solución lambdavacío

Solución de la ecuación de campo de Einstein

En relatividad general , una solución lambdavacuum es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que el único término en el tensor tensión-energía es un término constante cosmológica . Esto puede interpretarse físicamente como una especie de aproximación clásica a una energía de vacío distinta de cero . Éstas se analizan aquí a diferencia de las soluciones de vacío en las que la constante cosmológica está desapareciendo.

Nota terminológica: este artículo se refiere a un concepto estándar, pero aparentemente no existe un término estándar para denotar este concepto, por lo que hemos intentado proporcionar uno para beneficio de Wikipedia .

Definición

La ecuación de campo de Einstein a menudo se escribe como

$${\displaystyle G^{ab}+\Lambda \,g^{ab}=\kappa \,T^{ab},}$$

término constante cosmológicatensor de tensión-energía ${\displaystyle \Lambda \,g^{ab}}$ ${\displaystyle T^{ab}}$

$${\displaystyle G^{ab}=-\Lambda \,g^{ab}}$$

tensor de Ricci

$${\displaystyle R^{ab}=\left({\tfrac {1}{2}}R-\Lambda \right)\,g^{ab}.}$$

Interpretación física

Un término constante cosmológica distinto de cero se puede interpretar en términos de una energía de vacío distinta de cero . Hay dos casos:

• ${\displaystyle \Lambda >0}$: densidad de energía de vacío positiva y presión de vacío isotrópica negativa, como en el espacio de Sitter ,
• ${\displaystyle \Lambda <0}$: densidad de energía de vacío negativa y presión de vacío isotrópica positiva, como en el espacio anti-de Sitter .

La idea de que el vacío tenga una densidad de energía que no desaparece puede parecer contradictoria, pero tiene sentido en la teoría cuántica de campos. De hecho, las energías del vacío distintas de cero pueden incluso verificarse experimentalmente en el efecto Casimir .

tensor de einstein

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de marco en lugar de la base de coordenadas a menudo se denominan componentes físicos , porque estos son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador. Un marco consta de cuatro campos vectoriales unitarios.

$${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$$

temporalespaciales ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Sorprendentemente, en el caso del lambdavacuum, todos los observadores miden la misma densidad de energía y la misma presión (isotrópica). Es decir, el tensor de Einstein toma la forma

$${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=-\Lambda {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

todosgrupo de isotropíaSO(1,3) , el grupo de Lorentz

Valores propios

El polinomio característico del tensor de Einstein de un lambdavacuum debe tener la forma

$${\displaystyle \chi (\zeta )=\left(\zeta +\Lambda \right)^{4}}$$

las identidades de Newtontrazas

$${\displaystyle t_{2}={\tfrac {1}{4}}t_{1}^{2},\;t_{3}={\tfrac {1}{16}}t_{1}^{3},\;t_{4}={\tfrac {1}{64}}t_{1}^{4}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&={G^{a}}_{a},&t_{2}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\\t_{3}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},&t_{4}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}\end{aligned}}}$$

Relación con las variedades de Einstein

La definición de solución lambdavacuum tiene sentido matemáticamente independientemente de cualquier interpretación física, y los lambdavacuums son un caso especial de un concepto que estudian los matemáticos puros.

Las variedades de Einstein son variedades pseudoriemannianas en las que el tensor de Ricci es proporcional al tensor métrico . Las variedades de Lorentz, que también son variedades de Einstein, son precisamente las soluciones lambdavacuum.

Ejemplos

Ejemplos individuales dignos de mención de soluciones lambdavacuum incluyen:

• El espacio de Sitter , a menudo denominado modelo cosmológico dS ,
• Espacio anti-de Sitter , a menudo denominado modelo cosmológico AdS .
• Métrica de Sitter-Schwarzschild , que modela un objeto masivo esféricamente simétrico inmerso en un universo de Sitter (y lo mismo para AdS),
• Métrica de Kerr-de Sitter, la generalización rotativa de esta última,
• Espacio-tiempo Nariai ; esta es la única solución en la relatividad general, aparte del electrovacío Bertotti-Robinson, que tiene una estructura de producto cartesiano.

Ver también

• Soluciones exactas en relatividad general.