Cálculo lógico

Las personas en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I, II, III.

Nota: A, B,... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica o molecular.

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido), ENTONCES se dice que L es un MODELO de C. Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones.

Para el cálculo de enunciados podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C. Este proceso es lo que se llama formalización del lenguaje.

Cuando es posible se llega a una formalización completamente sometida a reglas previamente establecidas, como se pretende en este caso, y los elementos que constituyen las Expresiones bien formadas (EBF)s del lenguaje natural se pueden sustituir por variables sin significado, sin contenido semántico alguno porque realizarían la misma función que cualquier expresión de la lengua que cumpla la función sintáctica de la expresión.

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas: p, q, r, s, t,..... Regla II.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni", "pero", "que", "mas", y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el símbolo de conjunción lógica: ∧ Llueve: p; Hace frío: q; Llueve y hace frío: p ∧ q; Regla IV.

Las expresiones naturales tales como "si.... entonces", "luego...", "por tanto", "por consiguiente", "con tal que...", "se infiere", "se deduce" y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo de implicación lógica o condicional material: → Llueve: p; Hace frío: q; Si llueve entonces hace frío: p → q Regla VI.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "...si y solo si...", "...equivale a...", "...es igual a...", "vale por...", "...es lo mismo que...", y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo bicondicional: ↔ Llueve: p; Hace frío: q; Llueve si y solo si hace frío: p ↔ q Uso de paréntesis: 1.- No se utiliza paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos.

2.- Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional.

4.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia -como en el caso del conjuntor y del disyuntor que son idempotentes- o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuertes -el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

a) La conclusión puede obtenerse "directamente" aplicando reglas de inferencia sobre las premisas iniciales.

Observaciones técnicas - Las líneas de derivación que introducen provisionalmente supuestos no contemplados en las premisas iniciales, deberán llevar una señal en escuadra mirando hacia abajo.

Un supuesto provisional queda cancelado cuando, en una línea posterior de dicha derivación, se obtiene una fórmula tal que permite la deducción inmediata de otra fórmula que es independiente del referido supuesto.

- La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negación de la fórmula que se pretende demostrar y obtener, mediante este supuesto, una contradicción.

La consecuencia lógica será la negación del supuesto, es decir, la afirmación de la conclusión deseada.

En este cálculo la proposición lógica es considerada como un todo en su condición de poder ser V, verdadera, o F, falsa.

Asimismo las de reemplazo significan que una expresión puede ser sustituida directamente por su equivalente, a veces como definición.

Eliminación del negador o Ex contradictione quodlibet ECQ Resulta curiosa esta regla, pero es la que justifica argumentos tales como: "Si esto que dices es verdad, yo soy el Papa de Roma", que, son válidos aunque inútiles, pues se da por supuesta la falsedad de las premisas.

Por eso "ex contradictione quod libet", es decir, de una contradicción podemos concluir lo que queramos.

Algunas de las reglas derivadas más utilizadas: Silogismo hipotético o Transitividad del condicional S.H.

, etc. no sometida al alcance de un cuantificador universal o existencial.

Ejemplos: P = Ser cuadrado x = cualquier cosa a = esta mesa

Ly en cambio es una ocurrencia libre, y por eso puede sustituirse por otra variable o por una constante, como Ld.

Simbolización Sea la relación R = ser más grande que; a = Antonio; p = Pepe Rap Simboliza la proposición Antonio es más grande que Pepe.

Sea ahora el argumento anteriormente considerado, donde R = ser más grande que; a = Antonio; p = Pepe; j = Juan El esquema de inferencia consecuente sería: (Rap /\ Rpj) → Raj Que nos da la forma de un esquema de inferencia basado en relaciones.

Diádica Raj Antonio es amigo de Juan Triádica: Rsmv Segovia está entre Madrid y Valladolid Tetrádica: Ramjc Antonio cambió la moto a Juan por un coche Funciones proposicionales Si sustituimos las constantes individuales por variables de individuos tendríamos: Rxy Rxyz Rwxyz Proposiciones generales y cuantificadores Salta a la vista la dificultad que encierra el manejo de tantas variables y sus cuantificadores; por eso simplificamos la consideración a relaciones binarias.

Consideraremos el caso de “alguno que es aficionado” = \/x Ax; /\y = Todos los que son profesionales; y G = ganar a. Analizamos la expresión: \/x {(x es un aficionado) /\ (x puede ganar a todos los profesionales)} y luego como: \/x {(x es un aficionado) /\ /\y (Si y es profesional --> (x gana a y)} lo que usando nuestras simbolizaciones: \/x {Ax /\ /\y (Ay --> Gxy)} Es evidente que la práctica hace innecesarios los pasos intermedios.

La lista de reglas del cálculo proposicional y cuantificacional posibilita tratar todos los argumentos relacionales, si bien la reducción de las proposiciones a unidades proposicionales a las que se puedan aplicar las reglas es realmente complicado.