Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein.

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas del espaciotiempo que resultan de resolver las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) de la relatividad general . Resolver las ecuaciones de campo da una variedad de Lorentz . Las soluciones se clasifican en términos generales como exactas o no exactas .

Las ecuaciones de campo de Einstein son

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\,=\kappa T_{\mu \nu },}$

donde es el tensor de Einstein , es la constante cosmológica (a veces considerada cero por simplicidad), es el tensor métrico , es una constante y es el tensor de tensión-energía . ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan el tensor de Einstein con el tensor de tensión-energía, que representa la distribución de energía, momento y tensión en la variedad espacio-temporal. El tensor de Einstein se construye a partir del tensor métrico y sus derivadas parciales; por tanto, dado el tensor tensión-energía, las ecuaciones de campo de Einstein son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales en las que se puede resolver el tensor métrico.

Cuando corresponda, este artículo utilizará la notación de índice abstracto .

Resolviendo las ecuaciones

Es importante darse cuenta de que las ecuaciones de campo de Einstein por sí solas no son suficientes para determinar la evolución de un sistema gravitacional en muchos casos. Dependen del tensor tensión-energía , que depende de la dinámica de la materia y la energía (como las trayectorias de las partículas en movimiento), que a su vez depende del campo gravitacional. Si uno sólo está interesado en el límite de campo débil de la teoría, la dinámica de la materia se puede calcular usando métodos de relatividad especial y/o leyes de gravedad newtonianas y luego el tensor tensión-energía resultante se puede conectar a las ecuaciones de campo de Einstein. Pero si se requiere la solución exacta o una solución que describa campos fuertes, la evolución de la métrica y el tensor tensión-energía deben resolverse juntos.

Para obtener soluciones, las ecuaciones relevantes son la EFE citada anteriormente (en cualquier forma) más la ecuación de continuidad (para determinar la evolución del tensor tensión-energía):

${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}\,=0\,.}$

Claramente, esto no es suficiente, ya que solo hay 14 ecuaciones (10 de las ecuaciones de campo y 4 de la ecuación de continuidad) para 20 incógnitas (10 componentes métricos y 10 componentes tensoriales de tensión-energía). Faltan ecuaciones de estado . En el caso más general, es fácil ver que se requieren al menos 6 ecuaciones más, posiblemente más si hay grados de libertad internos (como la temperatura) que pueden variar a lo largo del espacio-tiempo.

En la práctica, normalmente es posible simplificar el problema reemplazando el conjunto completo de ecuaciones de estado con una aproximación simple. Algunas aproximaciones comunes son:

• Vacío :

${\displaystyle T_{ab}\,=0}$

• Fluido perfecto :

${\displaystyle T_{ab}\,=(\rho +p)u_{a}u_{b}+pg_{ab}}$dónde ${\displaystyle u^{a}u_{a}=-1}$

Aquí está la densidad de masa-energía medida en un marco en movimiento conjunto momentáneo, es el campo vectorial de 4 velocidades del fluido y es la presión. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u_{a}}$ ${\displaystyle p}$

• Polvo que no interactúa (un caso especial de fluido perfecto):

${\displaystyle T_{ab}\,=\rho u_{a}u_{b}}$

Para un fluido perfecto, se debe agregar otra ecuación de estado que relacione la densidad y la presión . Esta ecuación a menudo dependerá de la temperatura, por lo que se requiere una ecuación de transferencia de calor o se puede despreciar el postulado de que la transferencia de calor. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$

A continuación, observe que sólo 10 de las 14 ecuaciones originales son independientes, porque la ecuación de continuidad es una consecuencia de las ecuaciones de Einstein. Esto refleja el hecho de que el sistema es invariante de calibre (en general, en ausencia de alguna simetría, cualquier elección de una red de coordenadas curvilíneas en el mismo sistema correspondería a una solución numéricamente diferente). Se necesita una "fijación de calibre", es decir, necesitamos imponer 4 restricciones (arbitrarias) al sistema de coordenadas para obtener resultados inequívocos. Estas restricciones se conocen como condiciones de coordenadas . ${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$

Una opción popular de calibre es el llamado "calibre De Donder", también conocido como condición armónica o calibre armónico.

${\displaystyle g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }=0\,.}$

En relatividad numérica , el indicador preferido es la llamada "descomposición 3+1", basada en el formalismo ADM . En esta descomposición, la métrica se escribe en la forma

${\displaystyle ds^{2}\,=(-N+N^{i}N^{j}\gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}\gamma _{ij}dtdx^{j}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$, dónde ${\displaystyle i,j=1\dots 3\,.}$

${\displaystyle N}$y son funciones de coordenadas espacio-temporales y pueden elegirse arbitrariamente en cada punto. Los grados de libertad físicos restantes están contenidos en , que representa la métrica de Riemann en 3 hipersuperficies con constante . Por ejemplo, una elección ingenua de , , correspondería al llamado sistema de coordenadas síncrono : uno en el que la coordenada t coincide con el tiempo adecuado para cualquier observador comoviente (partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria fija). ${\displaystyle N^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N_{i}=0}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Una vez que se eligen las ecuaciones de estado y se fija el calibre, se puede resolver el conjunto completo de ecuaciones. Desafortunadamente, incluso en el caso más simple de un campo gravitacional en el vacío (tensor de energía-tensión evanescente), el problema es demasiado complejo para tener solución exacta. Para obtener resultados físicos, podemos recurrir a métodos numéricos , intentar encontrar soluciones exactas imponiendo simetrías o probar enfoques intermedios, como métodos de perturbación o aproximaciones lineales del tensor de Einstein .

Soluciones exactas

Las soluciones exactas son métricas de Lorentz que se ajustan a un tensor de tensión-energía físicamente realista y que se obtienen resolviendo el EFE exactamente en forma cerrada .

Referencia externa

Artículo de Scholarpedia sobre el tema escrito por Malcolm MacCallum

Soluciones no exactas

Las soluciones que no son exactas se llaman soluciones no exactas . Estas soluciones surgen principalmente debido a la dificultad de resolver el EFE en forma cerrada y, a menudo, toman la forma de aproximaciones a sistemas ideales. Muchas soluciones no exactas pueden carecer de contenido físico, pero sirven como contraejemplos útiles para conjeturas teóricas.

Aplicaciones

Existen razones tanto prácticas como teóricas para estudiar las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein.

Desde un punto de vista puramente matemático, resulta interesante conocer el conjunto de soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. Algunas de estas soluciones están parametrizadas por uno o más parámetros. Desde un punto de vista físico, conocer las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein permite modelar con alta precisión fenómenos astrofísicos, incluidos agujeros negros, estrellas de neutrones y sistemas estelares. Se pueden hacer predicciones analíticamente sobre el sistema analizado; tales predicciones incluyen la precesión del perihelio de Mercurio , la existencia de una región co-rotativa dentro de los agujeros negros que giran y las órbitas de los objetos alrededor de cuerpos masivos.

Ver también

• cálculo de ricci
• Albert Einstein

Referencias

• JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
• JA Wheeler; I. Ciufolini (1995). Gravitación e Inercia . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-03323-5.
• RJA Lambourne (2010). Relatividad, Gravitación y Cosmología . La Universidad Abierta , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13138-4.