Condición energética

Supuestos simplificadores sobre el comportamiento del tensor tensión-energía en la relatividad general

En las teorías relativistas de campo clásicas de la gravitación , particularmente en la relatividad general , una condición de energía es una generalización de la afirmación "la densidad de energía de una región del espacio no puede ser negativa" en una formulación matemática formulada relativistamente. Hay múltiples formas alternativas posibles de expresar tal condición que pueden aplicarse al contenido material de la teoría. La esperanza es entonces que cualquier teoría de la materia razonable satisfaga esta condición o al menos la preserve si es satisfecha por las condiciones iniciales.

Las condiciones energéticas no son limitaciones físicas per se , sino condiciones límite impuestas matemáticamente que intentan capturar la creencia de que "la energía debe ser positiva". ^[1] Se sabe que muchas condiciones energéticas no corresponden a la realidad física ; por ejemplo, es bien sabido que los efectos observables de la energía oscura violan la condición de energía fuerte. ^{[2] [3]}

En la relatividad general, las condiciones de energía se utilizan a menudo (y se requieren) en las pruebas de varios teoremas importantes sobre los agujeros negros, como el teorema de la ausencia de pelo o las leyes de la termodinámica de los agujeros negros .

Motivación

En la relatividad general y teorías afines, la distribución de la masa, el momento y la tensión debidos a la materia y a cualquier campo no gravitacional se describe mediante el tensor de energía-momento (o tensor de materia ) . Sin embargo, la ecuación de campo de Einstein en sí misma no especifica qué tipos de estados de la materia o campos no gravitacionales son admisibles en un modelo de espacio-tiempo. Esto es a la vez una fortaleza, ya que una buena teoría general de la gravitación debería ser máximamente independiente de cualquier suposición relativa a la física no gravitacional, y una debilidad, porque sin ningún criterio adicional, la ecuación de campo de Einstein admite supuestas soluciones con propiedades que la mayoría de los físicos consideran no físicas . es decir, demasiado extraño para parecerse a algo del universo real, aunque sea aproximadamente. ${\displaystyle T^{ab}}$

Las condiciones energéticas representan tales criterios. En términos generales, describen crudamente propiedades comunes a todos (o casi todos) los estados de la materia y a todos los campos no gravitacionales que están bien establecidos en física y al mismo tiempo son lo suficientemente fuertes como para descartar muchas "soluciones" no físicas de la ecuación de campo de Einstein.

Matemáticamente hablando, la característica distintiva más evidente de las condiciones de energía es que son esencialmente restricciones sobre los valores propios y vectores propios del tensor de materia. Una característica más sutil pero no menos importante es que se imponen a nivel de espacios tangenciales . Por lo tanto, no tienen esperanzas de descartar características globales objetables , como las curvas temporales cerradas .

Algunas cantidades observables

Para comprender los enunciados de las diversas condiciones de energía, uno debe estar familiarizado con la interpretación física de algunas cantidades escalares y vectoriales construidas a partir de vectores nulos o temporales arbitrarios y el tensor de materia.

En primer lugar, se puede interpretar que un campo vectorial unitario de tipo temporal define las líneas mundiales de alguna familia de observadores ideales (posiblemente no inerciales). Entonces el campo escalar ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}}$

puede interpretarse como la densidad total de masa-energía (materia más energía de campo de cualquier campo no gravitacional) medida por el observador de nuestra familia (en cada evento en su línea mundial). De manera similar, el campo vectorial con componentes representa (después de una proyección) el impulso medido por nuestros observadores. ${\displaystyle -{T^{a}}_{b}X^{b}}$

En segundo lugar, dado un campo vectorial nulo arbitrario, el campo escalar ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}}$

puede considerarse una especie de caso límite de la densidad masa-energía.

En tercer lugar, en el caso de la relatividad general, dado un campo vectorial temporal arbitrario , nuevamente interpretado como una descripción del movimiento de una familia de observadores ideales, el escalar de Raychaudhuri es el campo escalar obtenido tomando la traza del tensor de marea correspondiente a aquellos observadores en cada evento: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}}$

Esta cantidad juega un papel crucial en la ecuación de Raychaudhuri . Entonces de la ecuación de campo de Einstein obtenemos inmediatamente

${\displaystyle {\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},}$

¿Dónde está la traza del tensor de materia? ${\displaystyle T={T^{m}}_{m}}$

declaración matemática

Existen varias condiciones de energía alternativa de uso común:

Condición de energía nula

La condición de energía nula estipula que para cada campo vectorial nulo que apunta al futuro , ${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle \nu =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.}$

Cada uno de estos tiene una versión promediada , en la que las propiedades mencionadas anteriormente se mantienen solo en promedio a lo largo de las líneas de flujo de los campos vectoriales apropiados. De lo contrario, el efecto Casimir da lugar a excepciones. Por ejemplo, la condición de energía nula promediada establece que para cada línea de flujo (curva integral) del campo vectorial nulo debemos tener ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle \int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}d\lambda \geq 0.}$

Condición energética débil

La condición de energía débil estipula que para cada campo vectorial temporal la densidad de materia observada por los observadores correspondientes siempre es no negativa: ${\displaystyle {\vec {X}},}$

${\displaystyle \rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.}$

Condición de energía dominante

La condición de energía dominante estipula que, además de que la condición de energía débil sea cierta, para cada campo vectorial causal que apunta al futuro (ya sea temporal o nulo), el campo vectorial debe ser un vector causal que apunta al futuro. Es decir, nunca se puede observar que la masa-energía fluya más rápido que la luz. ${\displaystyle {\vec {Y}},}$ ${\displaystyle -{T^{a}}_{b}Y^{b}}$

Fuerte condición energética

La condición de energía fuerte estipula que para cada campo vectorial temporal , la traza del tensor de marea medida por los observadores correspondientes siempre es no negativa: ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle \left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0}$

Hay muchas configuraciones clásicas de la materia que violan la condición de energía fuerte, al menos desde una perspectiva matemática. Por ejemplo, un campo escalar con potencial positivo puede violar esta condición. Además, las observaciones de la energía oscura / constante cosmológica muestran que la condición de energía fuerte no logra describir nuestro universo, incluso cuando se promedia en escalas cosmológicas. Además, se viola fuertemente en cualquier proceso inflacionario cosmológico (incluso uno que no esté impulsado por un campo escalar). ^[3]

Fluidos perfectos

Implicaciones entre algunas condiciones energéticas, en el caso de un fluido perfecto.

Los fluidos perfectos poseen un tensor de forma de materia.

${\displaystyle T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},}$

¿Dónde están las cuatro velocidades de las partículas de materia y dónde está el tensor de proyección sobre los elementos del hiperplano espacial ortogonales a las cuatro velocidades, en cada evento? (Obsérvese que estos elementos del hiperplano no formarán un hipercorte espacial a menos que la velocidad esté libre de vorticidad , es decir, irrotacional ). Con respecto a un marco alineado con el movimiento de las partículas de materia, los componentes del tensor de materia toman la forma diagonal. ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}}$

${\displaystyle T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.}$

Aquí, está la densidad de energía y es la presión . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$

Las condiciones energéticas pueden entonces reformularse en términos de estos valores propios:

• La condición de energía nula estipula que ${\displaystyle \rho +p\geq 0.}$
• La condición de energía débil estipula que ${\displaystyle \rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.}$
• La condición energética dominante estipula que ${\displaystyle \rho \geq |p|.}$
• La condición de energía fuerte estipula que ${\displaystyle \rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.}$

Las implicaciones entre estas condiciones se indican en la figura de la derecha. Tenga en cuenta que algunas de estas condiciones permiten una presión negativa . Además, tenga en cuenta que, a pesar de los nombres, la condición de energía fuerte no implica la condición de energía débil, incluso en el contexto de fluidos perfectos .

fluidos no perfectos

Finalmente, hay propuestas para la extensión de las condiciones energéticas a espacios-tiempos que contienen fluidos no perfectos, donde la segunda ley de la termodinámica proporciona una función de Lyapunov natural para probar tanto la estabilidad como la causalidad, donde el origen físico de la conexión entre estabilidad y causalidad reside en La relación entre entropía e información . ^[4] Estos intentos generalizan el teorema de conservación del vacío de Hawking-Ellis (según el cual, si la energía puede entrar en una región vacía más rápido que la velocidad de la luz, entonces se viola la condición de energía dominante y la densidad de energía puede volverse negativa en alguna referencia). cuadro ^[5] ) a espacios-tiempos que contienen materia fuera de equilibrio a temperatura y potencial químico finitos.

De hecho, la idea de que existe una conexión entre la violación de la causalidad y las inestabilidades de los fluidos tiene una larga historia. Por ejemplo, en palabras de W. Israel : “Si la fuente de un efecto puede retrasarse, un sistema debería poder tomar prestada energía de su estado fundamental, y esto implica inestabilidad”. ^[6] Es posible demostrar que se trata de una reformulación del teorema de conservación del vacío de Hawking-Ellis a temperatura y potencial químico finitos. ^{[4] [5]}

Intentos de falsificar las condiciones energéticas.

Si bien la intención de las condiciones de energía es proporcionar criterios simples que descarten muchas situaciones no físicas y al mismo tiempo admitan cualquier situación físicamente razonable, de hecho, al menos cuando se introduce un modelado de campo efectivo de algunos efectos de la mecánica cuántica, se pueden identificar algunos posibles tensores de materia que se conocen. para ser físicamente razonables e incluso realistas porque han sido verificados experimentalmente , en realidad fallan en diversas condiciones energéticas. En particular, en el efecto Casimir , en la región entre dos placas conductoras mantenidas paralelas con una separación d muy pequeña , hay una densidad de energía negativa .

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}}$

entre las placas. (Sin embargo, tenga en cuenta que el efecto Casimir es topológico, ya que el signo de la energía del vacío depende tanto de la geometría como de la topología de la configuración. Al ser negativa para placas paralelas, la energía del vacío es positiva para una esfera conductora). , varias desigualdades cuánticas sugieren que en tales casos se puede satisfacer una condición de energía promediada adecuada. En particular, la condición de energía nula promediada se cumple en el efecto Casimir. De hecho, para los tensores de energía-momento que surgen de las teorías de campos efectivos en el espacio-tiempo de Minkowski, la condición de energía nula promediada se cumple para los campos cuánticos cotidianos. Ampliar estos resultados es un problema abierto.

Toda la materia normal/newtoniana obedece a la condición de energía fuerte, pero un falso vacío puede violarla. Considere el estado de la ecuación barotrópica lineal.

${\displaystyle p=w\rho ,}$

donde es la densidad de energía de la materia, es la presión de la materia y es una constante. Entonces la condición de energía fuerte requiere ; pero para el estado conocido como falso vacío, tenemos . ^[7] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w\geq -1/3}$ ${\displaystyle w=-1}$

Ver también

• Congruencia (relatividad general)
• Soluciones exactas en relatividad general.
• Campos de marco en relatividad general
• Teorema de la energía positiva
• Desigualdades cuánticas

Notas

1. Curiel, E. (2014). "Introducción a las condiciones energéticas". arXiv : 1405.0403 .
2. Farnés, JS (2018). "Una teoría unificadora de la energía oscura y la materia oscura: masas negativas y creación de materia dentro de un marco ΛCDM modificado". Astronomía y Astrofísica . 620 : A92. arXiv : 1712.07962 . Código Bib : 2018A&A...620A..92F. doi :10.1051/0004-6361/201832898. S2CID  53600834.
3. Visser, Matt; Barceló, Carlos (2000). "Condiciones energéticas y sus implicaciones cosmológicas". Cosmo-99 . págs. 98-112. arXiv : gr-qc/0001099 . doi :10.1142/9789812792129_0014. ISBN 978-981-02-4456-9. S2CID  119446302.
4. Gavassino, Lorenzo; Antonelli, Marco; Haskell, Brynmor (6 de enero de 2022). "La estabilidad termodinámica implica causalidad". Cartas de revisión física . 128 (1): 010606. arXiv : 2105.14621 . doi : 10.1103/PhysRevLett.128.010606. ISSN  0031-9007.
5. Gavassino, Lorenzo (3 de octubre de 2022). "¿Podemos darle sentido a la disipación sin causalidad?". Revisión física X. 12 (4): 041001. arXiv : 2111.05254 . doi : 10.1103/PhysRevX.12.041001. ISSN  2160-3308.
6. Israel, Werner (2009), Lacki, enero; Ruegg, Henri; Wanders, Gérard (eds.), "Relativistic Thermodynamics", ECG Stueckelberg, An Unconventional Figure of Twentieth Century Physics: Selected Scientific Papers with Commentaries , Basilea: Birkhäuser, págs. 101-113, doi :10.1007/978-3-7643- 8878-2_8, ISBN 978-3-7643-8878-2, recuperado el 17 de mayo de 2024
7. TFG Ellis; R. Maartens; MAH MacCallum (2012). "Sección 6.1". Cosmología Relativista . Prensa de la Universidad de Cambridge.

Referencias

• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-09906-4.Las condiciones de energía se analizan en el §4.3.
• Poisson, Eric (2004). Un conjunto de herramientas relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. Código Bib : 2004rtmb.book.......P. ISBN 0-521-83091-5.En la Sección 2.1 se analizan varias condiciones energéticas (incluidas todas las mencionadas anteriormente) .
• Carroll, Sean M. (2004). Espaciotiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8732-3.En la Sección 4.6 se analizan varias condiciones de energía .
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-87033-2.Las condiciones energéticas comunes se analizan en la Sección 9.2 .
• Ellis, TFG; Maartens, R.; MacCallum, MAH (2012). Cosmología Relativista . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-38115-4.Las violaciones de la condición de energía fuerte se analizan en la Sección 6.1 .