Teorema de universalidad de Mnëv

Realización de conjuntos semialgebraicos por puntos.

En geometría algebraica , el teorema de universalidad de Mnëv es un resultado que puede usarse para representar variedades algebraicas (o semialgebraicas ) como realizaciones de matroides orientadas , una noción de combinatoria . ^{[1] [2]}

matroides orientadas

A los efectos de la universalidad de Mnëv, una matroide orientada de un subconjunto finito es una lista de todas las particiones de puntos inducidas por hiperplanos en . En particular, la estructura de matroide orientada contiene información completa sobre las relaciones de incidencia en , que inducen en una estructura matroide . ${\displaystyle S\subset {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

El espacio de realización de una matroide orientada es el espacio de todas las configuraciones de puntos que inducen la misma estructura matroide orientada en . ${\displaystyle S\subset {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle S}$

Equivalencia estable de conjuntos semialgebraicos

A efectos de universalidad, la equivalencia estable de conjuntos semialgebraicos se define de la siguiente manera.

Sean y sean conjuntos semialgebraicos, obtenidos como unión desconectada de conjuntos semialgebraicos conectados ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}}$y ${\displaystyle V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}}$

Decimos eso y somos racionalmente equivalentes si existen homeomorfismos definidos por aplicaciones racionales. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U_{i}{\stackrel {\varphi _{i}}{\mapsto }}V_{i}}$

Sean conjuntos semialgebraicos, ${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n+d},V\subset {\mathbb {R} }^{n}}$

${\displaystyle U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}}$y ${\displaystyle V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}}$

con mapeo debajo de la proyección natural eliminando las últimas coordenadas. Decimos que es una proyección estable si existen aplicaciones polinómicas enteras. ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \pi :\;U\mapsto V}$

$${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{\ell },\psi _{1},\dots ,\psi _{m}:\;{\mathbb {R} }^{n}\mapsto ({\mathbb {R} }^{d})^{*}}$$

$${\displaystyle U_{i}=\{(v,v')\in {\mathbb {R} }^{n+d}\mid v\in V_{i}{\text{ and }}\langle \varphi _{a}(v),v'\rangle >0,\langle \psi _{b}(v),v'\rangle =0{\text{ for }}a=1,\dots ,\ell ,b=1,\dots ,m\}.}$$

equivalencia estable

Teorema de universalidad de Mnëv

Teorema ( teorema de universalidad de Mnëv ):

Sea un subconjunto semialgebraico definido sobre números enteros. Entonces es establemente equivalente a un espacio de realización de una determinada matroide orientada. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle V}$

Historia

El teorema de universalidad de Mnëv fue descubierto por Nikolai Mnëv en su doctorado de 1986. tesis. Tiene numerosas aplicaciones en geometría algebraica, debido a Laurent Lafforgue , Ravi Vakil y otros, permitiendo construir espacios de módulos con un comportamiento arbitrariamente malo. Este teorema junto con el teorema de universalidad de Kempe también han sido utilizados por Kapovich y Millson en el estudio de los espacios de módulos de enlaces y disposiciones. ^[3]

Ver también

• Convex Polytopes un libro que incluye material sobre el teorema y su relación con la realizabilidad de politopos a partir de sus estructuras combinatorias.

Referencias

1. Mnëv, NE (1988), "Los teoremas de universalidad sobre el problema de clasificación de variedades de configuración y variedades de politopos convexos", en Viro, Oleg Yanovich ; Vershik, Anatoly Moiseevich (eds.), Topología y geometría: Seminario Rohlin , Lecture Notes in Math., vol. 1346, Springer, Berlín, págs. 527–543, doi :10.1007/BFb0082792, MR  0970093
2. Vershik, AM (1988), "Topología de las variedades de politopos convexos, la variedad de configuraciones proyectivas de un tipo combinatorio determinado y representaciones de celosías", en Viro, Oleg Yanovich; Vershik, Anatoly Moiseevich (eds.), Topología y geometría: Seminario Rohlin , Lecture Notes in Math., vol. 1346, Springer, Berlín, págs. 557–581, doi :10.1007/BFb0082794, MR  0970095
3. Kapovich, Michael; Millson, John J. (1999), Brylinski, Jean-Luc; Brylinski, Ranee; Nístor, Víctor; Tsygan, Boris (eds.), "Moduli Spaces of Linkages and Arrangements", Avances en geometría , Boston, MA: Birkhäuser, págs. 237–270, doi :10.1007/978-1-4612-1770-1_11, ISBN 978-1-4612-1770-1, recuperado el 17 de abril de 2023

Otras lecturas

• Vakil, Ravi (2006), "Ley de Murphy en geometría algebraica: espacios de deformación con mal comportamiento", Inventiones Mathematicae , 164 (3): 569–590, arXiv : math/0411469 , Bibcode : 2006InMat.164..569V, doi : 10.1007/s00222-005-0481-9, SEÑOR  2227692, S2CID  7262537
• Richter-Gebert, Jürgen (1995), "Revisión del teorema de universalidad de Mnëv", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 34 , artículo B34h, MR  1399755
• Richter-Gebert, Jürgen (1999), "Los teoremas de universalidad para matroides y politopos orientados", en Chazelle, Bernard; Goodman, Jacob E.; Pollack, Richard (eds.), Geometría discreta y computacional: diez años después , Matemáticas contemporáneas, vol. 223, Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 269–292, doi :10.1090/conm/223/03144, SEÑOR  1661389