Dado un espacio vectorial pueden considerarse conjuntos de vectores
y se puede examinar si poseen algunas de estas propiedades:
Un conjunto que sea linealmente independiente (1) y generador del espacio vectorial (2) se dice que es una base vectorial.
El teorema de intercambio de Steinitz permite demostrar que todas las bases de un espacio vectorial son conjuntos con el mismo número de elementos (es decir, conjuntos que tienen el mismo cardinal).
Y el número común de elementos de una base cualquiera es precisamente la dimensión del espacio vectorial.
Nótese un hecho importante, si se cambia el cuerpo de los escalares, de
Un plano real es por lo tanto una recta compleja.
La apelación plano complejo para designar un plano real con escritura compleja de las coordenadas (
El espacio ambiente es tridimensional y se requiere por lo tanto tres reales
No se le puede considerar como un espacio sobre
En la teoría de la relatividad, se añade una cuarta variable: el tiempo, y un punto
de este espacio cuadridimensional corresponde a un evento o acontecimiento (las coordenadas nos dicen donde y cuando ocurrió).
En algunas teorías actuales, los físicos trabajan en un modelo del espacio con once dimensiones, pero sobre el conjunto de los enteros, y no los reales.
de los enteros no es un cuerpo sino un anillo, el espacio no es vectorial (se dice que es un módulo).
Sin embargo, la definición de la dimensión es válida en tales espacios.
En este ejemplo, la mayoría de las dimensiones son enrolladas sobre sí mismas, como una serpiente que se muerde la cola.
Su curvatura es enorme, pues su radio es microscópico, menor que el de un núcleo.
Más formalmente la dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio.
, ya que el vacío es una base), y puesto que el teorema de intercambio de Steinitz demuestra que todas las bases vectoriales finitas tienen el mismo cardinal y que se puede extender esto a cardinales infinitos por el teorema de Löwig, entonces resulta el concepto de dimensión está bien definido.
Conviene notar que existen espacios vectoriales tanto de dimensión finita como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo, tiene dimensión
La dimensión de un espacio coincide además con los dos cardinales siguientes: La definición sigue siendo la misma en el caso de un subespacio, pero existe un método particular de calcularla cuando el subespacio es definido como espacio generado por sistema de vectores.
Cuatro vectores no pueden ser independientes en
, por lo tanto tienen que existir relaciones de dependencia: lo que se puede escribir en forma matricial : Llamemos
Esta relación significa que el vector
Resulta intuitivo que cuanto mayor es el núcleo, menor es la imagen, en términos de dimensiones.
Concretamente, si llamamos rango de A a la dimensión de su imagen:
, tenemos la relación (llamada teorema rango-nulidad): Busquemos
Quedan dos ecuaciones no proporcionales, por lo tanto independientes, y cada una resta 1 a la dimensión, que vale inicialmente 4.
Sin embargo, se puede constatar de otra manera: Las dos ecuaciones permiten expresar
, por consiguiente solo quedan dos variables libres, y la dimensión es 2.