construcción del proyecto

En geometría algebraica , Proj es una construcción análoga a la construcción del espectro de un anillo de esquemas afines , que produce objetos con las propiedades típicas de espacios proyectivos y variedades proyectivas . La construcción, si bien no es funcional , es una herramienta fundamental en la teoría de esquemas .

En este artículo se asumirá que todos los anillos son conmutativos y con identidad.

Proyecto de un anillo graduado.

Proyecto como un conjunto

Sea un anillo graduado conmutativo , donde ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$

de suma directaideal irrelevanteideal ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$

homogéneo

$${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Proj como espacio topológico

Podemos definir una topología , llamada topología de Zariski , definiendo los conjuntos cerrados como aquellos de la forma ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

donde es un ideal homogéneo de . Como en el caso de los esquemas afines, se verifica rápidamente que forman los conjuntos cerrados de una topología . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle X}$

De hecho, si somos una familia de ideales, entonces tenemos y si el conjunto de indexación I es finito, entonces ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$ ${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

De manera equivalente, podemos tomar los conjuntos abiertos como punto de partida y definir

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

Una abreviatura común es denotar por , donde está el ideal generado por . Para cualquier ideal , los conjuntos y son complementarios y, por tanto, la misma prueba anterior muestra que los conjuntos forman una topología en . La ventaja de este enfoque es que los conjuntos , en los que se extienden todos los elementos homogéneos del anillo , forman una base para esta topología, que es una herramienta indispensable para el análisis , al igual que el hecho análogo para el espectro de un anillo también lo es. indispensable. ${\displaystyle D(Sf)}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle Sf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle V(a)}$ ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Proyecto como esquema

También construimos una gavilla , llamada "gavilla de estructura", como en el caso afín, lo que la convierte en un esquema . Como en el caso de la construcción Spec, hay muchas maneras de proceder: la más directa, que también sugiere mucho la construcción de funciones regulares sobre una variedad proyectiva en la geometría algebraica clásica, es la siguiente. Para cualquier conjunto abierto de (que es por definición un conjunto de ideales primos homogéneos de no contener ) definimos el anillo como el conjunto de todas las funciones. ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(donde denota el subanillo del anillo de fracciones que consta de fracciones de elementos homogéneos del mismo grado) tal que para cada ideal primo de : ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle S_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle f(p)}$es un elemento de ; ${\displaystyle S_{(p)}}$
2. Existe un subconjunto abierto que contiene elementos homogéneos de del mismo grado tales que para cada ideal primo de : ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$
   • ${\displaystyle t}$no está dentro ; ${\displaystyle q}$
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

De la definición se deduce inmediatamente que forman un haz de anillos en , y se puede demostrar que el par ( , ) es de hecho un esquema (esto se logra demostrando que cada uno de los subconjuntos abiertos es de hecho un esquema afín) . ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle D(f)}$

La gavilla asociada a un módulo graduado.

La propiedad esencial de para la construcción anterior fue la capacidad de formar localizaciones para cada ideal primo de . Esta propiedad también la posee cualquier módulo graduado sobre , y por lo tanto, con las modificaciones menores apropiadas, la sección anterior construye para cualquier haz de este tipo, denotado como , de -módulos en . Esta gavilla es casi coherente por construcción. Si se genera por un número finito de elementos de grado (por ejemplo, un anillo polinomial o un cociente homogéneo del mismo), todas las gavillas cuasicoherentes surgen de módulos graduados mediante esta construcción. ^[1] El módulo calificado correspondiente no es único. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

La gavilla retorcida de Serre

Un caso especial de la gavilla asociada a un módulo graduado es cuando la tomamos como sí misma con una graduación diferente: es decir, dejamos que los elementos de grado de sean los elementos de grado de , entonces ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$

haz retorcidoSerregavilla invertible ${\displaystyle M=S(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle O_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Una razón de la utilidad de es que recupera la información algebraica de que se perdió cuando, en la construcción de , pasamos a fracciones de grado cero. En el caso de la especificación A para un anillo A , las secciones globales de la estructura de la gavilla forman A en sí, mientras que las secciones globales de aquí forman solo los elementos de grado cero de . si definimos ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

luego, cada uno contiene la información de grado sobre , denotado y, en conjunto, contienen toda la información de calificación que se perdió. Asimismo, para cualquier haz de módulos graduados definimos ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

y espere que esta gavilla “retorcida” contenga información de clasificación sobre . En particular, si el haz está asociado a un módulo calificado , también esperamos que contenga información de calificación perdida sobre . Esto sugiere, aunque erróneamente, que en realidad se pueden reconstruir a partir de estos haces; como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}$$

funtor specfuntor de secciones globalesespacios anillados localmente ${\displaystyle S}$

Proyectivo n -espacio

Si es un anillo, definimos el espacio n proyectivo como el esquema ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

La clasificación en el anillo polinomial se define dejando que cada elemento tenga grado uno y cada elemento de grado cero. Comparando esto con la definición de , arriba, vemos que las secciones de son en realidad polinomios lineales homogéneos, generados por ellos mismos. Esto sugiere otra interpretación de , a saber, como el haz de “coordenadas” de , ya que son literalmente las coordenadas del espacio proyectivo. ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplos de proyecto

Proyecto sobre la línea afín

Si dejamos que el anillo base sea , entonces ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$

$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$

curvas elípticas ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$ ${\displaystyle \lambda =0,1}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$

morfismo suave de esquemascriterio jacobiano

Hipersuperficies proyectivas y variedades.

La hipersuperficie proyectiva es un ejemplo de una triple quíntica de Fermat que también es una variedad Calabi-Yau . Además de las hipersuperficies proyectivas, cualquier variedad proyectiva recortada por un sistema de polinomios homogéneos ${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$

$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$

${\displaystyle (n+1)}$

$${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$

Espacio proyectivo ponderado

Los espacios proyectivos ponderados se pueden construir utilizando un anillo polinomial cuyas variables tienen grados no estándar. Por ejemplo, el espacio proyectivo ponderado corresponde a la toma del anillo donde tiene peso mientras tiene peso 2. ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Anillos bigrados

La construcción del proyecto se extiende a anillos bigrados y multigrados. Geométricamente, esto corresponde a tomar productos de esquemas proyectivos. Por ejemplo, dados los anillos graduados

$${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$

${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$

${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (0,1)}$

$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$

$${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$

${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a+b)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{\bullet }}$

$${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$

${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$

$${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$

$${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$

Proyecto Global

Una generalización de la construcción de Proj reemplaza el anillo S con un haz de álgebras y produce, como resultado, un esquema que podría considerarse como una fibración de Proj de anillos. Esta construcción se utiliza a menudo, por ejemplo, para construir haces espaciales proyectivos sobre un esquema base .

Suposiciones

Formalmente, sea X cualquier esquema y S un haz de -álgebras graduadas (cuya definición es similar a la definición de -módulos en un espacio localmente anillado ): es decir, un haz con una descomposición de suma directa ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

donde cada uno es un módulo tal que para cada subconjunto abierto U de X , S ( U ) es un álgebra y la descomposición de suma directa resultante ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

es una calificación de esta álgebra como un anillo. Aquí suponemos que . Hacemos el supuesto adicional de que S es un haz cuasi coherente ; Esta es una suposición de “consistencia” en las secciones de diferentes conjuntos abiertos que es necesaria para que la construcción avance. ${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$

Construcción

En esta configuración podemos construir un esquema y un mapa de “proyección” p sobre X tal que para cada U afín abierta de X , ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

Esta definición sugiere que construyamos definiendo primero esquemas para cada U afín abierta , estableciendo ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

y mapas , y luego mostrar que estos datos se pueden pegar "sobre" cada intersección de dos afines abiertos U y V para formar un esquema Y que definimos como . No es difícil demostrar que definir cada uno como el mapa correspondiente a la inclusión de en S ( U ) como elementos de grado cero produce la consistencia necesaria de los , mientras que la consistencia de los mismos se deriva del supuesto de cuasi coherencia en S . ${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle O_{X}(U)}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$

La gavilla retorcida

Si S tiene la propiedad adicional de que es una gavilla coherente y genera localmente S sobre (es decir, cuando pasamos al tallo de la gavilla S en un punto x de X , que es un álgebra graduada cuyos elementos de grado cero forman el anillo entonces los elementos de grado uno forman un módulo generado finitamente y también generan el tallo como un álgebra sobre él), entonces podemos hacer una construcción adicional. Sobre cada U afín abierta , Proj S ( U ) lleva una gavilla invertible O(1) , y la suposición que acabamos de hacer garantiza que estas gavillas se pueden pegar como el anterior; la gavilla resultante también se denomina O (1) y tiene el mismo propósito que la gavilla retorcida en el proyecto de un anillo. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle O_{X,x}}$ ${\displaystyle Y_{U}}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

Proyecto de una gavilla cuasi coherente

Sea un haz cuasi coherente en un esquema . El haz de álgebras simétricas es naturalmente un haz cuasi coherente de módulos graduados, generados por elementos de grado 1. El esquema resultante se denota por . Si es de tipo finito, entonces su morfismo canónico es un morfismo proyectivo . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

Para cualquiera , la fibra del morfismo anterior over es el espacio proyectivo asociado al dual del espacio vectorial over . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$ ${\displaystyle k(x)}$

Si es un haz cuasi coherente de módulos graduados, generado por y tal que es de tipo finito, entonces es un subesquema cerrado de y es proyectivo sobre . De hecho, todo subesquema cerrado de un proyectivo tiene esta forma. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Paquetes espaciales proyectivos

Como caso especial, cuando está localmente libre de rango , obtenemos un paquete proyectivo de dimensión relativa . De hecho, si tomamos una cubierta abierta de X por afines abiertos tal que cuando se restringe a cada uno de estos, es libre sobre A , entonces ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

y por tanto es un paquete espacial proyectivo. Se pueden construir muchas familias de variedades como subesquemas de estos haces proyectivos, como la familia de curvas elípticas de Weierstrass. Para más detalles, consulte el artículo principal. ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Ejemplo de proyecto global

El proyecto global se puede utilizar para construir lápices Lefschetz . Por ejemplo, consideremos y tomemos polinomios homogéneos de grado k. Podemos considerar el haz ideal y construir un proyecto global de este cociente haz de álgebras . Esto puede describirse explícitamente como morfismo proyectivo . ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$

Ver también

• Espacio proyectivo
• Geometría algebraica de espacios proyectivos.
• Proyectivización

Referencias

1. Ravi Vakil (2015). Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) ., Corolario 15.4.3.
2. EGA , II.5.5.
3. EGA , II.5.5.1.

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157