El principal teorema de Zariski

Teorema de geometría algebraica y álgebra conmutativa

En geometría algebraica , el teorema principal de Zariski , demostrado por Oscar Zariski  (1943), es una afirmación sobre la estructura de los morfismos biracionales que establece aproximadamente que sólo hay una rama en cualquier punto normal de una variedad. Es el caso especial del teorema de conectividad de Zariski cuando las dos variedades son birracionales.

El teorema principal de Zariski se puede expresar de varias maneras que a primera vista parecen bastante diferentes, pero que en realidad están profundamente relacionadas. Algunas de las variaciones que se han denominado teorema principal de Zariski son las siguientes:

• La transformada total de un punto fundamental normal de un mapa biracional tiene dimensión positiva. Ésta es esencialmente la forma original de Zariski de su teorema principal.
• Un morfismo biracional con fibras finitas a una variedad normal es un isomorfismo a un subconjunto abierto.
• La transformada total de un punto normal bajo un morfismo biracional adecuado está conectada.
• Un teorema de Grothendieck estrechamente relacionado describe la estructura de morfismos de esquemas cuasi finitos , lo que implica el teorema principal original de Zariski.
• Varios resultados en álgebra conmutativa que implican la forma geométrica del teorema principal de Zariski.
• Un anillo local normal es unibranquio , que es una variación de la afirmación de que la transformada de un punto normal es conexa.
• El anillo local de un punto normal de una variedad es analíticamente normal . Ésta es una forma fuerte de afirmar que es unibranquia.

El nombre "teorema principal de Zariski" proviene del hecho de que Zariski lo etiquetó como el "TEOREMA PRINCIPAL" en Zariski (1943).

El principal teorema de Zariski para los morfismos biracionales

Sea f un mapeo biracional de variedades algebraicas V y W. Recuerde que f está definida por una subvariedad cerrada (una "gráfica" de f ) tal que la proyección sobre el primer factor induce un isomorfismo entre un abierto y , y que también es un isomorfismo en U. El complemento de U en V se denomina variedad fundamental o locus de indeterminación , y la imagen de un subconjunto de V bajo se denomina transformada total del mismo. ${\displaystyle \Gamma \subset V\times W}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle p_{1}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}$

El enunciado original del teorema en (Zariski 1943, p. 522) dice:

TEOREMA PRINCIPAL: Si W es una variedad fundamental irreducible en V de una correspondencia birracional T entre V y V ′ y si T no tiene elementos fundamentales en V ′ entonces, bajo el supuesto de que V es localmente normal en W , cada componente irreducible de la la transformación T [ W ] es de dimensión mayor que W .

Aquí T es esencialmente un morfismo de V ′ a V que es birracional, W es una subvariedad del conjunto donde la inversa de T no está definida cuyo anillo local es normal, y la transformada T [ W ] significa la imagen inversa de W bajo el morfismo de V ′ a V .

A continuación se muestran algunas variantes de este teorema expresadas utilizando terminología más reciente. Hartshorne (1977, Corolario III.11.4) llama al siguiente enunciado de conexidad "Teorema principal de Zariski":

Si f : X → Y es un morfismo proyectivo biracional entre esquemas integrales noetherianos, entonces la imagen inversa de cada punto normal de Y está conectada.

La siguiente consecuencia del mismo (Teorema V.5.2, loc.cit. ) también recibe este nombre:

Si f : X → Y es una transformación birracional de variedades proyectivas con Y normal, entonces la transformada total de un punto fundamental de f es conexa y de dimensión al menos 1.

Ejemplos

• Supongamos que V es una variedad suave de dimensión mayor que 1 y V ′ se obtiene ampliando un punto W en V. Entonces V es normal en W , y el componente de la transformada de W es un espacio proyectivo, que tiene una dimensión mayor que W como lo predice la forma original de Zariski de su teorema principal.
• En el ejemplo anterior la transformada de W era irreducible. Es fácil encontrar ejemplos en los que la transformación total se puede reducir ampliando otros puntos de la transformación. Por ejemplo, si V ′ se obtiene ampliando un punto W en V y luego ampliando otro punto en esta transformada, la transformada total de W tiene 2 componentes irreducibles que se encuentran en un punto. Como lo predice la forma del teorema principal de Hartshorne, la transformada total es conexa y de dimensión al menos 1.
• Para un ejemplo en el que W no es normal y la conclusión del teorema principal falla, tome V ′ como una variedad suave, y tome V como resultado de identificar dos puntos distintos en V ′, y tome W como la imagen de estos dos puntos. Entonces W no es normal y la transformada de W consta de dos puntos, que no están conectados y no tienen dimensión positiva.

El principal teorema de Zariski para morfismos cuasifinitos

En EGA III, Grothendieck llama a la siguiente afirmación que no implica conectividad un "teorema principal" de Zariski Grothendieck (1961, Théorème 4.4.3):

Si f : X → Y es un morfismo cuasi proyectivo de los esquemas noetherianos entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra es abierto en X . Además , el esquema inducido de este conjunto es isomorfo a un subconjunto abierto de un esquema finito en Y.

En EGA IV, Grothendieck observó que la última afirmación podría deducirse de un teorema más general sobre la estructura de los morfismos cuasi finitos , y este último a menudo se denomina "el teorema principal de Zariski en la forma de Grothendieck". Es bien sabido que las inmersiones abiertas y los morfismos finitos son casi finitos. Grothendieck demostró que bajo la hipótesis de separación todos los morfismos cuasi finitos son composiciones de tales Grothendieck (1966, Théorème 8.12.6):

si Y es un esquema separado cuasi compacto y es un morfismo separado , cuasi finito y presentado finitamente, entonces hay una factorización en , donde el primer mapa es una inmersión abierta y el segundo es finito. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to Z\to Y}$

La relación entre este teorema sobre morfismos cuasi-finitos y el Théorème 4.4.3 de EGA III citado anteriormente es que si f : X → Y es un morfismo proyectivo de variedades, entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra es cuasifinito sobre Y . Luego se aplica el teorema de estructura para morfismos cuasi finitos y produce el resultado deseado.

El principal teorema de Zariski para anillos conmutativos

Zariski (1949) reformuló su teorema principal en términos de álgebra conmutativa como una afirmación sobre anillos locales. Grothendieck (1961, Théorème 4.4.7) generalizó la formulación de Zariski de la siguiente manera:

Si B es un álgebra de tipo finito sobre un anillo noetheriano local A , y n es un ideal máximo de B que es mínimo entre los ideales de B cuya imagen inversa en A es el ideal máximo m de A , entonces hay un A finito - álgebra A ′ con un ideal máximo m ′ (cuya imagen inversa en A es m ) tal que la localización B _n es isomorfa a la A -álgebra A ′ _{m ′} .

Si además A y B son integrales y tienen el mismo campo de fracciones, y A es integralmente cerrado, entonces este teorema implica que A y B son iguales. Ésta es esencialmente la formulación de Zariski de su teorema principal en términos de anillos conmutativos.

El principal teorema de Zariski: forma topológica

Una versión topológica del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto (cerrado) de una variedad compleja normal, es unibranquio ; en otras palabras, hay vecindades U arbitrariamente pequeñas de x tales que el conjunto de puntos no singulares de U está conexo (Mumford 1999, III.9).

La propiedad de ser normal es más fuerte que la propiedad de ser unibranquia: por ejemplo, una cúspide de una curva plana es unibranquia pero no normal.

Teorema principal de Zariski: forma de serie de potencias

Una versión formal en series de potencias del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto normal de una variedad, entonces es analíticamente normal ; en otras palabras, la terminación del anillo local en x es un dominio integral normal (Mumford 1999, III.9).

Ver también

• Teorema de conectividad de Deligne
• Teorema de conectividad de Fulton-Hansen
• Teorema de conectividad de Grothendieck
• factorización de Stein
• Teorema sobre funciones formales

Referencias

• Danilov, VI (2001) [1994], "Teorema de Zariski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Grothendieck, Alexandre (1961), Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboración de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 11, págs. 5-167
• Grothendieck, Alexandre (1966), Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie, Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 28, págs. 43–48
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Mumford, David (1999) [1988], El libro rojo de variedades y esquemas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1358 (ampliado, incluye Michigan Lectures (1974) sobre Curves and its Jacobians ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b62130, ISBN 978-3-540-63293-1, señor  1748380
• Peskine, Christian (1966), "Une généralisation du main theorem de Zariski", Bull. Ciencia. Matemáticas. (2) , 90 : 119-127
• Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens , Lecture Notes in Mathematics, vol. 169, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0069571, ISBN 978-3-540-05283-8, señor  0277519
• Zariski, Oscar (1943), "Fundamentos de una teoría general de correspondencias biracionales", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 53 (3): 490–542, doi : 10.2307/1990215 , JSTOR  1990215, SEÑOR  0008468
• Zariski, Oscar (1949), "Una prueba analítica simple de una propiedad fundamental de las transformaciones biracionales", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 35 (1): 62–66, Bibcode : 1949PNAS...35...62Z, doi : 10.1073/pnas.35.1.62 , JSTOR  88284, MR  0028056, PMC  1062959 , PMID  16588856

enlaces externos

• ¿Existe una razón intuitiva para el teorema principal de Zariski?