En la relatividad general , una solución exacta es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein cuya derivación no invoca suposiciones simplificadoras, aunque el punto de partida para esa derivación puede ser un caso idealizado como una forma perfectamente esférica de la materia. Matemáticamente, encontrar una solución exacta significa encontrar una variedad de Lorentz equipada con campos tensoriales que modelen estados de la materia ordinaria, como un fluido , o campos no gravitacionales clásicos como el campo electromagnético .
Estos campos tensoriales deben obedecer cualquier ley física relevante (por ejemplo, cualquier campo electromagnético debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell ). Siguiendo una receta estándar ampliamente utilizada en física matemática , estos campos tensoriales también deberían dar lugar a contribuciones específicas al tensor tensión-energía . [1] (Un campo se describe mediante un lagrangiano , variar con respecto al campo debería dar las ecuaciones de campo y variar con respecto a la métrica debería dar la contribución de energía de tensión debida al campo).
Finalmente, cuando se suman todas las contribuciones al tensor tensión-energía, el resultado debe ser una solución de las ecuaciones de campo de Einstein.
En las ecuaciones de campo anteriores, el tensor de Einstein se calcula únicamente a partir del tensor métrico que forma parte de la definición de variedad de Lorentz. Dado que dar el tensor de Einstein no determina completamente el tensor de Riemann , pero deja el tensor de Weyl sin especificar (ver la descomposición de Ricci ), la ecuación de Einstein puede considerarse una especie de condición de compatibilidad: la geometría del espacio-tiempo debe ser consistente con la cantidad y el movimiento de cualquier materia o campos no gravitacionales, en el sentido de que la presencia inmediata "aquí y ahora" de energía-impulso no gravitacional provoca una cantidad proporcional de curvatura de Ricci "aquí y ahora". Además, tomando derivadas covariantes de las ecuaciones de campo y aplicando las identidades de Bianchi , se encuentra que una cantidad/movimiento adecuadamente variable de energía-momento no gravitacional puede provocar que las ondas en la curvatura se propaguen como radiación gravitacional , incluso a través de regiones de vacío , que contienen sin materia o campos no gravitacionales.
Cualquier variedad de Lorentz es una solución de la ecuación de campo de Einstein para algún lado derecho. Esto se ilustra con el siguiente procedimiento:
Esto muestra que hay dos formas complementarias de utilizar la relatividad general:
Dentro del primer enfoque, el supuesto tensor tensión-energía debe surgir de la manera estándar a partir de una distribución de materia "razonable" o un campo no gravitacional. En la práctica, esta noción es bastante clara, sobre todo si restringimos los campos no gravitacionales admisibles al único conocido en 1916, el campo electromagnético . Pero idealmente nos gustaría tener alguna caracterización matemática que establezca alguna prueba puramente matemática que podamos aplicar a cualquier supuesto "tensor de tensión-energía", que pase todo lo que pueda surgir de un escenario físico "razonable" y rechace todo lo demás. No se conoce tal caracterización. En cambio, tenemos pruebas toscas conocidas como condiciones de energía , que son similares a imponer restricciones a los valores propios y vectores propios de un operador lineal . Por un lado, estas condiciones son demasiado permisivas: admitirían "soluciones" que casi nadie considera físicamente razonables. Por otro lado, pueden ser demasiado restrictivas: las condiciones energéticas más populares aparentemente se ven violadas por el efecto Casimir .
Einstein también reconoció otro elemento de la definición de solución exacta: debería ser una variedad de Lorentz (que cumpliera criterios adicionales), es decir, una variedad suave . Pero al trabajar con la relatividad general, resulta muy útil admitir soluciones que no siempre son fluidas; Los ejemplos incluyen muchas soluciones creadas combinando una solución interior fluida perfecta con una solución exterior de vacío y ondas planas impulsivas. Una vez más, la tensión creativa entre elegancia y comodidad, respectivamente, ha resultado difícil de resolver satisfactoriamente.
Además de tales objeciones locales , tenemos el problema mucho más desafiante de que hay muchas soluciones exactas que son localmente inobjetables, pero que globalmente exhiben características causalmente sospechosas, como curvas temporales cerradas o estructuras con puntos de separación ("mundos pantalones"). Algunas de las soluciones exactas más conocidas, de hecho, tienen globalmente un carácter extraño.
Muchas soluciones exactas bien conocidas pertenecen a uno de varios tipos, según la interpretación física prevista del tensor de tensión-energía:
Además de fenómenos tan bien establecidos como los fluidos o las ondas electromagnéticas, se pueden contemplar modelos en los que el campo gravitacional es producido enteramente por la energía de campo de varios campos hipotéticos exóticos:
Una posibilidad que ha recibido poca atención (quizás porque las matemáticas son muy desafiantes) es el problema de modelar un sólido elástico . Actualmente, parece que no se conocen soluciones exactas para este tipo específico.
A continuación hemos esbozado una clasificación por interpretación física. Las soluciones también se pueden organizar utilizando la clasificación de Segre de las posibles simetrías algebraicas del tensor de Ricci :
Los tipos restantes de Segre no tienen una interpretación física particular y la mayoría de ellos no pueden corresponder a ningún tipo conocido de contribución al tensor tensión-energía.
En artículos especializados se enumeran ejemplos notables de soluciones de vacío, soluciones de electrovacío, etc. (ver más abajo). Estas soluciones contienen como máximo una contribución al tensor de energía-momento , debido a un tipo específico de materia o campo. Sin embargo, existen algunas soluciones exactas notables que contienen dos o tres contribuciones, que incluyen:
Las ecuaciones de campo de Einstein son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales acopladas [ se necesita desambiguación ] . En general, esto hace que sean difíciles de resolver. No obstante, se han establecido varias técnicas efectivas para obtener soluciones exactas.
La más simple implica imponer condiciones de simetría al tensor métrico , como estacionariedad (simetría bajo traslación en el tiempo ) o ejesimetría (simetría bajo rotación alrededor de algún eje de simetría ). Con suposiciones suficientemente inteligentes de este tipo, a menudo es posible reducir la ecuación de campo de Einstein a un sistema de ecuaciones mucho más simple, incluso una única ecuación diferencial parcial (como sucede en el caso de las soluciones de vacío axialmente simétricas estacionarias, que se caracterizan por la ecuación de Ernst). ecuación ) o un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (como ocurre en el caso del vacío de Schwarzschild ).
Este enfoque ingenuo suele funcionar mejor si se utiliza un campo de marco en lugar de una base de coordenadas.
Una idea relacionada implica imponer condiciones de simetría algebraica al tensor de Weyl , al tensor de Ricci o al tensor de Riemann . Estos a menudo se expresan en términos de la clasificación de Petrov de las posibles simetrías del tensor de Weyl, o la clasificación de Segre de las posibles simetrías del tensor de Ricci. Como resultará evidente de la discusión anterior, tales Ansätze a menudo tienen algún contenido físico, aunque esto podría no ser evidente a partir de su forma matemática.
Este segundo tipo de enfoque de simetría se ha utilizado a menudo con el formalismo de Newman-Penrose , que utiliza cantidades espinoriales para una contabilidad más eficiente.
Incluso después de tales reducciones de simetría, el sistema reducido de ecuaciones suele ser difícil de resolver. Por ejemplo, la ecuación de Ernst es una ecuación diferencial parcial no lineal que se parece un poco a la ecuación de Schrödinger no lineal (NLS).
Pero recordemos que el grupo conforme en el espacio-tiempo de Minkowski es el grupo de simetría de las ecuaciones de Maxwell . Recuerde también que las soluciones de la ecuación del calor se pueden encontrar suponiendo un Ansatz escalado . Estas nociones son meros casos especiales de la noción de Sophus Lie sobre la simetría puntual de una ecuación diferencial (o sistema de ecuaciones) y, como demostró Lie, esto puede proporcionar una vía de ataque a cualquier ecuación diferencial que tenga un grupo de simetría no trivial. De hecho, tanto la ecuación de Ernst como la NLS tienen grupos de simetría no triviales y se pueden encontrar algunas soluciones aprovechando sus simetrías. Estos grupos de simetría suelen tener dimensiones infinitas, pero esto no siempre es una característica útil.
Emmy Noether demostró que una generalización leve pero profunda de la noción de simetría de Lie puede resultar en un método de ataque aún más poderoso. Esto resulta estar estrechamente relacionado con el descubrimiento de que algunas ecuaciones, que se dice que son completamente integrables , disfrutan de una secuencia infinita de leyes de conservación . Sorprendentemente, tanto la ecuación de Ernst (que surge de varias maneras en los estudios de soluciones exactas) como la NLS resultan ser completamente integrables. Por lo tanto, son susceptibles de solución mediante técnicas similares a la transformada de dispersión inversa que se desarrolló originalmente para resolver la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) , una ecuación diferencial parcial no lineal que surge en la teoría de los solitones y que también es completamente integrable. Desafortunadamente, las soluciones obtenidas mediante estos métodos a menudo no son tan buenas como nos gustaría. Por ejemplo, de manera análoga a la forma en que se obtiene una solución de múltiples solitones del KdV a partir de la solución de un solo solitón (que se puede encontrar a partir de la noción de simetría puntual de Lie), se puede obtener una solución de múltiples objetos de Kerr, pero desafortunadamente, esto tiene algunas características que lo hacen físicamente inverosímil. [2]
También existen varias transformaciones (ver Transformada de Belinski-Zakharov ) que pueden transformar (por ejemplo) una solución de vacío encontrada por otros medios en una nueva solución de vacío, o en una solución de electrovacío, o en una solución fluida. Éstas son análogas a las transformaciones de Bäcklund conocidas por la teoría de ciertas ecuaciones diferenciales parciales , incluidos algunos ejemplos famosos de ecuaciones de solitones . Esto no es casualidad, ya que este fenómeno también está relacionado con las nociones de Noether y Lie sobre la simetría. Desafortunadamente, incluso cuando se aplican a una solución "bien entendida" y globalmente admisible, estas transformaciones a menudo producen una solución que no se comprende bien y su interpretación general aún se desconoce.
Dada la dificultad de construir pequeñas familias explícitas de soluciones, y mucho menos presentar algo así como una solución "general" a la ecuación de campo de Einstein, o incluso una solución "general" a la ecuación de campo del vacío , un enfoque muy razonable es tratar de encontrar soluciones cualitativas. propiedades que son válidas para todas las soluciones, o al menos para todas las soluciones de vacío . Una de las preguntas más básicas que uno puede hacerse es: ¿existen soluciones y, de ser así, cuántas ?
Para comenzar, debemos adoptar una formulación adecuada del valor inicial de la ecuación de campo, que proporcione dos nuevos sistemas de ecuaciones, uno que proporcione una restricción sobre los datos iniciales y el otro que proporcione un procedimiento para convertir estos datos iniciales en una solución. Entonces, se puede demostrar que las soluciones existen al menos localmente , utilizando ideas no muy diferentes de las encontradas al estudiar otras ecuaciones diferenciales.
Para tener una idea de "cuántas" soluciones podríamos esperar de manera optimista, podemos apelar al método de conteo de restricciones de Einstein . Una conclusión típica de este estilo de argumento es que se puede especificar una solución genérica de vacío para la ecuación de campo de Einstein dando cuatro funciones arbitrarias de tres variables y seis funciones arbitrarias de dos variables. Estas funciones especifican datos iniciales, a partir de los cuales se puede desarrollar una solución de vacío única . (Por el contrario, los vacíos de Ernst, la familia de todas las soluciones de vacíos axisimétricos estacionarios, se especifican dando sólo dos funciones de dos variables, que ni siquiera son arbitrarias, pero deben satisfacer un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales no lineales acopladas. Esto puede dar (Alguna idea de cuán pequeña es realmente una familia "grande" típica de soluciones exactas, en el gran esquema de las cosas).
Sin embargo, este crudo análisis está muy lejos de la cuestión mucho más difícil de la existencia global de soluciones. Los resultados de existencia global conocidos hasta ahora resultan implicar otra idea.
Podemos imaginar "perturbar" el campo gravitacional fuera de algún objeto masivo aislado "enviando algo de radiación desde el infinito". Podemos preguntar: ¿qué sucede cuando la radiación entrante interactúa con el campo ambiental? En el enfoque de la teoría clásica de la perturbación , podemos comenzar con el vacío de Minkowski (u otra solución muy simple, como el lambdavacuum de De Sitter), introducir perturbaciones métricas muy pequeñas y retener sólo los términos hasta cierto orden en una expansión de perturbaciones adecuada; como evaluar una especie de serie de Taylor para la geometría de nuestro espacio-tiempo. Este enfoque es esencialmente la idea detrás de las aproximaciones posnewtonianas utilizadas en la construcción de modelos de un sistema gravitante como un púlsar binario . Sin embargo, las expansiones de perturbaciones generalmente no son confiables para cuestiones de existencia y estabilidad a largo plazo, en el caso de ecuaciones no lineales.
La ecuación de campo completo es altamente no lineal, por lo que realmente queremos demostrar que el vacío de Minkowski es estable bajo pequeñas perturbaciones que se tratan utilizando la ecuación de campo completamente no lineal. Esto requiere la introducción de muchas ideas nuevas. El resultado deseado, a veces expresado por el eslogan de que el vacío de Minkowski es no linealmente estable, fue finalmente demostrado por Demetrios Christodoulou y Sergiu Klainerman recién en 1993. [3] Se conocen resultados análogos para las perturbaciones lambdavac del lambdavacuum de De Sitter (Helmut Friedrich) y para perturbaciones de electrovacío del vacío de Minkowski (Nina Zipser). Por el contrario, se sabe que el espacio-tiempo anti -de Sitter es inestable bajo ciertas condiciones. [4] [5]
Otra cuestión que podría preocuparnos es si la masa-energía neta de una concentración aislada de densidad (y momento) de masa-energía positiva siempre produce una masa neta bien definida (y no negativa). Este resultado, conocido como teorema de la energía positiva, fue finalmente demostrado por Richard Schoen y Shing-Tung Yau en 1979, quienes hicieron una suposición técnica adicional sobre la naturaleza del tensor tensión-energía. La prueba original es muy difícil; Edward Witten pronto presentó una "demostración física" mucho más breve, que ha sido justificada por los matemáticos utilizando argumentos adicionales muy difíciles. Roger Penrose y otros también han ofrecido argumentos alternativos para variantes del teorema de la energía positiva original.
