Máximos de Lagrange, Euler y Kovalevskaya

Cuerpos rígidos integrables en mecánica clásica

Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange y Sofía Vasilievna Kovalevskaya

En mecánica clásica , la rotación de un cuerpo rígido como una peonza bajo la influencia de la gravedad no es, en general, un problema integrable . Sin embargo, hay tres casos famosos que son integrables, el trompo de Euler , el de Lagrange y el de Kovalevskaya , que son de hecho los únicos casos integrables cuando el sistema está sujeto a restricciones holonómicas . ^{[1] [2] [3]} Además de la energía, cada uno de estos trompos implica dos constantes de movimiento adicionales que dan lugar a la integrabilidad .

El trompo de Euler describe un trompo libre sin ninguna simetría particular que se mueve en ausencia de cualquier par externo , y para el cual el punto fijo es el centro de gravedad . El trompo de Lagrange es un trompo simétrico, en el que dos momentos de inercia son iguales y el centro de gravedad se encuentra en el eje de simetría . El trompo de Kovalevskaya ^{[4] [5]} es un trompo simétrico especial con una relación única de los momentos de inercia que satisfacen la relación

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

Es decir, dos momentos de inercia son iguales, el tercero es la mitad y el centro de gravedad está situado en el plano perpendicular al eje de simetría (paralelo al plano de los dos ejes principales degenerados).

Formulación hamiltoniana de topes clásicos

La configuración de un trompo clásico ^[6] se describe en el tiempo mediante tres ejes principales dependientes del tiempo , definidos por los tres vectores ortogonales , y con momentos de inercia correspondientes , y y la velocidad angular sobre esos ejes. En una formulación hamiltoniana de trompos clásicos, las variables dinámicas conjugadas son los componentes del vector de momento angular a lo largo de los ejes principales ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

y los componentes z de los tres ejes principales,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

Las relaciones de corchetes de Poisson de estas variables están dadas por

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Si la posición del centro de masa está dada por , entonces el hamiltoniano de un trompo está dado por ${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

Las ecuaciones de movimiento quedan entonces determinadas por

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

Explícitamente, se trata de permutaciones cíclicas de los índices. $${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$ $${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$

Descripción matemática del espacio de fases

En términos matemáticos, la configuración espacial del cuerpo se describe mediante un punto en el grupo de Lie , el grupo de rotación tridimensional , que es la matriz de rotación desde el marco del laboratorio hasta el marco del cuerpo. El espacio de configuración completo o espacio de fase es el fibrado cotangente , con las fibras que parametrizan el momento angular en la configuración espacial . El hamiltoniano es una función de este espacio de fase. ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle T^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle T_{R}^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle R}$

Cima de Euler

El trompo de Euler, llamado así por Leonhard Euler , es un trompo sin torsión (por ejemplo, un trompo en caída libre), con un hamiltoniano

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Las cuatro constantes de movimiento son la energía y los tres componentes del momento angular en el marco del laboratorio. ${\displaystyle H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

Cima de Lagrange

El pico de Lagrange, ^[7] llamado así por Joseph-Louis Lagrange , es un pico simétrico con el centro de masa a lo largo del eje de simetría en la ubicación, con un hamiltoniano ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

Las cuatro constantes de movimiento son la energía , el componente del momento angular a lo largo del eje de simetría, el momento angular en la dirección z . ${\displaystyle H_{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

Cima de Kovalevskaya

El trompo de Kovalevskaya ^{[4] [5]} es un trompo simétrico en el que , y el centro de masas se encuentra en el plano perpendicular al eje de simetría . Fue descubierto por Sofia Kovalevskaya en 1888 y presentado en su artículo "Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe", que ganó el Premio Bordin de la Academia Francesa de Ciencias en 1888. El hamiltoniano es ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$ ${\displaystyle I_{3}=I}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía , el invariante de Kovalevskaya ${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

donde las variables están definidas por ${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

el componente del momento angular en la dirección z ,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del n -vector

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

Restricciones no holonómicas

Si se relajan las restricciones para permitir restricciones no holonómicas , existen otros topes integrables posibles además de los tres casos bien conocidos. El top no holonómico de Goryachev–Chaplygin (introducido por D. Goryachev en 1900 ^[8] e integrado por Sergey Chaplygin en 1948 ^{[9] [10]} ) también es integrable ( ). Su centro de gravedad se encuentra en el plano ecuatorial . ^[11] ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

Véase también

• Portal de física

• Suspensión cardán

Referencias

1. Audin, Michèle (1996), Trompos: un curso sobre sistemas integrables , Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 9780521779197.
2. Whittaker, ET (1952). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos . Cambridge University Press. ISBN 9780521358835 . 
3. Strogatz, Steven (2019). Poderes infinitos. Nueva York: Houghton Mifflin Harcourt. pág. 287. ISBN 978-1786492968Más importante aún , ella [Sofja Wassiljewna Kowalewskaja] demostró que no podían existir otros tops solucionables. Había encontrado el último.
4. Kovalevskaya, Sofia (1889), "Sur le problème de la rotación d'un corps solide autour d'un point fixe", Acta Mathematica (en francés), 12 : 177–232
5. Perelemov, AM (2002). Teoret. Mat. Fiz. , Volumen 131, Número 2, págs. 197–205. (en francés)
6. Herbert Goldstein , Charles P. Poole y John L. Safko (2002). Mecánica clásica (3.ª edición), Addison-Wesley. ISBN 9780201657029 . 
7. Cushman, RH; Bates, LM (1997), "El top de Lagrange", Aspectos globales de los sistemas integrables clásicos , Basilea: Birkhäuser, págs. 187-270, doi :10.1007/978-3-0348-8891-2_5, ISBN 978-3-0348-9817-1.
8. Goryachev, D. (1900). "Sobre el movimiento de un cuerpo material rígido alrededor de un punto fijo en el caso A = B = C", Mat. Sb. , 21. (en ruso) . Citado en Bechlivanidis & van Moerbek (1987) y Hazewinkel (2012).
9. Chaplygin, SA (1948). "Un nuevo caso de rotación de un cuerpo rígido, apoyado en un punto", Obras completas , vol. I, págs. 118-124. Moscú: Gostekhizdat. (en ruso) . Citado en Bechlivanidis & van Moerbek (1987) y Hazewinkel (2012).
10. Bechlivanidis, C.; van Moerbek, P. (1987), "El trompo de Goryachev–Chaplygin y la red de Toda", Communications in Mathematical Physics , 110 (2): 317–324, Bibcode :1987CMaPh.110..317B, doi :10.1007/BF01207371, S2CID  119927045
11. Hazewinkel, Michiel; ed. (2012). Enciclopedia de Matemáticas , págs. 271-2. Saltador. ISBN 9789401512886 . 

Enlaces externos

• Cima de Kovalevskaya: del libro El mundo de la física de Eric Weisstein
• Cima de Kovalevskaya