Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum, expresión latina que significa literalmente 'reducción al absurdo', es uno de los métodos lógicos de demostración más usado en matemáticas para demostrar la validez (o invalidez) de proposiciones categóricas.Se parte por suponer como hipotética falsedad de la tesis de la proposición a demostrar y, mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas, se pretende llegar a una contradicción lógica, un absurdo.De llegar a una contradicción, se concluye que la tesis (que se había supuesto falsa al principio) ha de ser verdadera[1]​.Si la derivación final es una contradicción, se concluye que la proposición original es falsa y el argumento es inválido.Parte de la base es el cumplimiento del Principio de no contradicción: una proposición que no puede ser falsa es necesariamente verdadera, y una proposición que no puede ser verdadera es necesariamente falsa.Para obtener una prueba válida debe demostrarse que, dada una proposiciónEl peligro es la falacia lógica de la argumentación por ignorancia, mediante la cual se prueba que «noDebido a que cuando se establecieron esas pruebas no existía otra Geometría que la euclidiana, parecían correctas.Tras la aparición de otras geometrías se demostró que el sistema era incorrecto.Para una explicación más profunda de estas falacias puede verse Mathematical Thought: from Ancient to Modern Times,[2]​ de Morris Kline.Aunque en demostraciones matemáticas este método se utiliza con gran libertad, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan la reducción al absurdo como universalmente válida.Desde este punto de vista hay una diferencia muy significativa entre demostrar que mediante un ejemplo real de un «algo» que existe sería absurdo demostrar su no existencia.Supongamos que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica.Por ejemplo, considérese la proposición «no existe un número racional mínimo mayor que cero».En una reducción al absurdo se comenzaría por asumir lo contrario y nuestra tesis sería: existe un número racional mínimo mayor que cero:Por lo tanto, se debe concluir que la proposición asumida como cierta: «hay un número racional mínimo mayor que cero» es falsa.Existen numerosas demostraciones sobre que existen infinitos números primos, la primera de la que se tiene constancia es de Euclides, donde queda demostrado mediante Reductio ad absurdum en la Proposición 20 del libro IX de Elementos (Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos).Partiendo de suponer que lo cierto es lo contrario, por lo cual nuestra tesis quedaría: «Los números primos son finitos», entonces tenemoses el producto de todos los números primos más 1, ySi hacemos la división entre cualquier número primo de la lista, nos sale resto 1, por lo cual debe existir al menos otro número primo que no se encuentra en esa lista.Entonces llegamos a una contradicción de nuestra tesis «Los números primos son finitos» que es falsa, por lo cual existen infinitos números primos.La afirmación inicial (nuestra tesis) es la contraria, es decir, que: «la raíz cuadrada de 2 es un número racional».; entonces quedaría: Sin pérdida de generalidad se puede suponer que p y q son positivos (si los dos fueran negativos, bastaría multiplicarlos por -1) y que son primos entre sí, es decir, no comparten factor común alguno (ya que si hubiera factores comunes, los podemos simplificar y quedarnos con la fracción irreducible resultante).Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado: Multiplicando en ambos lados porSustituyendo, la expresión quedaría: Podemos simplificar dividiendo por dos en ambas partes y obtener que Por el mismo razonamiento de antes, dondeEsto entra en contradicción con la suposición anterior, de que los númerosse hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, ello implica que la premisa inicial de queEn lógica simbólica la reducción al absurdo se expresa así: En esta representación, P es la proposición por demostrar, y S es una serie de proposiciones previas tomadas como ciertas.Por ejemplo, los axiomas de la teoría en la que se ha trabajado o los teoremas anteriores ya demostrados.