En matemáticas , un módulo D es un módulo sobre un anillo D de operadores diferenciales . El mayor interés de estos módulos D es como aproximación a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales lineales . Desde alrededor de 1970, la teoría del módulo D se ha desarrollado, principalmente como respuesta a las ideas de Mikio Sato sobre el análisis algebraico , y ampliando el trabajo de Sato y Joseph Bernstein sobre el polinomio Bernstein-Sato .
Los primeros resultados importantes fueron el teorema de constructibilidad de Kashiwara y el teorema del índice de Kashiwara de Masaki Kashiwara . Los métodos de la teoría del módulo D siempre se han extraído de la teoría de haces y otras técnicas inspiradas en el trabajo de Alexander Grothendieck en geometría algebraica . El enfoque es de carácter global y difiere de las técnicas de análisis funcional utilizadas tradicionalmente para estudiar operadores diferenciales. Los resultados más sólidos se obtienen para sistemas sobredeterminados ( sistemas holonómicos ) y en la variedad característica recortada por los símbolos , que en el buen caso es una subvariedad lagrangiana del paquete cotangente de dimensión máxima ( sistemas involutivos ). Las técnicas fueron retomadas del lado de la escuela de Grothendieck por Zoghman Mebkhout , quien obtuvo una versión de categoría general derivada de la correspondencia Riemann-Hilbert en todas las dimensiones.
El primer caso de módulos D algebraicos son módulos sobre el álgebra de Weyl An ( K ) sobre un campo K de característica cero. Es el álgebra que consta de polinomios en las siguientes variables.
donde las variables x i y ∂ j conmutan por separado entre sí, y x i y ∂ j conmutan para i ≠ j , pero el conmutador satisface la relación
Para cualquier polinomio f ( x 1 , ..., x n ), esto implica la relación
relacionando así el álgebra de Weyl con ecuaciones diferenciales.
Un módulo D ( algebraico) es, por definición, un módulo izquierdo sobre el anillo An ( K ). Ejemplos de módulos D incluyen la propia álgebra de Weyl (que actúa sobre sí misma mediante multiplicación por la izquierda), el anillo polinómico (conmutativo) K [ x 1 , ..., x n ], donde xi actúa por multiplicación y ∂ j actúa por multiplicación parcial . diferenciación con respecto a x j y, de manera similar, el anillo de funciones holomorfas en C n (funciones de n variables complejas).
Dado algún operador diferencial P = a n ( x ) ∂ n + ... + a 1 ( x ) ∂ 1 + a 0 ( x ), donde x es una variable compleja, a i ( x ) son polinomios, el módulo cociente M = A 1 ( C )/ A 1 ( C ) P está estrechamente vinculado al espacio de soluciones de la ecuación diferencial
donde f es alguna función holomorfa en C , digamos. El espacio vectorial que consta de las soluciones de esa ecuación está dado por el espacio de homomorfismos de D -módulos .
La teoría general de los módulos D se desarrolla sobre una variedad algebraica suave X definida sobre un campo algebraicamente cerrado K de característica cero , como K = C. El haz de operadores diferenciales D X se define como el álgebra O X generada por los campos vectoriales en X , interpretados como derivaciones . Un módulo D X (izquierdo) M es un módulo O X con una acción izquierda de D X sobre él. Dar tal acción equivale a especificar un mapa lineal K
satisfactorio
Aquí f es una función regular en X , v y w son campos vectoriales, m una sección local de M , [−, −] denota el conmutador . Por lo tanto, si M es además un módulo O X localmente libre , darle a M una estructura de módulo D no es más que equipar el paquete de vectores asociado a M con una conexión plana (o integrable) .
Como el anillo D X no es conmutativo, es necesario distinguir los módulos D izquierdo y derecho . Sin embargo, las dos nociones se pueden intercambiar, ya que existe una equivalencia de categorías entre ambos tipos de módulos, dada al mapear un módulo izquierdo M al producto tensor M ⊗ Ω X , donde Ω X es el paquete de líneas dado por el exterior más alto potencia de las formas diferenciales 1 en X . Este paquete tiene una acción de derecho natural determinada por
donde v es un operador diferencial de orden uno, es decir, un campo vectorial, ω una forma n ( n = dim X ), y Lie denota la derivada de Lie .
Localmente, después de elegir algún sistema de coordenadas x 1 , ..., x n ( n = dim X ) en X , que determinan una base ∂ 1 , ..., ∂ n del espacio tangente de X , secciones de D X se pueden representar de forma única como expresiones
En particular, cuando X es el espacio afín de n dimensiones , este D X es el álgebra de Weyl en n variables.
Muchas propiedades básicas de los módulos D son locales y paralelas a la situación de haces coherentes . Esto se basa en el hecho de que D X es un haz localmente libre de módulos O X , aunque de rango infinito, como muestra la base O X antes mencionada . Se puede demostrar que un módulo D X que es coherente como un módulo O X es necesariamente localmente libre (de rango finito).
Los módulos D en diferentes variedades algebraicas están conectados mediante funtores de retroceso y avance comparables a los de las gavillas coherentes. Para un mapa f : X → Y de variedades suaves, las definiciones son estas:
Este está equipado con una acción D X izquierda de una manera que emula la regla de la cadena , y con la acción derecha natural de f −1 ( D Y ). El retroceso se define como
Aquí M es un módulo DY izquierdo , mientras que su retroceso es un módulo izquierdo sobre X. Este funtor es exacto a la derecha , su funtor derivado a la izquierda se denota L f ∗ . Por el contrario, para un módulo D X derecho N ,
es un módulo D Y derecho . Dado que esto mezcla el producto tensorial exacto derecho con el avance exacto izquierdo, es común establecer en su lugar
Debido a esto, gran parte de la teoría de los módulos D se desarrolla utilizando todo el poder del álgebra homológica , en particular las categorías derivadas .
Se puede demostrar que el álgebra de Weyl es un anillo noetheriano (izquierdo y derecho) . Además, es simple , es decir, sus únicos ideales bilaterales son el ideal cero y el anillo completo. Estas propiedades hacen manejable el estudio de los módulos D. En particular, las nociones estándar del álgebra conmutativa como el polinomio de Hilbert , la multiplicidad y la longitud de los módulos se trasladan a los módulos D. Más precisamente, D X está equipado con la filtración de Bernstein , es decir, la filtración tal que F p A n ( K ) consta de K combinaciones lineales de operadores diferenciales x α ∂ β con | α | + | β | ≤ p (usando notación multiíndice ). Se considera que el anillo graduado asociado es isomorfo al anillo polinómico en 2 n indeterminados. En particular es conmutativo.
Los módulos D M finitamente generados están dotados de las llamadas filtraciones "buenas" F ∗ M , que son compatibles con F ∗ A n ( K ), esencialmente paralelas a la situación del lema de Artin-Rees . El polinomio de Hilbert se define como el polinomio numérico que concuerda con la función
para n grande . La dimensión d ( M ) de un módulo An ( K ) M se define como el grado del polinomio de Hilbert. Está limitado por la desigualdad de Bernstein.
Un módulo cuya dimensión alcanza el menor valor posible, n , se llama holonómico .
El módulo A 1 ( K ) M = A 1 ( K )/ A 1 ( K ) P (ver arriba) es holonómico para cualquier operador diferencial distinto de cero P , pero no se cumple una afirmación similar para las álgebras de Weyl de dimensiones superiores.
Como se mencionó anteriormente, los módulos del álgebra de Weyl corresponden a D -módulos en el espacio afín. Al no estar disponible la filtración de Bernstein en D X para las variedades generales X , la definición se generaliza a variedades suaves afines arbitrarias X mediante filtración de orden en D X , definida por el orden de los operadores diferenciales . El anillo graduado asociado gr D X viene dado por funciones regulares en el paquete cotangente T ∗ X .
La variedad característica se define como la subvariedad del haz cotangente cortado por el radical del aniquilador de gr M , donde nuevamente M está equipado con una filtración adecuada (con respecto al orden de filtración en D X ). Como es habitual, la construcción afín luego se adhiere a variedades arbitrarias.
La desigualdad de Bernstein sigue siendo válida para cualquier variedad (suave) X . Si bien el límite superior es una consecuencia inmediata de la interpretación anterior de gr D X en términos del paquete cotangente, el límite inferior es más sutil.
Los módulos holonómicos tienden a comportarse como espacios vectoriales de dimensión finita. Por ejemplo, su longitud es finita. Además, M es holonómico si y sólo si todos los grupos de cohomología del complejo Li ∗ ( M ) son espacios K -vectoriales de dimensión finita , donde i es la inmersión cerrada de cualquier punto de X.
Para cualquier módulo D M , el módulo dual se define por
Los módulos holonómicos también pueden caracterizarse por una condición homológica : M es holonómico si y sólo si D( M ) está concentrado (visto como un objeto en la categoría derivada de D -módulos) en el grado 0. Este hecho es un primer vistazo a Verdier. La dualidad y la correspondencia Riemann-Hilbert . Se prueba extendiendo el estudio homológico de anillos regulares (especialmente lo relacionado con la dimensión homológica global ) al anillo filtrado DX .
Otra caracterización de los módulos holonómicos es mediante geometría simpléctica . La variedad característica Ch( M ) de cualquier D -módulo M es, vista como una subvariedad del paquete cotangente T ∗ X de X , una variedad involutiva . El módulo es holonómico si y sólo si Ch( M ) es lagrangiano .
Una de las primeras aplicaciones de los módulos D holonómicos fue el polinomio de Bernstein-Sato .
La conjetura de Kazhdan-Lusztig se demostró utilizando módulos D.
La correspondencia Riemann-Hilbert establece un vínculo entre ciertos módulos D y poleas construibles. Como tal, proporcionó una motivación para introducir gavillas perversas .
Los módulos D también se aplican en la teoría de la representación geométrica. Un resultado principal en esta área es la localización de Beilinson-Bernstein . Relaciona módulos D en variedades de bandera G / B con representaciones del álgebra de Lie de un grupo reductivo G . Los módulos D también son cruciales en la formulación del programa geométrico Langlands .
![{\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06bb187657aa1ad15ccde4ae43b5f323ca374fc)
![{\displaystyle \mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8b3408ba48524655bdd8c1830519ff88430c80)
