Modelo Gaudin

Modelo físico en mecánica estadística

En física , el modelo de Gaudin , a veces conocido como modelo cuántico de Gaudin, es un modelo, o una gran clase de modelos, en mecánica estadística descritos por primera vez en su caso más simple por Michel Gaudin . ^[1] Son modelos exactamente solucionables y también son ejemplos de cadenas de espín cuánticas .

Historia

El caso más simple fue descrito por primera vez por Michel Gaudin en 1976, ^[1] con el álgebra de Lie asociada tomada como , el grupo lineal especial bidimensional . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Formulación matemática

Sea un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d}$

Sea un entero positivo. En el plano complejo , elijamos distintos puntos, . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle z_{i}}$

Denotemos por la representación irreducible de dimensión finita de correspondiente al elemento integral dominante . Sea un conjunto de pesos integrales dominantes de . Definamos el producto tensorial . ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\lambda }}):=(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V_{({\boldsymbol {\lambda }})}:=V_{\lambda _{1}}\otimes \cdots \otimes V_{\lambda _{N}}}$

El modelo se especifica entonces mediante un conjunto de operadores que actúan sobre , conocidos como hamiltonianos de Gaudin . ^[2] Se describen a continuación. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle V_{({\boldsymbol {\lambda }})}}$

Denotemos por el producto escalar invariante en (que a menudo se toma como la forma de Killing ). Sea una base de y sea la base dual dada a través del producto escalar. Para un elemento , denotemos por el operador que actúa como en el factor n de y como identidad en los otros factores. Entonces ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{I_{a}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{I^{a}\}}$ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A^{(i)}}$ ${\displaystyle 1\otimes \cdots \otimes A\otimes \cdots \otimes 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{({\boldsymbol {\lambda }})}}$

$${\displaystyle H_{i}=\sum _{j\neq i}\sum _{a=1}^{d}{\frac {I_{a}^{(i)}I^{a(j)}}{z_{i}-z_{j}}}.}$$

Estos operadores conmutan entre sí. Un problema de interés en la teoría de los modelos de Gaudin es encontrar vectores y valores propios simultáneos de estos operadores.

En lugar de trabajar con los múltiples hamiltonianos de Gaudin, existe otro operador , a veces denominado hamiltoniano de Gaudin . Depende de un parámetro complejo , y también del Casimir cuadrático , que es un elemento del álgebra envolvente universal , definida como Esto actúa sobre las representaciones multiplicando por un número dependiente de la representación, denotado . Esto a veces se denomina el índice de la representación. El hamiltoniano de Gaudin se define entonces La conmutatividad de para diferentes valores de se deduce de la conmutatividad de . ${\displaystyle S(u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ $${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}\sum _{a=1}^{d}I_{a}I^{a}.}$$ ${\displaystyle V_{({\boldsymbol {\lambda }})}}$ ${\displaystyle \Delta (\lambda )}$ $${\displaystyle S(u)=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {H_{i}}{u-z_{i}}}+{\frac {\Delta (\lambda _{i})}{(u-z_{i})^{2}}}\right].}$$ ${\displaystyle S(u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{i}}$

Hamiltonianos de Gaudin superiores

Cuando tiene un rango mayor que 1, el álgebra conmutativa abarcada por los hamiltonianos de Gaudin y la identidad se puede expandir a un álgebra conmutativa más grande, conocida como el álgebra de Gaudin . De manera similar al isomorfismo de Harish-Chandra , estos elementos conmutativos tienen grados asociados y, en particular, los hamiltonianos de Gaudin forman la parte de grado 2 del álgebra. Para , los hamiltonianos de Gaudin y la identidad abarcan el álgebra de Gaudin. Hay otra álgebra conmutativa que es "universal", subyacente al álgebra de Gaudin para cualquier elección de sitios y pesos, llamada el centro de Feigin-Frenkel. Ver aquí . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$

Entonces, los vectores propios del álgebra de Gaudin definen funcionales lineales en el álgebra. Si es un elemento del álgebra de Gaudin y un vector propio del álgebra de Gaudin, se obtiene un funcional lineal dado por El funcional lineal se denomina carácter del álgebra de Gaudin. El problema espectral , es decir, determinar valores propios y vectores propios simultáneos del álgebra de Gaudin, se convierte entonces en una cuestión de determinar caracteres en el álgebra de Gaudin. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \chi _{v}:{\mathfrak {G}}\rightarrow \mathbb {C} }$ $${\displaystyle Xv=\chi _{v}(X)v.}$$ ${\displaystyle \chi _{v}}$

Soluciones

La solución de un modelo de Gaudin suele consistir en determinar el espectro del hamiltoniano o de los hamiltonianos de Gaudin. Existen varios métodos de solución, entre ellos:

• Ansatz algebraico de Bethe , utilizado por Gaudin
• Separación de variables, utilizada por Sklyanin ^[3]
• Funciones de correlación / operaciones , utilizando un método descrito por Feigin , Frenkel y Reshetikhin . ^[2]

Ensayo algebraico de Bethe

Para sl₂

Para , sea la base estándar. Para cualquier , se puede definir la función meromórfica con valor de operador. Su residuo en es , mientras que la representación tensorial 'completa'. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \{E,H,F\}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle X(z)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {X^{(i)}}{z-z_{i}}}.}$$ ${\displaystyle z=z_{i}}$ ${\displaystyle X^{(i)}}$ ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }zX(z)=\sum _{i=1}^{N}X^{(i)}=:X^{(\infty )},}$

Los y satisfacen varias propiedades útiles ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle X^{(\infty )}}$

• ${\displaystyle [X(z),Y^{(\infty )}]=[X,Y](z)}$
• ${\displaystyle S(u)={\frac {1}{2}}\sum _{a}I_{a}(z)I^{a}(z)}$
• ${\displaystyle [H_{i},X^{(\infty )}]=0}$

pero no forman una representación: . La tercera propiedad es útil ya que nos permite también diagonalizar con respecto a , para el cual se conoce una base diagonal (pero degenerada). ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle [X(z),Y(z)]=-[X,Y]'(z)}$ ${\displaystyle H^{\infty }}$

Para un modelo de Gaudin especificado por sitios y pesos , defina el vector de vacío como el producto tensorial de los estados de mayor peso de cada representación: . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{N}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle v_{0}:=v_{\lambda _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\lambda _{N}}}$

Un vector de Bethe (de desviación de espín ) es un vector de la forma para . Suponiendo que los vectores propios de la forma de los vectores de Bethe son el ansatz de Bethe . Se puede demostrar que un vector de Bethe es un vector propio de los hamiltonianos de Gaudin si el conjunto de ecuaciones se cumple para cada uno entre 1 y . Estas son las ecuaciones de ansatz de Bethe para la desviación de espín . Para , esto se reduce a ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle F(w_{1})\cdots F(w_{m})v_{0}}$$ ${\displaystyle w_{i}\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {\lambda _{i}}{w_{k}-z_{i}}}-2\sum _{j\neq k}{\frac {1}{w_{k}-w_{j}}}=0}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=1}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}(w):=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\lambda _{i}}{w-z_{i}}}=0.}$$

Lo completo

En teoría, las ecuaciones de Bethe Ansatz se pueden resolver para obtener los vectores y valores propios del hamiltoniano de Gaudin. En la práctica, si las ecuaciones deben resolver por completo el problema espectral, también se debe comprobar

• El número de soluciones predichas por las ecuaciones de Bethe
• La multiplicidad de soluciones

Si, para una configuración específica de sitios y pesos, el modelo de Bethe genera todos los vectores propios, entonces se dice que está completo para esa configuración del modelo de Gaudin. Es posible construir ejemplos de modelos de Gaudin que estén incompletos. Un problema en la teoría de los modelos de Gaudin es entonces determinar cuándo una configuración dada está completa o no, o al menos caracterizar el "espacio de modelos" para el cual el modelo de Bethe está completo.

Para , en posición general se sabe que el ansatz de Bethe es completo. ^[4] Incluso cuando el ansatz de Bethe no es completo, en este caso se debe a que la multiplicidad de una raíz es mayor que uno en las ecuaciones del ansatz de Bethe, y es posible encontrar una base completa definiendo vectores de Bethe generalizados. ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

Por el contrario, para , existen configuraciones específicas para las cuales la completitud falla debido a que las ecuaciones de Bethe ansatz no tienen soluciones. ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{3}}$

Para g simple complejo general

Se pueden derivar análogos de la ecuación de Bethe ansatz para álgebras de Lie de rango superior. ^[2] Sin embargo, estos son mucho más difíciles de derivar y resolver que el caso. Además, para de rango mayor que 1, es decir, todos los demás además de , existen hamiltonianos de Gaudin superiores, para los cuales se desconoce cómo generalizar el Bethe ansatz. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Isomorfismo EDO/IM

Existe un isomorfismo EDO/IM entre el álgebra de Gaudin (o el centro universal de Feigin-Frenkel), que son las 'integrales de movimiento' para la teoría, y opers, que son operadores diferenciales ordinarios, en este caso en . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Generalizaciones

Existen generalizaciones que surgen de la atenuación de la restricción de ser un álgebra de Lie estrictamente semisimple. Por ejemplo, cuando se permite que sea un álgebra de Lie afín , el modelo se denomina modelo afín de Gaudin. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Otra forma de generalizar es elegir un automorfismo preferido de un álgebra de Lie en particular . A continuación, se pueden definir hamiltonianos que se transforman de forma adecuada bajo la acción del automorfismo. Una clase de estos modelos son los modelos ciclotómicos de Gaudin. ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

También existe el concepto de modelo clásico de Gaudin . Históricamente, el modelo cuántico de Gaudin se definió y se estudió primero, a diferencia de la mayoría de los sistemas físicos. Ciertas teorías clásicas de campos integrables pueden considerarse modelos clásicos afines de Gaudin diédricos. Por lo tanto, comprender los modelos cuánticos afines de Gaudin puede permitir comprender la estructura integrable de las teorías cuánticas de campos integrables.

Estas teorías de campo clásicas incluyen el modelo quiral principal , los modelos coset sigma y la teoría de campo afín de Toda . ^[8]

Referencias

1. Gaudin, Michel (1976). "Diagonalización de una clase de hamiltoniens de spin". Revista de físico . 37 (10): 1087–1098. doi :10.1051/jphys:0197600370100108700 . Consultado el 26 de septiembre de 2022 .
2. Feigin, Boris; Frenkel, Eduardo; Reshetikhin, Nikolai (3 de abril de 1994). "Modelo Gaudin, Bethe Ansatz y nivel crítico". Comunitario. Matemáticas. Física . 166 (1): 27–62. arXiv : hep-th/9402022 . Código Bib : 1994CMaPh.166...27F. doi :10.1007/BF02099300. S2CID  17099900.
3. Sklyanin, Evgeny (octubre de 1989). "Separación de variables en el modelo de Gaudin". Revista de Matemáticas Soviéticas . 47 (2): 2473–2488. doi : 10.1007/BF01840429 . S2CID  120267573.
4. Scherbak, I.; Varchenko, A. (2003). "Puntos críticos de funciones, representaciones sl2 y ecuaciones diferenciales fuchsianas con solo soluciones univaluadas". Revista Matemática de Moscú . 3 (2): 621–645. doi :10.17323/1609-4514-2003-3-2-621-645 . Consultado el 13 de noviembre de 2023 .
5. Frenkel, Edward (2005). "Gaudin Model and Opers". Álgebras de dimensión infinita y sistemas integrables cuánticos . Birkhäuser: 1–58. doi :10.1007/3-7643-7341-5_1 . Consultado el 13 de noviembre de 2023 .
6. Mukhin, E.; Varchenko, A. (2007). «Múltiples polinomios ortogonales y un contraejemplo de la conjetura de Gaudin Bethe Ansatz». Transactions of the American Mathematical Society . 359 (11): 5383–5418. ISSN  0002-9947 . Consultado el 13 de noviembre de 2023 .
7. Vicedo, Benoît; Young, Charles (1 de mayo de 2016). "Modelos ciclotómicos de Gaudin: construcción y Bethe Ansatz". Communications in Mathematical Physics . 343 (3): 971–1024. arXiv : 1409.6937 . Código Bibliográfico :2016CMaPh.343..971V. doi :10.1007/s00220-016-2601-3. S2CID  253748577.
8. Vicedo, Benoit (2017). "Sobre teorías de campos integrables como modelos diédricos afines de Gaudin". arXiv : 1701.04856 [hep-th].

Enlaces externos

• Modelo integrable de Gaudin en nLab
• Frenkel, Edward (25 de julio de 2023). "Challenge Talk 2 - Feynman's Last Blackboard: From Bethe Ansatz to Langlands Duality". Archivo de seminarios grabados del Perimeter Institute (pirsa.org) . doi :10.48660/23070020.(Ver 8:40 a 15:14 en el video.)