Ecuaciones de campo de Einstein

Ecuaciones de campo en relatividad general

En la teoría general de la relatividad , las ecuaciones de campo de Einstein ( EFE ; también conocidas como ecuaciones de Einstein ) relacionan la geometría del espaciotiempo con la distribución de la materia en su interior. ^[1]

Las ecuaciones fueron publicadas por Albert Einstein en 1915 en forma de ecuación tensorial ^[2] que relacionaba el localcurvatura del espacio-tiempo (expresada por eltensor de Einstein) con la energía local,el impulsoy la tensión dentro de ese espacio-tiempo (expresada por eltensor de tensión-energía). ^[3]

De manera análoga a la forma en que los campos electromagnéticos se relacionan con la distribución de cargas y corrientes mediante las ecuaciones de Maxwell , los EFE relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de masa-energía, momento y tensión, es decir, determinan el tensor métrico del espacio-tiempo para un disposición dada de tensión-energía-momento en el espacio-tiempo. La relación entre el tensor métrico y el tensor de Einstein permite que el EFE se escriba como un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales cuando se usa de esta manera. Las soluciones del EFE son las componentes del tensor métrico. Las trayectorias inerciales de las partículas y la radiación ( geodésicas ) en la geometría resultante se calculan utilizando la ecuación geodésica .

Además de implicar una conservación local de la energía-momento, la EFE reduce a la ley de gravitación de Newton en el límite de un campo gravitacional débil y velocidades que son mucho menores que la velocidad de la luz . ^[4]

Las soluciones exactas para el EFE sólo pueden encontrarse bajo supuestos simplificadores como la simetría . Las clases especiales de soluciones exactas se estudian con mayor frecuencia, ya que modelan muchos fenómenos gravitacionales, como los agujeros negros en rotación y el universo en expansión . Se logra una mayor simplificación al aproximar el espacio-tiempo teniendo sólo pequeñas desviaciones del espacio-tiempo plano , lo que lleva a la EFE linealizada . Estas ecuaciones se utilizan para estudiar fenómenos como las ondas gravitacionales .

forma matemática

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) se pueden escribir en la forma: ^{[5] [1]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

EFE en un muro en Leiden , Países Bajos

donde está el tensor de Einstein , es el tensor métrico , es el tensor de tensión-energía , es la constante cosmológica y es la constante gravitacional de Einstein. ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

El tensor de Einstein se define como

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

donde R _μν es el tensor de curvatura de Ricci y R es la curvatura escalar . Este es un tensor simétrico de segundo grado que depende únicamente del tensor métrico y sus derivadas primera y segunda.

La constante gravitacional de Einstein se define como ^{[6] [7]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665(5)\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$

donde G es la constante newtoniana de gravitación y c es la velocidad de la luz en el vacío .

Por lo tanto, el EFE también se puede escribir como

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

En unidades estándar, cada término de la izquierda tiene unidades de 1/longitud ² .

La expresión de la izquierda representa la curvatura del espacio-tiempo determinada por la métrica; la expresión de la derecha representa el contenido de tensión-energía-momento del espacio-tiempo. La EFE puede entonces interpretarse como un conjunto de ecuaciones que dictan cómo la tensión-energía-momento determina la curvatura del espacio-tiempo.

Estas ecuaciones, junto con la ecuación geodésica , ^[8] que dicta cómo se mueve libremente la materia en caída libre a través del espacio-tiempo, forman el núcleo de la formulación matemática de la relatividad general .

La EFE es una ecuación tensorial que relaciona un conjunto de tensores simétricos de 4 × 4 . Cada tensor tiene 10 componentes independientes. Las cuatro identidades de Bianchi reducen el número de ecuaciones independientes de 10 a 6, dejando a la métrica con cuatro grados de libertad de fijación de calibre , que corresponden a la libertad de elegir un sistema de coordenadas.

Aunque las ecuaciones de campo de Einstein se formularon inicialmente en el contexto de una teoría cuatridimensional, algunos teóricos han explorado sus consecuencias en n dimensiones. ^[9] Las ecuaciones en contextos fuera de la relatividad general todavía se conocen como ecuaciones de campo de Einstein. Las ecuaciones de campo de vacío (obtenidas cuando T _μν es cero en todas partes) definen las variedades de Einstein .

Las ecuaciones son más complejas de lo que parecen. Dada una distribución específica de materia y energía en forma de tensor tensión-energía, se entiende que los EFE son ecuaciones para el tensor métrico , ya que tanto el tensor de Ricci como la curvatura escalar dependen de la métrica de una manera no lineal complicada. Cuando están completamente escritos, los EFE son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales hiperbólico-elípticas, no lineales y acopladas . ^[10] ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Convención de signos

La forma anterior de EFE es el estándar establecido por Misner, Thorne y Wheeler (MTW). ^[11] Los autores analizaron las convenciones que existen y las clasificaron según tres signos ([S1] [S2] [S3]):

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

El tercer signo anterior está relacionado con la elección de la convención para el tensor de Ricci:

$${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$$

Con estas definiciones Misner, Thorne y Wheeler se clasifican como (+ + +) , mientras que Weinberg (1972) ^[12] es (+ − −) , Peebles (1980) ^[13] y Efstathiou et al. (1990) ^[14] son ​​(− + +) , Rindler (1977), ^{[ cita necesaria ]} Atwater (1974), ^{[ cita necesaria ]} Collins Martin & Squires (1989) ^[15] y Peacock (1999) ^[16] son (-+-) .

Autores, incluido Einstein, han utilizado un signo diferente en su definición del tensor de Ricci, lo que da como resultado que el signo de la constante del lado derecho sea negativo:

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$$

El signo del término cosmológico cambiaría en ambas versiones si se utiliza la convención de signos métricos (+ − − −) en lugar de la convención de signos métricos MTW (− + + +) adoptada aquí.

Formulaciones equivalentes

Tomando la traza con respecto a la métrica de ambos lados del EFE se obtiene

$${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$$

DR

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$$

En D = 4 dimensiones esto se reduce a

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$$

Revertir el rastro nuevamente restauraría el EFE original. La forma de traza invertida puede ser más conveniente en algunos casos (por ejemplo, cuando uno está interesado en el límite de campo débil y puede reemplazar en la expresión de la derecha con la métrica de Minkowski sin una pérdida significativa de precisión). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

La constante cosmológica

En las ecuaciones de campo de Einstein

$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$

constante cosmológica Λuniverso que no se expande ni se contrae

• cualquier solución deseada en estado estacionario descrita por esta ecuación es inestable, y
• Las observaciones de Edwin Hubble mostraron que nuestro universo se está expandiendo .

Einstein luego abandonó Λ , comentando a George Gamow "que la introducción del término cosmológico fue el mayor error de su vida". ^[17]

La inclusión de este término no crea inconsistencias. Durante muchos años se supuso casi universalmente que la constante cosmológica era cero. Observaciones astronómicas más recientes han mostrado una expansión acelerada del universo y para explicar esto se necesita un valor positivo de Λ . ^{[18] [19]} La constante cosmológica es insignificante a la escala de una galaxia o más pequeña.

Einstein pensó en la constante cosmológica como un parámetro independiente, pero su término en la ecuación de campo también puede moverse algebraicamente al otro lado e incorporarse como parte del tensor de tensión-energía:

$${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

Este tensor describe un estado de vacío con una densidad de energía ρ _vac y una presión isotrópica p _vac que son constantes fijas y están dadas por

$${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$

Λ⁻²κ

La existencia de una constante cosmológica equivale, pues, a la existencia de una energía de vacío y una presión de signo opuesto. Esto ha llevado a que los términos "constante cosmológica" y "energía del vacío" se utilicen indistintamente en la relatividad general.

Características

Conservación de energía y momento.

La relatividad general es consistente con la conservación local de energía y momento expresada como

$${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

Derivación de la conservación del momento de energía local

Contrayendo la identidad diferencial de Bianchi

$${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0}$$

con g ^αβ se obtiene, utilizando el hecho de que el tensor métrico es covariantemente constante, es decir, g ^αβ _;γ = 0 ,

$${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

La antisimetría del tensor de Riemann permite reescribir el segundo término de la expresión anterior:

$${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

que es equivalente a

$${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

utilizando la definición del tensor de Ricci .

A continuación, contrate nuevamente con la métrica.

$${\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}$$

Llegar

$${\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

Las definiciones del tensor de curvatura de Ricci y la curvatura escalar muestran que

$${\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0}$$

que se puede reescribir como

$${\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0}$$

Una contracción final con g ^εδ da

$${\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0}$$

que por la simetría del término entre corchetes y la definición del tensor de Einstein , da, después de reetiquetar los índices,

$${\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

Usando el EFE, esto da inmediatamente,

$${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

que expresa la conservación local de tensión-energía. Esta ley de conservación es un requisito físico. Con sus ecuaciones de campo, Einstein aseguró que la relatividad general es consistente con esta condición de conservación.

No linealidad

La no linealidad de la EFE distingue a la relatividad general de muchas otras teorías físicas fundamentales. Por ejemplo, las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell son lineales en los campos eléctrico y magnético , y en las distribuciones de carga y corriente (es decir, la suma de dos soluciones también es una solución); otro ejemplo es la ecuación de la mecánica cuántica de Schrödinger , que es lineal en la función de onda .

El principio de correspondencia

El EFE se reduce a la ley de gravedad de Newton utilizando tanto la aproximación de campo débil como la aproximación de cámara lenta . De hecho, la constante G que aparece en el EFE se determina haciendo estas dos aproximaciones.

Derivación de la ley de gravedad de Newton.

La gravitación newtoniana se puede escribir como la teoría de un campo escalar, Φ , que es el potencial gravitacional en julios por kilogramo del campo gravitacional g = −∇Φ , consulte la ley de gravedad de Gauss.

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$$

donde ρ es la densidad de masa. La órbita de una partícula en caída libre satisface

$${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}$$

En notación tensorial, estos se convierten

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}$$

En la relatividad general, estas ecuaciones se reemplazan por las ecuaciones de campo de Einstein en la forma de traza invertida.

$${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$$

para alguna constante, K , y la ecuación geodésica

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$$

Para ver cómo este último se reduce a lo primero, suponemos que la velocidad de la partícula de prueba es aproximadamente cero.

$${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$$

y por lo tanto

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$$

y que la métrica y sus derivadas son aproximadamente estáticas y que los cuadrados de las desviaciones de la métrica de Minkowski son insignificantes. La aplicación de estos supuestos simplificadores a los componentes espaciales de la ecuación geodésica da

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$$

donde dos factores dedt/dτhan sido divididos. Esto se reducirá a su contraparte newtoniana, siempre que

$${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}$$

Nuestras suposiciones obligan a que α = i y las derivadas en el tiempo (0) sean cero. Entonces esto se simplifica a

$${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$$

que se satisface dejando

$${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$$

Volviendo a las ecuaciones de Einstein, sólo necesitamos el componente tiempo-tiempo.

$${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$$

Los supuestos de baja velocidad y campo estático implican que

$${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}$$

Entonces

$${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$$

y por lo tanto

$${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}$$

De la definición del tensor de Ricci

$${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$$

Nuestras suposiciones simplificadoras hacen que los cuadrados de Γ desaparezcan junto con las derivadas del tiempo.

$${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$$

Combinando las ecuaciones anteriores juntas

$${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$$

que se reduce a la ecuación de campo newtoniana proporcionada

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}$$

que ocurrirá si

$${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$$

Ecuaciones de campo de vacío

Moneda conmemorativa suiza de 1979 que muestra las ecuaciones del campo de vacío con constante cosmológica cero (arriba).

Si el tensor de energía-momento T _μν es cero en la región considerada, entonces las ecuaciones de campo también se denominan ecuaciones de campo de vacío . Al establecer T _μν = 0 en las ecuaciones de campo de traza invertida, las ecuaciones de campo de vacío, también conocidas como 'ecuaciones de vacío de Einstein' (EVE), se pueden escribir como

$${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

En el caso de una constante cosmológica distinta de cero, las ecuaciones son

$${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

Las soluciones de las ecuaciones del campo de vacío se denominan soluciones de vacío . El espacio plano de Minkowski es el ejemplo más simple de solución de vacío. Ejemplos no triviales incluyen la solución de Schwarzschild y la solución de Kerr .

Las variedades con un tensor de Ricci que desaparece , R _μν = 0 , se denominan variedades planas de Ricci y las variedades con un tensor de Ricci proporcional a la métrica, como variedades de Einstein .

Ecuaciones de Einstein-Maxwell

Si el tensor de energía-momento T _μν es el de un campo electromagnético en el espacio libre , es decir, si el tensor de energía-tensión electromagnética

$${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$

ecuaciones de Einstein-Maxwellla constante cosmológica Λ

$${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

Además, las ecuaciones covariantes de Maxwell también son aplicables en el espacio libre:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}}$$

derivada covarianteantisimetrizacióndivergenciaF 2derivada exteriorlema de PoincaréA _α

$${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$$

^[20][21]

Soluciones

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas del espaciotiempo . Estas métricas describen la estructura del espacio-tiempo, incluido el movimiento inercial de los objetos en el espacio-tiempo. Como las ecuaciones de campo no son lineales, no siempre pueden resolverse completamente (es decir, sin hacer aproximaciones). Por ejemplo, no se conoce una solución completa para un espacio-tiempo con dos cuerpos masivos en él (que es un modelo teórico de un sistema estelar binario, por ejemplo). Sin embargo, en estos casos se suelen hacer aproximaciones. Estas se conocen comúnmente como aproximaciones posnewtonianas . Aun así, hay varios casos en los que las ecuaciones de campo se han resuelto por completo, y a esos se les llama soluciones exactas . ^[9]

El estudio de las soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein es una de las actividades de la cosmología . Conduce a la predicción de los agujeros negros y a diferentes modelos de evolución del universo .

También se pueden descubrir nuevas soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein mediante el método de marcos ortonormales iniciado por Ellis y MacCallum. ^[22] En este enfoque, las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, no lineales y acopladas. Como lo discutieron Hsu y Wainwright, ^[23] las soluciones autosemejantes de las ecuaciones de campo de Einstein son puntos fijos del sistema dinámico resultante . ^{LeBlanc [24]} y Kohli y Haslam han descubierto nuevas soluciones utilizando estos métodos . ^[25]

El EFE linealizado

La no linealidad del EFE dificulta la búsqueda de soluciones exactas. Una forma de resolver las ecuaciones de campo es hacer una aproximación, es decir, que lejos de la(s) fuente(s) de materia gravitante, el campo gravitacional es muy débil y el espacio-tiempo se aproxima al del espacio de Minkowski . Luego, la métrica se escribe como la suma de la métrica de Minkowski y un término que representa la desviación de la métrica verdadera de la métrica de Minkowski , ignorando los términos de mayor poder. Este procedimiento de linealización se puede utilizar para investigar los fenómenos de la radiación gravitacional .

Forma polinómica

A pesar de que los EFE tal como están escritos contienen el inverso del tensor métrico, se pueden ordenar de una forma que contenga el tensor métrico en forma polinómica y sin su inverso. Primero, se puede escribir el determinante de la métrica en 4 dimensiones.

$${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$

símbolo de Levi-Civita

$${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

Sustituir esta expresión de la inversa de la métrica en las ecuaciones y luego multiplicar ambos lados por una potencia adecuada de det( g ) para eliminarla del denominador da como resultado ecuaciones polinómicas en el tensor métrico y sus derivadas primera y segunda. La acción de la que se derivan las ecuaciones también se puede escribir en forma polinómica mediante redefiniciones adecuadas de los campos. ^[26]

Ver también

• Espaciotiempos conformestáticos
• Acción de Einstein-Hilbert
• Principio de equivalencia
• Soluciones exactas en relatividad general.
• Recursos de relatividad general
• Historia de la relatividad general
• Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein
• Matemáticas de la relatividad general.
• Relatividad numérica
• cálculo de ricci

Notas

1. Einstein, Albert (1916). "El fundamento de la teoría general de la relatividad". Annalen der Physik . 354 (7): 769. Código bibliográfico : 1916AnP...354..769E. doi : 10.1002/andp.19163540702. Archivado desde el original ( PDF ) el 6 de febrero de 2012.
2. Einstein, Albert (25 de noviembre de 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Consultado el 21 de agosto de 2017 .
3. Misner, Thorne y Wheeler (1973), pág. 916 [cap. 34].
4. Carroll, Sean (2004). Espaciotiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . Addison Wesley. págs. 151-159. ISBN 0-8053-8732-3.
5. Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). Teoría general de la relatividad de Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 180.ISBN​ 978-0-387-69200-5.
6. Con la elección de la constante gravitacional de Einstein como se indica aquí, κ = 8 πG / c ⁴ , el tensor tensión-energía en el lado derecho de la ecuación debe escribirse con cada componente en unidades de densidad de energía (es decir, energía por volumen , equivalentemente presión). En la publicación original de Einstein, la elección es κ = 8 πG / c ² , en cuyo caso los componentes del tensor de tensión-energía tienen unidades de densidad de masa.
7. Adler, Ronald; Bazin, Mauricio; Schiffer, Menahem (1975). Introducción a la relatividad general (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4. OCLC  1046135.
8. Weinberg, Steven (1993). Sueños de una Teoría Final: la búsqueda de las leyes fundamentales de la naturaleza . Prensa antigua. págs.107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
9. Stephani, Hans; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7.
10. Rendall, Alan D. (2005). "Teoremas sobre existencia y dinámica global para las ecuaciones de Einstein". Vivir Rev. Relativ . 8 (1). Número de artículo: 6. arXiv : gr-qc/0505133 . Código Bib : 2005LRR.....8....6R. doi : 10.12942/lrr-2005-6 . PMC 5256071 . PMID  28179868. 
11. Misner, Thorne y Wheeler (1973), pág. 501 y siguientes.
12. Weinberg (1972).
13. Peebles, Phillip James Edwin (1980). La estructura a gran escala del universo . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08239-1.
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Referencias

Consulte Recursos de relatividad general .

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• Weinberg, Steven (1972). Gravitación y cosmología . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-92567-5.
• Pavo real, John A. (1999). Física cosmológica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521410724.

enlaces externos

• "Ecuaciones de Einstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial de Caltech sobre relatividad: una introducción sencilla a las ecuaciones de campo de Einstein.
• El significado de la ecuación de Einstein: una explicación de la ecuación de campo de Einstein, su derivación y algunas de sus consecuencias.
• Videoconferencia sobre las ecuaciones de campo de Einstein a cargo del profesor de física del MIT Edmund Bertschinger.
• Arco y andamio: cómo Einstein encontró sus ecuaciones de campo Física Hoy Noviembre 2015, Historia del desarrollo de las ecuaciones de campo

Imágenes externas

• La ecuación de campo de Einstein en la pared del Museo Boerhaave en el centro de Leiden
• Suzanne Imber , "El impacto de la relatividad general en el desierto de Atacama", Ecuación de campo de Einstein al costado de un tren en Bolivia.