Demostración matemática

[2]​ En principio una demostración se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como axiomas.Las demostraciones emplean la lógica pero normalmente incluyen una buena parte de lenguaje natural, el cual usualmente admite alguna ambigüedad.El uso temprano del término inglés probity (‘probidad’) significaba ‘presentación de evidencia legal’.[6]​ Los argumentos de plausibilidad que usaban recursos heurísticos tales como imágenes y analogías precedieron a la demostración matemática estricta.Las demostraciones en matemáticas fueron revolucionadas por Euclides (300 a. C.), quien introdujo el método axiomático que aún se usa en la actualidad, empezando con términos indefinidos y axiomas (proposiciones concernientes a los términos indefinidos asumidas como evidentemente ciertas, vienen del griego axios, que significa ‘valioso’), y usaba estos para probar teoremas usando lógica deductiva.Su libro, los elementos, fue leído por cualquiera que se considerara educado en el occidente hasta mediados del siglo XX.En el siglo X d. C., el matemático iraquí Al-Hashim dio a proveer demostraciones generales para números (más que demostraciones geométricas) al considerar multiplicación y división entre otros «por líneas».Ya no se asume que los axiomas son «ciertos» en ningún sentido; esto permite que se creen teorías matemáticas paralelas en conjuntos alternos de axiomas (véase Teoría axiomática de conjuntos y geometría no euclidiana como ejemplos).El rigor estándar no es absoluto y ha variado a través de la historia.Una demostración puede ser presentada en formas diferentes dependiendo de la audiencia esperada.El matemático Paul Erdős describió las demostraciones que consideraba particularmente elegantes como venidas de El Libro, un texto hipotético que supuestamente contiene los métodos más hermosos de probar cada teorema.[13]​ En la demostración directa, la conclusión se establece al combinar lógicamente los axiomas, definiciones, y teoremas previos.Enunciados de esta índole, en la práctica, pueden demostrarse directamente los dos o bien por reducción al absurdo.Un ejemplo lógico no matemático puede ser el siguiente: imaginemos que un restaurante ofrece en su menú paella todos los jueves.[19]​ En la demostración por contradicción (también conocida como reductio ad absurdum, que significa ‘por reducción al absurdo’ en latín), se muestra que si cierta afirmación es verdadera, ocurre una contradicción lógica, por tanto esa afirmación es falsa.El esquema demostrativo parte de la hipótesis de que todos los números reales pueden ser enumerados y dispuestos en una sucesión, y se construye luego un número real que no figura en tal sucesión.[20]​ En la demostración por exhaustividad, la conclusión se establece al dividirla en un número finito de casos y probarlos cada uno por separado.En contraste, una demostración constructiva establece que un objeto particular existe al proveer un método para encontrarlo.es un número racional: La expresión «demostración estadística» puede ser usada técnica o coloquialmente en áreas de matemáticas puras, tales como las que involucran criptografía, series caóticas y teoría de números probabilística o analítica.Hasta el siglo XX se asumía que cualquier demostración debía, en principio, ser revisada por un matemático competente para confirmar su validez.El término se usa más específicamente en la teoría de números para referirse a las demostraciones que no hacen uso del análisis complejo.A veces también significa «demostración estadística» (más abajo), especialmente cuando se usa para discutir con datos.Las demostraciones que usan lógica inductiva, mientras son consideradas matemáticas en la naturaleza, buscan establecer proporciones con un grado de certeza, el cual actúa en forma similar a la probabilidad, y podría ser menos que una certeza.Filósofos de la matemática, tales como Leibniz, Gottlob Frege y Rudolf Carnap, intentaron desarrollar una semántica para lo que ellos consideraban era el lenguaje del pensamiento, donde los estándares de la demostración matemática pudiesen ser aplicados a la ciencia empírica.Algunas veces, la abreviación QED se escribe para indicar el fin de una demostración.Esta abreviación significa quod erat demonstrandum, lo cual en latín quiere decir ‘lo que se quería demostrar’.Para ello, primero debemos plantear una hipótesis, y comprobar si es cierta o no.Luego, como nuestra hipótesis nos conduce a una contradicción, es falsa, y debemos considerar todas las posibilidades, menos esa.Nótese que para llegar a una contradicción debemos tener lo siguiente: Claramente, ninguna afirmación puede cumplir con esto.Dada una demostración como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un teorema.