Paquete de vectores estables

En matemáticas , un paquete de vectores estable es un paquete de vectores ( holomórfico o algebraico ) que es estable en el sentido de la teoría geométrica invariante . Cualquier paquete de vectores holomorfos se puede construir a partir de otros estables utilizando la filtración de Harder-Narasimhan . Los paquetes estables fueron definidos por David Mumford en Mumford (1963) y posteriormente desarrollados por David Gieseker , Fedor Bogomolov , Thomas Bridgeland y muchos otros.

Motivación

Una de las motivaciones para analizar paquetes de vectores estables es su buen comportamiento en las familias. De hecho, los espacios Moduli de paquetes de vectores estables se pueden construir usando el esquema Quot en muchos casos, mientras que la pila de paquetes de vectores es una pila de Artin cuyo conjunto subyacente es un solo punto. ${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$

A continuación se muestra un ejemplo de una familia de haces de vectores que degeneran mal. Si tensamos la secuencia de Euler de por hay una secuencia exacta ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$^[1]

que representa un elemento distinto de cero ^[2] ya que la secuencia exacta trivial que representa el vector es ${\displaystyle v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$

Si consideramos la familia de haces de vectores en la extensión de for , hay secuencias exactas cortas ${\displaystyle E_{t}}$ ${\displaystyle t\cdot v}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to E_{t}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$

que tienen clases Chern genéricamente, pero tienen en el origen. Este tipo de salto de invariantes numéricos no ocurre en espacios de módulos de haces de vectores estables. ^[3] ${\displaystyle c_{1}=0,c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{1}=0,c_{2}=-1}$

Paquetes de vectores estables sobre curvas

Una pendiente de un paquete de vectores holomorfos W sobre una curva algebraica no singular (o sobre una superficie de Riemann ) es un número racional μ(W) = grados( W )/rango( W ). Un paquete W es estable si y sólo si

${\displaystyle \mu (V)<\mu (W)}$

para todos los subconjuntos V de W adecuados distintos de cero y es semiestable si

${\displaystyle \mu (V)\leq \mu (W)}$

para todos los subpaquetes V de W adecuados distintos de cero . Informalmente, esto dice que un paquete es estable si es "más amplio " que cualquier subpaquete adecuado, y es inestable si contiene un subpaquete "más amplio".

Si W y V son haces de vectores semiestables y μ(W) > μ(V) , entonces no hay aplicaciones distintas de cero W → V .

Mumford demostró que el espacio de módulos de paquetes estables de rango y grado dados sobre una curva no singular es una variedad algebraica cuasiproyectiva . La cohomología del espacio de módulos de haces de vectores estables sobre una curva fue descrita por Harder y Narasimhan (1975) utilizando geometría algebraica sobre campos finitos y Atiyah y Bott (1983) utilizando el enfoque de Narasimhan-Seshadri .

Paquetes de vectores estables en dimensiones superiores.

Si X es una variedad proyectiva suave de dimensión m y H es una sección de hiperplano , entonces un paquete de vectores (o una gavilla sin torsión ) W se llama estable (o a veces estable de Gieseker ) si

${\displaystyle {\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}}$

para todos los subhaces (o subhaces) V de W adecuados distintos de cero , donde χ denota la característica de Euler de un paquete de vectores algebraicos y el paquete de vectores V(nH) significa el n -ésimo giro de V por H. W se llama semiestable si lo anterior se cumple con < reemplazado por ≤.

Estabilidad de taludes

Para paquetes en curvas, la estabilidad definida por las pendientes y por el crecimiento del polinomio de Hilbert coinciden. En dimensiones superiores, estas dos nociones son diferentes y tienen diferentes ventajas. La estabilidad de Gieseker tiene una interpretación en términos de teoría invariante geométrica , mientras que la estabilidad μ tiene mejores propiedades para productos tensoriales , retrocesos , etc.

Sea X una variedad proyectiva suave de dimensión n , H su sección de hiperplano . Una pendiente de un paquete de vectores (o, más generalmente, una gavilla coherente sin torsión ) E con respecto a H es un número racional definido como

${\displaystyle \mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}}$

donde c ₁ es la primera clase de Chern . La dependencia de H a menudo se omite en la notación.

Una gavilla coherente sin torsión E es μ-semiestable si para cualquier subhaz F ⊆ E distinta de cero las pendientes satisfacen la desigualdad μ(F) ≤ μ(E). Es μ-estable si, además, para cualquier subhaz F ⊆ E de rango menor distinto de cero se cumple la desigualdad estricta μ(F) < μ(E). Esta noción de estabilidad puede denominarse estabilidad de la pendiente, estabilidad μ, ocasionalmente estabilidad de Mumford o estabilidad de Takemoto.

Para un paquete de vectores E, se cumple la siguiente cadena de implicaciones: E es μ-estable ⇒ E es estable ⇒ E es semiestable ⇒ E es μ-semiestable.

Filtración más dura de Narasimhan

Sea E un paquete de vectores sobre una curva proyectiva suave X. Entonces existe una filtración única por subpaquetes.

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E}$

de modo que los componentes graduados asociados F _i  := E _{i +1} / E _i son haces de vectores semiestables y las pendientes disminuyen, μ( F _i ) > μ( F _{i +1} ). Esta filtración fue introducida por Harder y Narasimhan (1975) y se denomina filtración de Harder-Narasimhan . Dos paquetes de vectores con grados asociados isomórficos se denominan equivalente S.

En las variedades de dimensiones superiores, la filtración también existe siempre y es única, pero es posible que los componentes clasificados asociados ya no sean paquetes. Para la estabilidad de Gieseker, las desigualdades entre pendientes deben reemplazarse con desigualdades entre polinomios de Hilbert.

Correspondencia Kobayashi-Hitchin

El teorema de Narasimhan-Seshadri dice que los paquetes estables en una curva proyectiva no singular son los mismos que aquellos que tienen conexiones unitarias irreducibles proyectivamente planas . Para haces de grado 0, las conexiones proyectivamente planas son planas y, por tanto, los haces estables de grado 0 corresponden a representaciones unitarias irreducibles del grupo fundamental .

Kobayashi y Hitchin conjeturaron algo análogo a esto en dimensiones superiores. Donaldson (1985) lo demostró para superficies proyectivas no singulares, quien demostró que en este caso un paquete de vectores es estable si y solo si tiene una conexión Hermitiano-Einstein irreducible .

Generalizaciones

Es posible generalizar la estabilidad (μ-) a esquemas proyectivos no suaves y haces coherentes más generales utilizando el polinomio de Hilbert . Sea X un esquema proyectivo , d un número natural, E un haz coherente en X con dim Supp( E ) = d . Escribe el polinomio de Hilbert de E como P _E ( m ) = Σ^re
_{= 0}α _yo ( mi ) /( yo !) mi ^. Defina el polinomio de Hilbert reducido p _E  := P _E /α _d ( E ).

Una gavilla coherente E es semiestable si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[4]

• E es puro de dimensión d , es decir, todos los primos asociados de E tienen dimensión d ;
• para cualquier subhaz adecuada distinta de cero F ⊆ E, los polinomios de Hilbert reducidos satisfacen p _F ( m ) ≤ p _E ( m ) para m grande .

Una gavilla se llama estable si la desigualdad estricta p _F ( m ) < p _E ( m ) se cumple para m grande .

Sea Coh _d (X) la subcategoría completa de gavillas coherentes en X con soporte de dimensión ≤ d . La pendiente de un objeto F en Coh _d se puede definir usando los coeficientes del polinomio de Hilbert como si α _d ( F ) ≠ 0 y 0 en caso contrario. La dependencia de d normalmente se omite en la notación. ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}}$

Una gavilla coherente E con se llama μ-semiestable si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[5] ${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d}$

• la torsión de E tiene una dimensión ≤ d -2;
• para cualquier subobjeto distinto de cero F ⊆ E en la categoría de cociente Coh _d (X)/Coh _d-1 (X) tenemos . ${\displaystyle {\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)}$

E es μ-estable si la desigualdad estricta se cumple para todos los subobjetos propios distintos de cero de E.

Tenga en cuenta que Coh _d es una subcategoría de Serre para cualquier d , por lo que existe la categoría de cociente. Un subobjeto en la categoría de cociente en general no proviene de una subhaz, pero para gavillas libres de torsión la definición original y la general para d = n son equivalentes.

También existen otras direcciones para las generalizaciones, por ejemplo, las condiciones de estabilidad de Bridgeland .

Se pueden definir paquetes principales estables en analogía con paquetes de vectores estables.

Ver también

• Correspondencia Kobayashi-Hitchin
• Corlette-Simpson correspondencia
• esquema de cotizaciones

Referencias

1. Nota de la fórmula adjunta sobre la gavilla canónica. ${\displaystyle \Omega _{\mathbb {P} ^{1}}^{1}\cong {\mathcal {O}}(-2)}$
2. Ya que hay isomorfismos ${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}(-2))\\&\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},\omega _{\mathbb {P} ^{1}})\end{aligned}}}$
3. Fallos, Gerd. "Paquetes de vectores sobre curvas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 4 de marzo de 2020.
4. Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (1997). La geometría de los espacios de módulos de gavillas (PDF) ., Definición 1.2.4
5. Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (1997). La geometría de los espacios de módulos de gavillas (PDF) ., Definición 1.6.9

• Atiyah, Michael Francis ; Bott, Raoul (1983), "Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas , 308 (1505): 523–615, doi :10.1098/rsta.1983.0017, ISSN  0080-4614, JSTOR  37156, MR  0702806
• Donaldson, SK (1985), "Conexiones Yang-Mills antiautoduales sobre superficies algebraicas complejas y haces de vectores estables", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 50 (1): 1–26, doi :10.1112/plms /s3-50.1.1, ISSN  0024-6115, SEÑOR  0765366
• Friedman, Robert (1998), Superficies algebraicas y paquetes de vectores holomorfos , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98361-5, señor  1600388
• Más duro, G.; Narasimhan, MS (1975), "Sobre los grupos de cohomología de espacios de módulos de haces de vectores en curvas", Mathematische Annalen , 212 (3): 215–248, doi :10.1007/BF01357141, ISSN  0025-5831, MR  0364254
• Huybrechts, Daniel ; Lehn, Manfred (2010), La geometría de los espacios de módulos de gavillas , Biblioteca Matemática de Cambridge (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0521134200
• Mumford, David (1963), "Invariantes proyectivos de estructuras y aplicaciones proyectivas", Proc. Internacional. Congr. Matemáticos (Estocolmo, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, págs. 526–530, SEÑOR  0175899
• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Teoría invariante geométrica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)], vol. 34 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3, señor  1304906especialmente el apéndice 5C.
• Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965), "Haces de vectores unitarios y estables en una superficie compacta de Riemann", Annals of Mathematics , Segunda serie, 82 (3), The Annals of Mathematics, vol. 82, n.º 3: 540–567, doi :10.2307/1970710, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970710, SEÑOR  0184252