Al estudiar y formular la teoría de la relatividad general de Albert Einstein , se utilizan diversas estructuras y técnicas matemáticas . Las principales herramientas utilizadas en esta teoría geométrica de la gravitación son campos tensoriales definidos en una variedad de Lorentz que representa el espacio-tiempo . Este artículo es una descripción general de las matemáticas de la relatividad general.
Nota: Los artículos de relatividad general que utilizan tensores utilizarán la notación de índice abstracto .
El principio de covarianza general fue uno de los principios centrales en el desarrollo de la relatividad general. Afirma que las leyes de la física deberían adoptar la misma forma matemática en todos los sistemas de referencia . El término "covarianza general" se utilizó en la formulación inicial de la relatividad general, pero ahora se hace referencia al principio a menudo como " covarianza difeomorfismo ".
La covarianza del difeomorfismo no es la característica definitoria de la relatividad general,[1] y persisten controversias sobre su estado actual en la relatividad general. Sin embargo, la propiedad de invariancia de las leyes físicas implícita en el principio, junto con el hecho de que la teoría es de carácter esencialmente geométrico (haciendo uso de geometrías no euclidianas ), sugirió que la relatividad general se formulara utilizando el lenguaje de los tensores . Esto se discutirá más adelante.
La mayoría de los enfoques modernos de la relatividad general matemática comienzan con el concepto de variedad . Más precisamente, la construcción física básica que representa la gravitación ( un espacio-tiempo curvo ) está modelada por una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones, suave y conectada . Otros descriptores físicos están representados por varios tensores, que se analizan a continuación.
La razón para elegir una variedad como estructura matemática fundamental es reflejar las propiedades físicas deseables. Por ejemplo, en la teoría de las variedades, cada punto está contenido en un gráfico de coordenadas (de ningún modo único) , y se puede considerar que este gráfico representa el "espacio-tiempo local" alrededor del observador (representado por el punto). El principio de covarianza local de Lorentz , que establece que las leyes de la relatividad especial se cumplen localmente alrededor de cada punto del espacio-tiempo, brinda apoyo adicional a la elección de una estructura múltiple para representar el espacio-tiempo, como localmente alrededor de un punto en una variedad general, la región ' parece', o se aproxima mucho al espacio de Minkowski (espaciotiempo plano).
La idea de los mapas de coordenadas como "observadores locales que pueden realizar mediciones en sus proximidades" también tiene sentido desde el punto de vista físico, ya que así es como se recopilan realmente los datos físicos: localmente. Para problemas cosmológicos, un gráfico de coordenadas puede ser bastante grande.
Una distinción importante en física es la diferencia entre estructuras locales y globales. Las mediciones en física se realizan en una región relativamente pequeña del espacio-tiempo y esta es una razón para estudiar la estructura local del espacio-tiempo en la relatividad general, mientras que determinar la estructura global del espacio-tiempo es importante, especialmente en problemas cosmológicos.
Un problema importante en la relatividad general es saber cuándo dos espaciotiempos son "iguales", al menos localmente. Este problema tiene sus raíces en la teoría de variedades, donde se determina si dos variedades de Riemann de la misma dimensión son localmente isométricas ("localmente iguales"). Este último problema ha sido resuelto y su adaptación a la relatividad general se denomina algoritmo de Cartan-Karlhede .
Una de las profundas consecuencias de la teoría de la relatividad fue la abolición de los marcos de referencia privilegiados . La descripción de los fenómenos físicos no debería depender de quién realiza las mediciones: un sistema de referencia debería ser tan bueno como cualquier otro. La relatividad especial demostró que ningún sistema de referencia inercial era preferente a ningún otro sistema de referencia inercial, sino que prefería los sistemas de referencia inerciales a los no inerciales. La relatividad general eliminó la preferencia por los marcos de referencia inerciales al mostrar que no existe un marco de referencia preferido (inercial o no) para describir la naturaleza.
Cualquier observador puede realizar mediciones y las cantidades numéricas precisas obtenidas sólo dependen del sistema de coordenadas utilizado. Esto sugirió una forma de formular la relatividad utilizando "estructuras invariantes", aquellas que son independientes del sistema de coordenadas (representado por el observador) utilizado, pero que aún así tienen una existencia independiente. La estructura matemática más adecuada parecía ser un tensor. Por ejemplo, cuando se miden los campos eléctricos y magnéticos producidos por una carga acelerada, los valores de los campos dependerán del sistema de coordenadas utilizado, pero se considera que los campos tienen una existencia independiente, independencia representada por el tensor electromagnético .
Matemáticamente, los tensores son operadores lineales generalizados: mapas multilineales . Como tal, las ideas del álgebra lineal se emplean para estudiar tensores.
En cada punto de una variedad , se pueden construir los espacios tangente y cotangente a la variedad en ese punto. Los vectores (a veces denominados vectores contravariantes ) se definen como elementos del espacio tangente y los covectores (a veces denominados vectores covariantes , pero más comúnmente vectores duales o formas uni ) son elementos del espacio cotangente.
En , estos dos espacios vectoriales se pueden utilizar para construir tensores de tipo, que son mapas multilineales de valor real que actúan sobre la suma directa de copias del espacio cotangente con copias del espacio tangente. El conjunto de todos estos mapas multilineales forma un espacio vectorial, llamado espacio producto tensorial de tipo at y denotado por Si el espacio tangente es n-dimensional, se puede demostrar que
En la literatura sobre relatividad general , es convencional utilizar la sintaxis de componentes para tensores.
Un tensor de tipo se puede escribir como
Como se supone que el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones, cada índice de un tensor puede tener uno de cuatro valores. Por lo tanto, el número total de elementos que posee un tensor es igual a 4 R , donde R es el recuento del número de índices covariantes y contravariantes en el tensor (un número llamado rango del tensor).
Algunas cantidades físicas están representadas por tensores, no todos cuyos componentes son independientes. Ejemplos importantes de tales tensores incluyen tensores simétricos y antisimétricos. Los tensores antisimétricos se utilizan habitualmente para representar rotaciones (por ejemplo, el tensor de vorticidad ).
Aunque un tensor de rango R genérico en 4 dimensiones tiene 4 componentes R , las restricciones del tensor, como la simetría o la antisimetría, sirven para reducir el número de componentes distintos. Por ejemplo, un tensor simétrico de rango dos satisface y posee 10 componentes independientes, mientras que un tensor de rango dos antisimétrico (sesgo-simétrico) satisface y tiene 6 componentes independientes. Para rangos mayores que dos, los pares de índices simétricos o antisimétricos deben identificarse explícitamente.
Los tensores antisimétricos de rango 2 juegan un papel importante en la teoría de la relatividad. El conjunto de todos estos tensores, a menudo llamados bivectores , forma un espacio vectorial de dimensión 6, a veces llamado espacio bivectorial.
El tensor métrico es un objeto central en la relatividad general que describe la geometría local del espacio-tiempo (como resultado de resolver las ecuaciones de campo de Einstein ). Utilizando la aproximación de campo débil , también se puede considerar que el tensor métrico representa el "potencial gravitacional". El tensor métrico a menudo se llama simplemente "la métrica".
La métrica es un tensor simétrico y es una importante herramienta matemática. Además de utilizarse para subir y bajar índices tensoriales , también genera las conexiones que se utilizan para construir las ecuaciones geodésicas de movimiento y el tensor de curvatura de Riemann .
Una forma conveniente de expresar el tensor métrico en combinación con los intervalos incrementales de distancia de coordenadas con los que se relaciona es a través del elemento de línea :
Esta forma de expresar la métrica fue utilizada por los pioneros de la geometría diferencial . Si bien algunos relativistas consideran que la notación está algo pasada de moda, muchos cambian fácilmente entre ésta y la notación alternativa: [1]
El tensor métrico se escribe comúnmente como una matriz de 4×4. Esta matriz es simétrica y por tanto tiene 10 componentes independientes.
Una de las características centrales de GR es la idea de invariancia de las leyes físicas. Esta invariancia se puede describir de muchas maneras, por ejemplo, en términos de covarianza local de Lorentz , el principio general de la relatividad o la covarianza del difeomorfismo .
Se puede dar una descripción más explícita utilizando tensores. La característica crucial de los tensores utilizados en este enfoque es el hecho de que (una vez dada una métrica) la operación de contracción de un tensor de rango R sobre todos los índices R da un número (un invariante ) que es independiente del gráfico de coordenadas que se utiliza para realizar la contracción. Físicamente, esto significa que si dos observadores cualesquiera calculan el invariante, obtendrán el mismo número, lo que sugiere que el invariante tiene algún significado independiente. Algunas invariantes importantes en relatividad incluyen:
Otros ejemplos de invariantes en relatividad incluyen los invariantes electromagnéticos y varios otros invariantes de curvatura , algunos de los cuales encuentran aplicación en el estudio de la entropía gravitacional y la hipótesis de la curvatura de Weyl .
La clasificación de tensores es un problema puramente matemático. En GR, sin embargo, ciertos tensores que tienen una interpretación física se pueden clasificar con las diferentes formas del tensor que generalmente corresponden a alguna física. Ejemplos de clasificaciones de tensores útiles en la relatividad general incluyen la clasificación de Segre del tensor de energía-momento y la clasificación de Petrov del tensor de Weyl . Existen varios métodos para clasificar estos tensores, algunos de los cuales utilizan invariantes tensoriales.
Los campos tensoriales en una variedad son mapas que adjuntan un tensor a cada punto de la variedad . Esta noción puede hacerse más precisa introduciendo la idea de un haz de fibras , que en el presente contexto significa reunir todos los tensores en todos los puntos de la variedad, "agrupándolos" así en un gran objeto llamado haz tensorial . Luego, un campo tensorial se define como un mapa desde la variedad hasta el paquete tensor, estando cada punto asociado con un tensor en .
La noción de campo tensorial es de gran importancia en GR. Por ejemplo, la geometría alrededor de una estrella se describe mediante un tensor métrico en cada punto, por lo que en cada punto del espacio-tiempo se debe dar el valor de la métrica para resolver las trayectorias de las partículas materiales. Otro ejemplo son los valores de los campos eléctrico y magnético (dados por el tensor de campo electromagnético ) y la métrica en cada punto alrededor de un agujero negro cargado para determinar el movimiento de una partícula cargada en dicho campo.
Los campos vectoriales son campos tensoriales de rango uno contravariantes. Los campos vectoriales importantes en relatividad incluyen las cuatro velocidades , que es la distancia coordinada recorrida por unidad de tiempo propio, las cuatro aceleraciones y las cuatro corrientes que describen las densidades de carga y corriente. Otros campos tensoriales físicamente importantes en la relatividad incluyen los siguientes:
Aunque la palabra "tensor" se refiere a un objeto en un punto, es una práctica común referirse a los campos tensoriales en un espacio-tiempo (o una región del mismo) simplemente como "tensores".
En cada punto de un espacio-tiempo en el que se define una métrica, la métrica se puede reducir a la forma de Minkowski utilizando la ley de inercia de Sylvester .
Antes del advenimiento de la relatividad general, los cambios en los procesos físicos se describían generalmente mediante derivadas parciales , por ejemplo, al describir cambios en los campos electromagnéticos (véanse las ecuaciones de Maxwell ). Incluso en la relatividad especial , la derivada parcial sigue siendo suficiente para describir tales cambios. Sin embargo, en la relatividad general se encuentra que se deben utilizar derivadas que también sean tensores. Las derivadas tienen algunas características comunes, incluido el hecho de que son derivadas a lo largo de curvas integrales de campos vectoriales.
El problema al definir derivadas en variedades que no son planas es que no existe una forma natural de comparar vectores en diferentes puntos. Se requiere una estructura adicional en una variedad general para definir derivadas. A continuación se describen dos derivadas importantes que se pueden definir imponiendo una estructura adicional a la variedad en cada caso.
La curvatura de un espaciotiempo se puede caracterizar tomando un vector en algún punto y transportándolo en paralelo a lo largo de una curva en el espaciotiempo. Una conexión afín es una regla que describe cómo mover legítimamente un vector a lo largo de una curva en la variedad sin cambiar su dirección.
Por definición, una conexión afín es un mapa bilineal , donde es un espacio de todos los campos vectoriales en el espacio-tiempo. Este mapa bilineal se puede describir en términos de un conjunto de coeficientes de conexión (también conocidos como símbolos de Christoffel ) que especifican lo que sucede con los componentes de los vectores base bajo transporte paralelo infinitesimal:
A pesar de su apariencia, los coeficientes de conexión no son los componentes de un tensor .
En términos generales, existen coeficientes de conexión independientes en cada punto del espacio-tiempo. La conexión se llama simétrica o libre de torsión , si . Una conexión simétrica tiene como máximo coeficientes únicos.
Para cualquier curva y dos puntos y en esta curva, una conexión afín da lugar a un mapa de vectores en el espacio tangente en vectores en el espacio tangente en :
Una conexión afín importante en la relatividad general es la conexión de Levi-Civita , que es una conexión simétrica que se obtiene transportando en paralelo un vector tangente a lo largo de una curva mientras se mantiene constante el producto interno de ese vector a lo largo de la curva. Los coeficientes de conexión resultantes ( símbolos de Christoffel ) se pueden calcular directamente a partir de la métrica . Por este motivo, a este tipo de conexión se le suele denominar conexión métrica .
Sea un punto, un vector ubicado en y un campo vectorial. La idea de diferenciar at a lo largo de la dirección de de una manera físicamente significativa puede tener sentido eligiendo una conexión afín y una curva suave parametrizada tal que y . La formula
Se puede expresar utilizando coeficientes de conexión:
La expresión entre paréntesis, denominada derivada covariante de (con respecto a la conexión) y denotada por , se utiliza más a menudo en los cálculos:
Por lo tanto , una derivada covariante de puede verse como un operador diferencial que actúa sobre un campo vectorial enviándolo a un tensor de tipo (1, 1) (aumentando el índice covariante en 1) y puede generalizarse para actuar sobre campos tensoriales de tipo enviándolos a tipo campos tensoriales. Las nociones de transporte paralelo pueden definirse entonces de manera similar a las del caso de los campos vectoriales. Por definición, una derivada covariante de un campo escalar es igual a la derivada regular del campo.
En la literatura, existen tres métodos comunes para denotar la diferenciación covariante:
Muchas propiedades estándar de las derivadas parciales regulares también se aplican a las derivadas covariantes:
En relatividad general, generalmente se hace referencia a "la" derivada covariante, que es la asociada con la conexión afín Levi-Civita. Por definición, la conexión Levi-Civita preserva la métrica en transporte paralelo, por lo tanto, la derivada covariante da cero cuando actúa sobre un tensor métrico (así como su inversa). Significa que podemos tomar el tensor métrico (inverso) dentro y fuera de la derivada y usarlo para subir y bajar índices:
Otra derivada tensorial importante es la derivada de Lie. A diferencia de la derivada covariante, la derivada de Lie es independiente de la métrica, aunque en la relatividad general se suele utilizar una expresión que aparentemente depende de la métrica a través de la conexión afín. Mientras que la derivada covariante requería una conexión afín para permitir la comparación entre vectores en diferentes puntos, la derivada de Lie utiliza una congruencia de un campo vectorial para lograr el mismo propósito. La idea de que Lie arrastre una función a lo largo de una congruencia conduce a una definición de derivada de Lie, donde la función arrastrada se compara con el valor de la función original en un punto dado. La derivada de Lie se puede definir para campos tensoriales de tipo y, a este respecto, se puede ver como un mapa que envía un tipo a un tensor de tipo.
La derivada de Lie suele denotarse por , donde es el campo vectorial a lo largo de cuya congruencia se toma la derivada de Lie.
La derivada de Lie de cualquier tensor a lo largo de un campo vectorial se puede expresar mediante las derivadas covariantes de ese tensor y campo vectorial. La derivada de Lie de un escalar es simplemente la derivada direccional:
Los objetos de rango superior adquieren términos adicionales cuando se toma la derivada de Lie. Por ejemplo, la derivada de Lie de un tensor tipo (0, 2) es
Más generalmente,
De hecho, en la expresión anterior, se puede reemplazar la derivada covariante con cualquier conexión libre de torsión o localmente, con la derivada dependiente de coordenadas , lo que demuestra que la derivada de Lie es independiente de la métrica. Sin embargo, la derivada covariante es conveniente porque conmuta con índices crecientes y decrecientes.
Uno de los principales usos de la derivada de Lie en la relatividad general es el estudio de las simetrías del espacio-tiempo donde se conservan los tensores u otros objetos geométricos. En particular, la simetría Killing (simetría del tensor métrico bajo arrastre de Lie) ocurre muy a menudo en el estudio del espacio-tiempo. Usando la fórmula anterior, podemos escribir la condición que debe cumplirse para que un campo vectorial genere una simetría Killing:
Una característica crucial de la relatividad general es el concepto de variedad curva. Una forma útil de medir la curvatura de una variedad es con un objeto llamado tensor de Riemann (curvatura).
Este tensor mide la curvatura mediante el uso de una conexión afín considerando el efecto del transporte paralelo de un vector entre dos puntos a lo largo de dos curvas. La discrepancia entre los resultados de estas dos rutas de transporte paralelas se cuantifica esencialmente mediante el tensor de Riemann .
Esta propiedad del tensor de Riemann se puede utilizar para describir cómo divergen las geodésicas inicialmente paralelas. Esto se expresa mediante la ecuación de desviación geodésica y significa que las fuerzas de marea experimentadas en un campo gravitacional son resultado de la curvatura del espacio-tiempo .
Usando el procedimiento anterior, el tensor de Riemann se define como un tensor de tipo (1, 3) y cuando está escrito en su totalidad contiene explícitamente los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales. El tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes. La desaparición de todos estos componentes en una región indica que el espacio-tiempo es plano en esa región. Desde el punto de vista de la desviación geodésica, esto significa que las geodésicas inicialmente paralelas en esa región del espacio-tiempo permanecerán paralelas.
El tensor de Riemann tiene una serie de propiedades a las que a veces se hace referencia como simetrías del tensor de Riemann . De particular relevancia para la relatividad general son las identidades algebraicas y diferenciales de Bianchi.
La conexión y la curvatura de cualquier variedad de Riemann están estrechamente relacionadas; la teoría de los grupos de holonomía , que se forman tomando mapas lineales definidos por transporte paralelo alrededor de curvas en la variedad, proporciona una descripción de esta relación.
Lo que el tensor de Riemann nos permite hacer es decir, matemáticamente, si un espacio es plano o, si es curvo, cuánta curvatura tiene lugar en una región determinada. Para derivar el tensor de curvatura de Riemann primero debemos recordar la definición de la derivada covariante de un tensor con uno y dos índices;
Para la formación del tensor de Riemann, la derivada covariante se toma dos veces con respecto a un tensor de rango uno. La ecuación se establece de la siguiente manera;
De manera similar tenemos:
Restando las dos ecuaciones, intercambiando índices ficticios y usando la simetría de los símbolos de Christoffel se obtiene:
Finalmente, el tensor de curvatura de Riemann se escribe como
Puedes contraer índices para hacer que el tensor sea covariante simplemente multiplicando por la métrica, lo que será útil cuando trabajes con las ecuaciones de campo de Einstein .
Este tensor se llama tensor de Ricci y también se puede derivar estableciendo y en el tensor de Riemann al mismo índice y sumándolos. Entonces la curvatura escalar se puede encontrar yendo un paso más allá,
Entonces ahora tenemos 3 objetos diferentes,
todos los cuales son útiles para calcular soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein.
Las fuentes de cualquier campo gravitacional (materia y energía) están representadas en relatividad por un tensor simétrico de tipo (0, 2) llamado tensor de energía-momento . Está estrechamente relacionado con el tensor de Ricci . Al ser un tensor de segundo rango en cuatro dimensiones, el tensor de energía-momento puede verse como una matriz de 4 por 4. Los diversos tipos de matrices admisibles, llamados formas de Jordan, no pueden ocurrir todos, ya que las condiciones de energía que el tensor de energía-momento se ve obligado a satisfacer descartan ciertas formas.
En la relatividad especial y general, existe una ley local para la conservación de la energía-momento. Se puede expresar sucintamente mediante la ecuación tensorial:
Esto ilustra la regla general de que "las derivadas parciales se convierten en derivadas covariantes".
Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) son el núcleo de la teoría de la relatividad general. Los EFE describen cómo la masa y la energía (representadas en el tensor de tensión-energía ) se relacionan con la curvatura del espacio-tiempo (representada en el tensor de Einstein ). En notación de índice abstracto , la EFE dice lo siguiente:
Las soluciones del EFE son tensores métricos. Las EFE, al ser ecuaciones diferenciales no lineales para la métrica, suelen ser difíciles de resolver. Hay una serie de estrategias que se utilizan para resolverlos. Por ejemplo, una estrategia es comenzar con un ansatz (o una suposición fundamentada) de la métrica final y refinarla hasta que sea lo suficientemente específica para soportar un sistema de coordenadas pero aún lo suficientemente general como para producir un conjunto de ecuaciones diferenciales simultáneas con incógnitas que se puede solucionar. Los tensores métricos que resultan de casos en los que las ecuaciones diferenciales resultantes se pueden resolver exactamente para una distribución físicamente razonable de energía-momento se denominan soluciones exactas . Ejemplos de soluciones exactas importantes incluyen la solución de Schwarzschild y la solución de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker .
La aproximación EIH más otras referencias (por ejemplo, Geroch y Jang, 1975 - 'Movimiento de un cuerpo en la relatividad general', JMP, Vol. 16, Número 1).
Una vez resueltos los EFE para obtener una métrica, queda determinar el movimiento de los objetos inerciales en el espacio-tiempo. En la relatividad general, se supone que el movimiento inercial ocurre a lo largo de geodésicas nulas y temporales del espacio-tiempo parametrizado por el tiempo adecuado . Las geodésicas son curvas que transportan paralelamente su propio vector tangente ; es decir, . Esta condición, la ecuación geodésica , se puede escribir en términos de un sistema de coordenadas con el vector tangente :
Una característica principal de la relatividad general es determinar las trayectorias de las partículas y la radiación en los campos gravitacionales. Esto se logra resolviendo las ecuaciones geodésicas .
Los EFE relacionan la distribución total de materia (energía) con la curvatura del espacio-tiempo . Su no linealidad plantea un problema a la hora de determinar el movimiento preciso de la materia en el espacio-tiempo resultante. Por ejemplo, en un sistema compuesto por un planeta que orbita una estrella , el movimiento del planeta se determina resolviendo las ecuaciones de campo con el tensor de energía-momento, la suma de los del planeta y la estrella. El campo gravitacional del planeta afecta a la geometría total del espacio-tiempo y, por tanto, al movimiento de los objetos. Por tanto, es razonable suponer que las ecuaciones de campo se pueden utilizar para derivar las ecuaciones geodésicas.
Cuando el tensor de energía-momento de un sistema es el del polvo , se puede demostrar utilizando la ley de conservación local para el tensor de energía-momento que las ecuaciones geodésicas se satisfacen exactamente.
Muchos investigadores consideran atractiva la cuestión de derivar las ecuaciones de movimiento o las ecuaciones de campo en cualquier teoría física. Una forma bastante universal de realizar estas derivaciones es mediante el uso de técnicas de cálculo variacional , siendo los principales objetos utilizados en esto los lagrangianos .
Muchos consideran que este enfoque es una forma elegante de construir una teoría, otros simplemente como una forma formal de expresar una teoría (normalmente, la construcción lagrangiana se realiza después de que la teoría ha sido desarrollada).
Habiendo esbozado las estructuras matemáticas básicas utilizadas para formular la teoría, ahora se discutirán algunas técnicas matemáticas importantes que se emplean en la investigación del espacio-tiempo.
Un campo de marco es un conjunto ortonormal de 4 campos vectoriales (1 temporal, 3 espaciales) definidos en un espacio-tiempo . Se puede considerar que cada campo de cuadro representa un observador en el espacio-tiempo que se mueve a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial temporal. Cada cantidad tensorial se puede expresar en términos de un campo de marco; en particular, el tensor métrico adopta una forma particularmente cómoda. Cuando se combinan con campos coframe , los campos frame proporcionan una herramienta poderosa para analizar el espacio-tiempo e interpretar físicamente los resultados matemáticos.
Algunas técnicas modernas para analizar el espacio-tiempo se basan en gran medida en el uso de simetrías del espacio-tiempo, que se generan infinitamente mediante campos vectoriales (generalmente definidos localmente) en un espacio-tiempo que preservan alguna característica del espacio-tiempo. El tipo más común de campos vectoriales de simetría incluyen campos vectoriales Killing (que preservan la estructura métrica) y sus generalizaciones llamadas campos vectoriales Killing generalizados . Los campos vectoriales de simetría encuentran una amplia aplicación en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general y el conjunto de todos esos campos vectoriales suele formar un álgebra de Lie de dimensión finita .
El problema de Cauchy (a veces llamado problema del valor inicial) es el intento de encontrar una solución a una ecuación diferencial dadas las condiciones iniciales. En el contexto de la relatividad general , significa el problema de encontrar soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein (un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas ) dados algunos datos iniciales sobre una hipersuperficie. El estudio del problema de Cauchy permite formular el concepto de causalidad en la relatividad general, así como soluciones "parametrizadas" de las ecuaciones de campo. Idealmente, uno desea soluciones globales , pero normalmente las soluciones locales son lo mejor que se puede esperar. Normalmente, resolver este problema de valor inicial requiere la selección de condiciones de coordenadas particulares .
Los espinores encuentran varias aplicaciones importantes en la relatividad. Su uso como método para analizar el espacio-tiempo mediante tétradas , en particular, en el formalismo de Newman-Penrose, es importante.
Otra característica atractiva de los espinores en la relatividad general es la forma condensada en que se pueden escribir algunas ecuaciones tensoriales utilizando el formalismo de los espinores. Por ejemplo, al clasificar el tensor de Weyl, determinar los distintos tipos de Petrov resulta mucho más fácil en comparación con su contraparte tensorial.
El cálculo de Regge es un formalismo que divide una variedad de Lorentz en 'trozos' discretos (bloques simpliciales de cuatro dimensiones) y las longitudes de los bordes del bloque se toman como variables básicas. Se obtiene una versión discreta de la acción de Einstein-Hilbert considerando los llamados ángulos de déficit de estos bloques, un ángulo de déficit cero correspondiente a ninguna curvatura. Esta novedosa idea encuentra aplicación en métodos de aproximación en relatividad numérica y gravedad cuántica , esta última utilizando una generalización del cálculo de Regge.
En relatividad general, se observó que, en condiciones bastante genéricas, el colapso gravitacional resultará inevitablemente en la llamada singularidad . Una singularidad es un punto donde las soluciones de las ecuaciones se vuelven infinitas, lo que indica que la teoría ha sido probada en rangos inadecuados.
La relatividad numérica es el subcampo de la relatividad general que busca resolver las ecuaciones de Einstein mediante el uso de métodos numéricos. Los métodos de diferencias finitas , de elementos finitos y pseudoespectrales se utilizan para aproximar la solución a las ecuaciones diferenciales parciales que surgen. Las técnicas novedosas desarrolladas por la relatividad numérica incluyen el método de escisión y el método de punción para abordar las singularidades que surgen en los espacio-tiempos de los agujeros negros. Los temas de investigación comunes incluyen los agujeros negros y las estrellas de neutrones.
La no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein a menudo lleva a considerar métodos de aproximación para resolverlas. Por ejemplo, un enfoque importante es linealizar las ecuaciones de campo . Las técnicas de la teoría de la perturbación encuentran amplia aplicación en dichas áreas.
[1] La característica definitoria (idea física central) de la relatividad general es que la materia y la energía hacen que la geometría del espacio-tiempo circundante sea curva.
![{\displaystyle \nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left[\Pi _{(\varepsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma [\varepsilon ])-{\vec {B}}(X)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c51747ea18e1ed4246ab6749e7475fa69c0ca8)
![{\displaystyle \nabla _{\sigma }[V_{\mu \nu }]=\partial _{\sigma }V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }V_{\rho \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }V_{\mu \rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e98d546040883c4f002deae1f54cb79984e424)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\& =\partial _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\nabla _{\rho }V_{\ nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\nabla _{\mu }V_{\rho }]\\&=\partial _{\sigma }[\partial _{ \mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\ parcial _{\rho }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }]\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{ }_{\mu \sigma }\partial _ {\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\ nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\ parcial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }\partial _{ \sigma }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _ {\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_ {\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\end{aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3d243b96ab1decee71e1b59991f85a2d606da4)
