En matemáticas , el concepto de variedad abeliana es la generalización de la curva elíptica a una dimensión superior . Las ecuaciones que definen las variedades abelianas son un tema de estudio porque cada variedad abeliana es una variedad proyectiva . Sin embargo, en la dimensión d ≥ 2, ya no es tan sencillo analizar dichas ecuaciones.
Existe una gran literatura clásica sobre esta cuestión, que en una reformulación es, para la geometría algebraica compleja , una cuestión de describir relaciones entre funciones theta . El tratamiento geométrico moderno ahora se refiere a algunos artículos básicos de David Mumford , de 1966 a 1967, que reformuló esa teoría en términos de geometría algebraica abstracta válida sobre campos generales .
Los únicos casos "fáciles" son aquellos para d = 1, para una curva elíptica con amplitud lineal en el plano proyectivo o en el 3-espacio proyectivo. En el plano, toda curva elíptica está dada por una curva cúbica. En P 3 , una curva elíptica puede obtenerse como la intersección de dos cuádricas .
En general, las variedades abelianas no son intersecciones completas . Las técnicas de álgebra computacional ahora pueden tener cierto impacto en el manejo directo de ecuaciones para valores pequeños de d > 1.
El interés de la geometría del siglo XIX en la superficie de Kummer surgió en parte de la forma en que una superficie cuártica representaba un cociente de una variedad abeliana con d = 2, por el grupo de orden 2 de automorfismos generados por x → − x en la variedad abeliana.
Mumford definió un grupo theta asociado a un haz invertible L sobre una variedad abeliana A . Este es un grupo de autoautomorfismos de L , y es un análogo finito del grupo de Heisenberg . Los resultados primarios son sobre la acción del grupo theta sobre las secciones globales de L . Cuando L es muy amplio , la representación lineal puede ser descrita, por medio de la estructura del grupo theta. De hecho el grupo theta es abstractamente un tipo simple de grupo nilpotente , una extensión central de un grupo de puntos de torsión sobre A , y la extensión es conocida (en efecto está dada por el apareamiento de Weil ). Hay un resultado de unicidad para representaciones lineales irreducibles del grupo theta con carácter central dado , o en otras palabras un análogo del teorema de Stone–von Neumann . (Se supone para esto que la característica del campo de coeficientes no divide el orden del grupo theta.)
Mumford demostró cómo esta formulación algebraica abstracta podía explicar la teoría clásica de funciones theta con características theta , como el caso en el que el grupo theta era una extensión de la doble torsión de A.
Una innovación en este área es utilizar la transformada de Mukai-Fourier .
El objetivo de la teoría es demostrar resultados sobre el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad abeliana embebida A , es decir, situada en un espacio proyectivo según una L muy amplia y sus secciones globales. El anillo conmutativo graduado que se forma por la suma directa de las secciones globales de la
es decir, el producto tensorial n - vez mayor de sí mismo, se representa como el anillo cociente de un álgebra polinómica por un ideal homogéneo I. Las partes graduadas de I han sido objeto de intenso estudio.
Las relaciones cuadráticas fueron proporcionadas por Bernhard Riemann . El teorema de Koizumi establece que la tercera potencia de un fibrado lineal amplio se genera normalmente . El teorema de Mumford-Kempf establece que la cuarta potencia de un fibrado lineal amplio se presenta cuadráticamente. Para un cuerpo base de característica cero , Giuseppe Pareschi demostró un resultado que incluye estos (como los casos p = 0, 1) que habían sido conjeturados por Lazarsfeld: sea L un fibrado lineal amplio en una variedad abeliana A . Si n ≥ p + 3, entonces la n -ésima potencia tensorial de L satisface la condición N p . [1] Pareschi y Popa han demostrado resultados adicionales, incluido el trabajo previo en el campo. [2]
