Esto se puede repetir en el pensamiento infinitamente, aún difíciles de entender.La argumentación de Zenón gira en torno a la pregunta de si el mundo puede ser dividido en unidades discretas, es decir, si acaso existe la divisibilidad o el mundo constituye realmente una unidad continua.Algunos relatos suponen que Zenón se orientaba con sus paradojas a defender la doctrina de su maestro Parménides de que existiría solamente lo único infinito y todo movimiento sería una ilusión.Suponiendo que ambos comiencen a correr a una velocidad constante (uno muy rápido y la otra muy lenta), tras un tiempo finito, Aquiles correrá 100 metros, alcanzando el punto de partida de la tortuga.Durante este tiempo, la tortuga ha corrido una distancia mucho más corta, digamos que de 10 metros.También se puede encarar el problema evitando el cálculo infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides —el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Maratón— no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada.Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería.Al inicio de la carrera, Aquiles se encuentra, por detrás del camión, al final de la plataforma; pues bien, si ambos fuesen a igual velocidad, veríamos que Aquiles se mantiene a la altura del extremo trasero de la plataforma; ahora bien, lo mismo daría que estuviese subido en esta (ha resultado ser un poco vago), ya que yendo a la misma velocidad que el camión, le veríamos igualmente en ese extremo de la plataforma.Y para simplificar supongamos que no tenemos ningún punto de referencia, solo vemos al camión con la tortuga y a Aquiles; en ese caso no podríamos diferenciar si el camión se está moviendo o está parado, así que, si es lo mismo, supongamos que está parado.Pues bien, si Aquiles se mueve más rápido que el camión (es decir a una velocidad mayor que cero) le veríamos avanzar por la plataforma y al llegar a la cabina con la tortuga sencillamente la sobrepasaría.Existe además otra variante para describir la paradoja, según la cual Aquiles nunca podría partir siquiera.Antes de que pueda llegar allí, debe recorrer la mitad del camino.La conclusión paradójica entonces sería que el viaje a través de cualquier distancia finita no se puede completar ni comenzar, por lo que todo movimiento debe ser una ilusión.Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson, es que el movimiento (tiempo y distancia) no es realmente infinitamente divisible.El argumento de Zenón se denomina dicotomía, porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes.La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo.Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia.Por eso, la paradoja de la piedra también puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas.No se puede juzgar, observando solo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo.¿Cómo es posible que hayan recorrido simultáneamente distancias distintas en el mismo lapso?En contraste con las paradojas del movimiento, en la divulgación de las paradojas de la pluralidad no se ha logrado imponer una denominación única y en general el significado de los textos griegos que se conservan es notoriamente menos claro que las paradojas del movimiento que indirectamente han transmitido otros autores.La idea que estaría en la base de este argumento podría ser que cosas diferentes, si estas no son divididas por una tercera cosa, son una misma, junto a un rechazo de la idea del espacio vacío.Primeramente Zenón muestra (Simplicio solo resume, sin citar la demostración) que si hay pluralidad, la misma no puede tener tamaño.Según una interpretación común, donde apechein (ἀπέχειν) se traduce como separados entre sí por la distancia, como en la traducción anterior de Diels, el argumento debe entenderse como: las cosas, si se distinguen, son separadas, luego debe haber "algo" entre ellas.[35][36] También distinguió las "cosas infinitas con respecto a la divisibilidad" (como una unidad de espacio que puede dividirse mentalmente en unidades cada vez más pequeñas mientras se mantiene espacialmente igual) de las cosas (o distancias) que son infinitas en extensión ("con respecto a sus extremidades").[39] Antes del 212 a. C., Arquímedes había desarrollado un método para obtener una solución finita para la suma de infinitos términos que se hacen cada vez más pequeños (véase: serie geométrica, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, la cuadratura de la parábola).[6][40] Bertrand Russell ofreció lo que se conoce como la "teoría de movimiento de-de".[49] Los procesos infinitos siguieron siendo teóricamente problemáticos en matemáticas hasta finales del siglo XIX.Simplicio presenta a Zenón diciendo "es imposible atravesar un número infinito de cosas en un tiempo finito".[54] Bertrand Russell ofreció una "solución" a las paradojas basadas en el trabajo de Georg Cantor,[55] pero Brown concluye: "Dada la historia de las «resoluciones finales», desde Aristóteles en adelante, es probable que sea imprudente pensar que hemos llegado al final.
Representación de la célebre paradoja de "Aquiles y la tortuga" junto a la efigie de Zenón.
