Los cuerpos consisten en un conjunto de elementos, junto con las cuatro operaciones principales, definidas como adición, substracción, multiplicación y división por elementos distintos de 0.
En la medida necesaria, los espacios vectoriales pueden ser considerados como secuencias (o tuplas) cuyas partes constituyentes son elementos de un cuerpo fijado, como puede ser el cuerpo Q.
Estas dos operaciones son conocidas como suma de vectores y multiplicación escalar satisfaciendo un número de propiedades que sirven para definir los espacios vectoriales abstractamente.
Los espacios vectoriales también pueden ser de «dimensión infinita», o lo que es lo mismo, que las secuencias constituyentes de estos espacios vectoriales tienen longitud infinita.
No-Ejemplos Generalmente, en álgebra abstracta, una extensión de campo
- obtenemos una dependencia lineal, es decir, un polinomio del que
En particular, esto se aplica a los campos de números algebraicos, por lo que cualquier elemento
se puede escribir como un cero de un polinomio con coeficientes racionales.
, puede ordenarse de forma que el coeficiente principal
Utilizando de nuevo el álgebra abstracta, concretamente la noción de módulo finitamente generado, se puede demostrar que la suma y el producto de dos enteros algebraicos cualesquiera sigue siendo un entero algebraico.
Un campo no contiene divisores cero y esta propiedad la hereda cualquier subanillo, por lo que el anillo de enteros de
es el cuerpo de fracciones del dominio integral
Los anillos de enteros algebraicos tienen tres propiedades distintivas: en primer lugar,
no necesita admitir factorización única de números en un producto de números primos o, más precisamente, elementos primos.
Esto ocurre ya para enteros cuadráticos, por ejemplo en
, falla la unicidad de la factorización: Usando la norma se puede demostrar que estas dos factorizaciones son en realidad no equivalentes en el sentido de que los factores no sólo difieren en una unidad en
es una raíz cúbica de la unidad (desigual a 1), tienen esta propiedad.
posee factorización única si y sólo si es un anillo principal o, equivalentemente, si
La fórmula del número de clase establece que ζ
(s) tiene un polo simple en s = 1 y en este punto el residuo viene dado por Aquí r1 y r2 denotan clásicamente el número de incrustaciones reales y pares de incrustaciones complejas de
Por ejemplo, Teorema de Dirichlet afirma que en cualquier progresión aritmética con coprimo
Este teorema está implícito en el hecho de que la función
tal que cada elemento del anillo de enteros
puede escribirse unívocamente como donde ahora los mi son números racionales.
Trabajando localmente y usando herramientas como el mapa de Frobenius, siempre es posible calcular explícitamente tal base, y ahora es estándar que los sistemas de álgebra computacional tengan programas incorporados para hacerlo.
), existen unas particulares conocidas como bases de potencia, que son bases de la forma para algún elemento Por el teorema del elemento primitivo, existe tal
se llama una base integral de potencia, y el campo
se llama #Teorema del elemento primitivoun campo monogénico.
Un ejemplo de un campo numérico que no es monogénico fue dado por primera vez por Dedekind.
Su ejemplo es el campo que se obtiene al adosar una raíz del polinomio[3]