su secuela Stella Maris de Cormac McCarthy , uno de los personajes principales es un alumno de Grothendieck. [94]
Alexandre Grothendieck es posiblemente el matemático más importante del siglo XX...
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