En matemáticas, la integrabilidad es una propiedad de ciertos sistemas dinámicos . Si bien existen varias definiciones formales distintas, informalmente hablando, un sistema integrable es un sistema dinámico con suficientes cantidades conservadas , o primeras integrales , como para que su movimiento esté confinado a una subvariedad de dimensionalidad mucho menor que la de su espacio de fases .
A menudo se hace referencia a tres características que caracterizan los sistemas integrables: [1]
Los sistemas integrables pueden considerarse muy diferentes en su carácter cualitativo de los sistemas dinámicos más genéricos , que son más típicamente sistemas caóticos . Estos últimos generalmente no tienen cantidades conservadas y son asintóticamente intratables, ya que una perturbación arbitrariamente pequeña en las condiciones iniciales puede conducir a desviaciones arbitrariamente grandes en sus trayectorias durante un tiempo suficientemente grande.
Muchos sistemas estudiados en física son completamente integrables, en particular, en el sentido hamiltoniano , siendo el ejemplo clave los osciladores armónicos multidimensionales. Otro ejemplo estándar es el movimiento planetario alrededor de un centro fijo (por ejemplo, el sol) o dos. Otros ejemplos elementales incluyen el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa (el trompo de Euler ) y el movimiento de un cuerpo rígido axialmente simétrico alrededor de un punto en su eje de simetría (el trompo de Lagrange ).
A finales de los años 1960, se descubrió que en física existen sistemas completamente integrables que tienen un número infinito de grados de libertad, como algunos modelos de ondas en aguas poco profundas ( ecuación de Korteweg-de Vries ), el efecto Kerr en fibras ópticas, descrito por la ecuación no lineal de Schrödinger , y ciertos sistemas de muchos cuerpos integrables, como la red de Toda . La teoría moderna de sistemas integrables revivió con el descubrimiento numérico de los solitones por Martin Kruskal y Norman Zabusky en 1965, que condujo al método de la transformada de dispersión inversa en 1967.
En el caso especial de los sistemas hamiltonianos, si hay suficientes integrales conmutativas de Poisson independientes para que los parámetros de flujo puedan servir como un sistema de coordenadas en los conjuntos de niveles invariantes (las hojas de la foliación lagrangiana ), y si los flujos son completos y el conjunto de niveles de energía es compacto, esto implica el teorema de Liouville-Arnold ; es decir, la existencia de variables de ángulo de acción . Los sistemas dinámicos generales no tienen tales cantidades conservadas; en el caso de los sistemas hamiltonianos autónomos , la energía es generalmente la única, y en los conjuntos de niveles de energía, los flujos son típicamente caóticos.
Un ingrediente clave para caracterizar los sistemas integrables es el teorema de Frobenius , que establece que un sistema es integrable según Frobenius (es decir, es generado por una distribución integrable) si, localmente, tiene una foliación por variedades integrales máximas. Pero la integrabilidad, en el sentido de los sistemas dinámicos , es una propiedad global, no local, ya que requiere que la foliación sea regular, con las hojas insertas en subvariedades.
La integrabilidad no implica necesariamente que las soluciones genéricas puedan expresarse explícitamente en términos de algún conjunto conocido de funciones especiales ; es una propiedad intrínseca de la geometría y la topología del sistema y de la naturaleza de la dinámica.
En el contexto de los sistemas dinámicos diferenciables , la noción de integrabilidad se refiere a la existencia de foliaciones regulares e invariantes ; es decir, aquellas cuyas hojas son subvariedades embebidas de la menor dimensión posible que son invariantes bajo el flujo . Existe pues una noción variable del grado de integrabilidad, en función de la dimensión de las hojas de la foliación invariante. Este concepto tiene un refinamiento en el caso de los sistemas hamiltonianos , conocido como integrabilidad completa en el sentido de Liouville (ver más abajo), que es a lo que se hace referencia con más frecuencia en este contexto.
Una extensión de la noción de integrabilidad también es aplicable a sistemas discretos como los retículos. Esta definición se puede adaptar para describir ecuaciones de evolución que son sistemas de ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias finitas .
La distinción entre sistemas dinámicos integrables y no integrables tiene la implicación cualitativa de movimiento regular vs. movimiento caótico y, por lo tanto, es una propiedad intrínseca, no solo una cuestión de si un sistema puede integrarse explícitamente en una forma exacta.
En el contexto especial de los sistemas hamiltonianos , tenemos la noción de integrabilidad en el sentido de Liouville . (Véase el teorema de Liouville–Arnold ). La integrabilidad de Liouville significa que existe una foliación regular del espacio de fases por variedades invariantes tales que los campos vectoriales hamiltonianos asociados con los invariantes de la foliación abarcan la distribución tangente. Otra forma de expresar esto es que existe un conjunto máximo de invariantes conmutativos de Poisson funcionalmente independientes (es decir, funciones independientes en el espacio de fases cuyos corchetes de Poisson con el hamiltoniano del sistema, y entre sí, se anulan).
En dimensiones finitas, si el espacio de fases es simpléctico (es decir, el centro del álgebra de Poisson consiste solo en constantes), debe tener dimensión par y el número máximo de invariantes conmutativos de Poisson independientes (incluido el propio hamiltoniano) es . Las hojas de la foliación son totalmente isótropas con respecto a la forma simpléctica y dicha foliación isótropa máxima se llama lagrangiana . Todos los sistemas hamiltonianos autónomos (es decir, aquellos para los que los corchetes hamiltonianos y de Poisson no dependen explícitamente del tiempo) tienen al menos un invariante; a saber, el propio hamiltoniano, cuyo valor a lo largo del flujo es la energía. Si los conjuntos de niveles de energía son compactos, las hojas de la foliación lagrangiana son toros , y las coordenadas lineales naturales en estos se denominan variables de "ángulo". Los ciclos de la forma canónica se denominan variables de acción, y las coordenadas canónicas resultantes se denominan variables de acción-ángulo (ver más abajo).
También existe una distinción entre integrabilidad completa , en el sentido de Liouville , e integrabilidad parcial, así como una noción de superintegrabilidad y superintegrabilidad máxima. Esencialmente, estas distinciones corresponden a las dimensiones de las hojas de la foliación. Cuando el número de invariantes independientes conmutativos de Poisson es menor que el máximo (pero, en el caso de sistemas autónomos, más de uno), decimos que el sistema es parcialmente integrable. Cuando existen más invariantes funcionalmente independientes, más allá del número máximo que puede ser conmutativo de Poisson, y por lo tanto la dimensión de las hojas de la foliación invariante es menor que n, decimos que el sistema es superintegrable . Si hay una foliación regular con hojas unidimensionales (curvas), esto se llama máximamente superintegrable.
Cuando un sistema hamiltoniano de dimensión finita es completamente integrable en el sentido de Liouville, y los conjuntos de niveles de energía son compactos, los flujos son completos, y las hojas de la foliación invariante son toros . Existen entonces, como se mencionó anteriormente, conjuntos especiales de coordenadas canónicas en el espacio de fases conocidas como variables de acción-ángulo , de modo que los toros invariantes son los conjuntos de niveles conjuntos de las variables de acción . Estos proporcionan así un conjunto completo de invariantes del flujo hamiltoniano (constantes de movimiento), y las variables de ángulo son las coordenadas periódicas naturales en los toros. El movimiento en los toros invariantes, expresado en términos de estas coordenadas canónicas, es lineal en las variables de ángulo.
En la teoría de la transformación canónica , existe el método de Hamilton-Jacobi , en el que se buscan soluciones a las ecuaciones de Hamilton encontrando primero una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi asociada . En la terminología clásica, esto se describe como la determinación de una transformación a un conjunto canónico de coordenadas que consiste en variables completamente ignorables; es decir, aquellas en las que no hay dependencia del hamiltoniano de un conjunto completo de coordenadas de "posición" canónicas y, por lo tanto, los momentos conjugados canónicamente correspondientes son todos cantidades conservadas. En el caso de conjuntos de niveles de energía compactos, este es el primer paso hacia la determinación de las variables de acción-ángulo . En la teoría general de ecuaciones diferenciales parciales de tipo Hamilton-Jacobi , una solución completa (es decir, una que depende de n constantes independientes de integración, donde n es la dimensión del espacio de configuración), existe en casos muy generales, pero solo en el sentido local. Por lo tanto, la existencia de una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi no es de ninguna manera una caracterización de integrabilidad completa en el sentido de Liouville. La mayoría de los casos que pueden ser "integrados explícitamente" implican una separación completa de variables , en la que las constantes de separación proporcionan el conjunto completo de constantes de integración que se requieren. Solo cuando estas constantes pueden reinterpretarse, dentro del contexto del espacio de fases completo, como los valores de un conjunto completo de funciones de conmutación de Poisson restringidas a las hojas de una foliación lagrangiana, el sistema puede considerarse completamente integrable en el sentido de Liouville.
El interés por los sistemas integrables clásicos resurgió a finales de los años 1960 con el descubrimiento de que los solitones , que son soluciones localizadas y muy estables de ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Korteweg-de Vries (que describe la dinámica de fluidos unidimensional no disipativa en cuencas poco profundas), podían entenderse al considerar estas ecuaciones como sistemas hamiltonianos integrables de dimensión infinita. Su estudio conduce a un enfoque muy fructífero para "integrar" tales sistemas, la transformada de dispersión inversa y métodos espectrales inversos más generales (a menudo reducibles a problemas de Riemann-Hilbert ), que generalizan métodos lineales locales como el análisis de Fourier a la linealización no local, a través de la solución de ecuaciones integrales asociadas.
La idea básica de este método es introducir un operador lineal que está determinado por la posición en el espacio de fases y que evoluciona bajo la dinámica del sistema en cuestión de tal manera que su "espectro" (en un sentido adecuadamente generalizado) es invariante bajo la evolución, cf. Par Lax . Esto proporciona, en ciertos casos, suficientes invariantes, o "integrales de movimiento" para hacer que el sistema sea completamente integrable. En el caso de sistemas que tienen un número infinito de grados de libertad, como la ecuación KdV, esto no es suficiente para hacer precisa la propiedad de integrabilidad de Liouville. Sin embargo, para condiciones de contorno adecuadamente definidas, la transformación espectral puede, de hecho, interpretarse como una transformación a coordenadas completamente ignorables , en las que las cantidades conservadas forman la mitad de un conjunto doblemente infinito de coordenadas canónicas, y el flujo se linealiza en estas. En algunos casos, esto puede incluso verse como una transformación a variables de acción-ángulo, aunque típicamente solo un número finito de las variables de "posición" son realmente coordenadas de ángulo, y el resto no son compactas.
Otro punto de vista que surgió en la teoría moderna de sistemas integrables se originó en un enfoque de cálculo iniciado por Ryogo Hirota , [2] que implicaba reemplazar el sistema dinámico no lineal original con un sistema bilineal de ecuaciones de coeficientes constantes para una cantidad auxiliar, que más tarde se conoció como la función τ . Estas ahora se conocen como las ecuaciones de Hirota . Aunque originalmente aparecieron solo como un dispositivo de cálculo, sin ninguna relación clara con el enfoque de dispersión inversa o la estructura hamiltoniana, esto proporcionó, sin embargo, un método muy directo del cual se podían derivar clases importantes de soluciones como los solitones .
Posteriormente, esto fue interpretado por Mikio Sato [3] y sus estudiantes, [4] [5] al principio para el caso de jerarquías integrables de EDP, como la jerarquía de Kadomtsev-Petviashvili , pero luego para clases mucho más generales de jerarquías integrables, como una especie de enfoque de espacio de fase universal , en el que, típicamente, la dinámica conmutativa se veía simplemente como determinada por una acción de grupo abeliana fija (finita o infinita) en una variedad de Grassmann (finita o infinita) . La función τ se veía como el determinante de un operador de proyección desde elementos de la órbita del grupo hasta algún origen dentro del Grassmanniano, y las ecuaciones de Hirota como expresión de las relaciones de Plücker , caracterizando la incrustación de Plücker del Grassmanniano en la proyectivización de un espacio exterior adecuadamente definido (infinito) , visto como un espacio de Fock fermiónico .
También existe una noción de sistemas integrables cuánticos.
En el contexto cuántico, las funciones en el espacio de fases deben reemplazarse por operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert , y la noción de funciones conmutativas de Poisson debe reemplazarse por operadores conmutativos. La noción de leyes de conservación debe especializarse en leyes de conservación locales . [6] Cada hamiltoniano tiene un conjunto infinito de cantidades conservadas dadas por proyectores a sus estados propios de energía . Sin embargo, esto no implica ninguna estructura dinámica especial.
Para explicar la integrabilidad cuántica, es útil considerar el escenario de partículas libres. Aquí todas las dinámicas son reducibles a un cuerpo. Se dice que un sistema cuántico es integrable si la dinámica es reducible a dos cuerpos. La ecuación de Yang-Baxter es una consecuencia de esta reducibilidad y conduce a identidades de trazas que proporcionan un conjunto infinito de cantidades conservadas. Todas estas ideas se incorporan al método de dispersión inversa cuántica donde se puede utilizar el ansatz algebraico de Bethe para obtener soluciones explícitas. Ejemplos de modelos integrables cuánticos son el modelo de Lieb-Liniger , el modelo de Hubbard y varias variaciones del modelo de Heisenberg . [7] Se conocen otros tipos de integrabilidad cuántica en problemas cuánticos explícitamente dependientes del tiempo, como el modelo impulsado de Tavis-Cummings. [8]
En física, los sistemas completamente integrables, especialmente en el ámbito de las dimensiones infinitas, suelen denominarse modelos exactamente resolubles. Esto oscurece la distinción entre integrabilidad, en el sentido hamiltoniano, y el sentido más general de sistemas dinámicos.
También existen modelos resolubles exactamente en mecánica estadística, que están más estrechamente relacionados con los sistemas integrables cuánticos que los clásicos. Dos métodos estrechamente relacionados: el enfoque Bethe ansatz , en su sentido moderno, basado en las ecuaciones de Yang-Baxter y el método de dispersión inversa cuántica , proporcionan análogos cuánticos de los métodos espectrales inversos. Estos son igualmente importantes en el estudio de modelos resolubles en mecánica estadística.
A veces también se utiliza una noción imprecisa de "solubilidad exacta" que significa: "Las soluciones pueden expresarse explícitamente en términos de algunas funciones previamente conocidas", como si se tratara de una propiedad intrínseca del propio sistema, en lugar de la característica puramente calculable de que tenemos algunas funciones "conocidas" disponibles, en términos de las cuales se pueden expresar las soluciones. Esta noción no tiene un significado intrínseco, ya que lo que se entiende por funciones "conocidas" muy a menudo se define precisamente por el hecho de que satisfacen ciertas ecuaciones dadas, y la lista de tales "funciones conocidas" crece constantemente. Aunque tal caracterización de la "integrabilidad" no tiene validez intrínseca, a menudo implica el tipo de regularidad que se espera en los sistemas integrables. [ cita requerida ]
