Contraposición lógica
es verdadera y nos es informado de que Q es falsa, es decir
, se puede inferir lógicamente que P debe ser falso, es decir,
Esto es, normalmente llamado ley de contraposición, o regla de inferencia modus tollendo tollens Dada una afirmación original, es posible obtener todas sus formas condicionales.
Así, podemos decir que En la práctica, esto puede facilitar bastante al intentar probar algo.
Por ejemplo, si queremos demostrar que todas las chicas de Suecia (
, es decir, que todas las chicas no rubias están fuera de Suecia.
Si encontramos al menos una chica no rubia en Suecia, hemos refutado
Está lloviendo, por lo tanto, te espero dentro del teatro.es equivalente a su contrarrecíproco
No te espero dentro del teatro, por lo tanto, no está lloviendo.El contrarrecíproco es una articulación alternativa del modus tollendo tollens de la lógica proposicional.
Aplicando las reglas del cálculo deducción natural: Se expone aquí la fundamentación de una sola modalidad de las cuatro posibles, pues todas siguen los mismos pasos con iguales patrones, partiendo naturalmente del cambio de la premisa inicial.
Una vez fundamentada la ley en todos los casos posibles podemos establecer, como fórmulas equivalentes una regla de reemplazo de la siguiente forma: La proposición Q está implícita en la proposición P cuando la siguiente relación es verdadera: En términos coloquiales, esto significa que "si P, entonces Q", o, "si Sócrates es hombre, entonces Sócrates es humano."
Esta sentencia se dice que es contrapuesta con relación a la original y las dos son lógicamente equivalentes.
Sin embargo, la oposición también puede existir en dos condicionales complejos, si los mismos son semejantes.
, o "Todo no Q es no P." En lógica, la contraposición de una declaración condicional se forma negando ambos términos e invirtiendo la dirección de la inferencia.
[3] Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p. Esto se conoce como demostración por contrarrecíproco o contraposición.
Esta regla se infiere una sentencia condicional a partir de su contraposición.
La ventaja es que esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es entero.
A pesar de que se puede dar una demostración directa, optamos por probar esta afirmación por contraposición.
Después de haber probado la contraposición, inferimos la declaración original.
[5] En la lógica de primer orden, una sentencia condicional es definida como: Se tiene: Sea: Es como si A es verdad, entonces B es verdad, y también se da que B es falso.
Sin embargo, se nos da que B no es verdadero, entonces tenemos una contradicción.
Luego, A no es verdad (suponiendo que estamos tratando con declaraciones concretas que solo pueden ser verdaderas o falsas (ley del tercero excluido)): Podemos aplicar el mismo proceso en sentido contrario: También sabemos que B o es verdadero o falso.
Por lo tanto, B debe ser verdadero: Combinando los dos argumentos, llegamos a la equivalencia: La equivalencia lógica entre dos proposiciones significa que ambas son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsa.
Así, podemos reducir esta proposición a la sentencia "Falso cuando P y no Q" (es decir, "Verdadero cuando P no es el caso y no Q"): Los elementos de una conjunción lógica pueden ser revertidos sin cambiar el significado de la frase (por conmutatividad): Se define
Entonces podemos realizar la siguiente sustitución: Cuando se intercambia las definiciones de R y S, se llega a: Aunque el valor-verdad de las sentencias puede diferir, el valor-verdad de expresiones equivalentes siempre es el mismo.
En otras palabras, la contrapositiva es lógicamente equivalente a un determinado condicional, aunque no es válida para bicondicionales ('si y sólo si').
Del mismo modo, considere la sentencia "Todo cuadrilátero tiene cuatro lados", o, expresado de forma equivalente: "Si un polígono es un cuadrilátero, entonces el mismo tiene cuatro lados."
Como la contrapositiva de una sentencia siempre tiene el mismo valor de verdad (verdadero o falso) que la sentencia, puede ser una herramienta bastante útil para demostrar teoremas matemáticos.
El ejemplo anterior utiliza la contrapositiva de una definición para demostrar un teorema.
Esto se puede demostrar mediante la creación de √N igual a la expresión racional a/b con a y b siendo números enteros positivos sin ningún factor primo en común, y en cuadratura para obtener N = a2/b2 y notar que una vez que N sea un número entero positivo b=1 de modo que N = a2, un número cuadrado.
