Solución fluida

Clase de soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein.

En la relatividad general , una solución fluida es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que el campo gravitacional es producido enteramente por la masa, el momento y la densidad de tensiones de un fluido .

En astrofísica se emplean a menudo soluciones fluidas como modelos estelares . (Podría ser útil pensar en un gas perfecto como un caso especial de un fluido perfecto). En cosmología , las soluciones fluidas se utilizan a menudo como modelos cosmológicos .

Definición matemática

El tensor tensión-energía de un fluido relativista se puede escribir en la forma ^[1]

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b}+q^{a}\,u^{b}\right)+\pi ^{ab}}$

Aquí

• las líneas mundiales de los elementos fluidos son las curvas integrales del vector velocidad , ${\displaystyle u^{a}}$
• el tensor de proyección proyecta otros tensores sobre elementos de hiperplano ortogonales a , ${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}}$ ${\displaystyle u^{a}}$
• la densidad de la materia está dada por la función escalar , ${\displaystyle \mu }$
• la presión está dada por la función escalar , ${\displaystyle p}$
• el vector de flujo de calor está dado por , ${\displaystyle q^{a}}$
• el tensor de corte viscoso viene dado por . ${\displaystyle \pi ^{ab}}$

El vector de flujo de calor y el tensor de corte viscoso son transversales a las líneas mundiales, en el sentido de que

${\displaystyle q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi _{ab}\,u^{b}=0}$

Esto significa que son efectivamente cantidades tridimensionales y, dado que el tensor de tensión viscosa es simétrico y no tiene trazas , tienen respectivamente tres y cinco componentes linealmente independientes . Junto con la densidad y la presión, esto hace un total de 10 componentes linealmente independientes, que es el número de componentes linealmente independientes en un tensor simétrico de rango dos de cuatro dimensiones.

Casos especiales

Son dignos de mención varios casos especiales de soluciones fluidas (aquí la velocidad de la luz c  = 1):

• Un fluido perfecto tiene un corte viscoso evanescente y un flujo de calor evanescente:

${\displaystyle T^{ab}=(\mu +p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},}$

• Un polvo es un fluido perfecto sin presión:

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b},}$

• Un fluido de radiación es un fluido perfecto con : ${\displaystyle \mu =3p}$

${\displaystyle T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).}$

Los dos últimos se utilizan a menudo como modelos cosmológicos para épocas (respectivamente) dominadas por la materia y dominadas por la radiación . Observe que, si bien en general se requieren diez funciones para especificar un fluido, un fluido perfecto requiere solo dos, y los polvos y los fluidos de radiación requieren cada uno solo una función. Es mucho más fácil encontrar tales soluciones que encontrar una solución fluida general.

Entre los fluidos perfectos distintos del polvo o los fluidos de radiación, el caso especial más importante con diferencia es el de las soluciones de fluidos perfectos, estáticos y esféricamente simétricos . Estos siempre se pueden combinar con una aspiradora Schwarzschild en una superficie esférica, por lo que pueden usarse como soluciones interiores en un modelo estelar. En tales modelos, la esfera donde el interior del fluido coincide con el exterior del vacío es la superficie de la estrella, y la presión debe desaparecer en el límite a medida que se acerca el radio . Sin embargo, la densidad puede ser distinta de cero en el límite inferior, mientras que, por supuesto, es cero en el límite superior. En los últimos años se han dado varios esquemas sorprendentemente simples para obtener todas estas soluciones. ${\displaystyle r=r[0]}$ ${\displaystyle r_{0}}$

tensor de einstein

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de marco en lugar de la base de coordenadas a menudo se denominan componentes físicos , porque estos son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso especial de un fluido perfecto , un marco adaptado

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(el primero es un campo vectorial unitario temporal , los últimos tres son campos vectoriales unitarios espaciales ) siempre se puede encontrar en el que el tensor de Einstein toma la forma simple

${\displaystyle G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi \,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

donde es la densidad de energía y es la presión del fluido. Aquí, el campo vectorial unitario temporal es en todas partes tangente a las líneas mundiales de los observadores que se mueven con los elementos fluidos, por lo que la densidad y la presión que acabamos de mencionar son las medidas por observadores en movimiento. Estas son las mismas cantidades que aparecen en la expresión de base de coordenadas general dada en la sección anterior; para ver esto, solo pon . A partir de la forma de los componentes físicos, es fácil ver que el grupo de isotropía de cualquier fluido perfecto es isomorfo al grupo de Lie tridimensional SO(3), el grupo de rotación ordinario. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

El hecho de que estos resultados sean exactamente los mismos para el espacio-tiempo curvo que para la hidrodinámica en el espacio-tiempo plano de Minkowski es una expresión del principio de equivalencia .

Valores propios

El polinomio característico del tensor de Einstein en un fluido perfecto debe tener la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}}$

donde están nuevamente la densidad y la presión del fluido medidas por observadores que se mueven con los elementos fluidos. (Observe que estas cantidades pueden variar dentro del fluido). Al escribir esto y aplicar los métodos de base de Gröbner para simplificar las relaciones algebraicas resultantes, encontramos que los coeficientes de la característica deben satisfacer las siguientes dos condiciones algebraicamente independientes (e invariantes): ${\displaystyle \mu ,\,p}$

${\displaystyle 12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0}$

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0}$

Pero según las identidades de Newton , las trazas de las potencias del tensor de Einstein se relacionan con estos coeficientes de la siguiente manera:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_{4}}$

entonces podemos reescribir las dos cantidades anteriores completamente en términos de las trazas de las potencias. Obviamente, estos son invariantes escalares y deben desaparecer de manera idéntica en el caso de una solución fluida perfecta:

${\displaystyle t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2}t_{3}=0}$

${\displaystyle t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0}$

Tenga en cuenta que esto no supone nada acerca de cualquier posible ecuación de estado que relacione la presión y la densidad del fluido; sólo asumimos que tenemos un valor propio simple y uno triple.

En el caso de una solución de polvo (presión de fuga), estas condiciones se simplifican considerablemente:

${\displaystyle a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0}$

o

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

En notación de gimnasia tensor, esto se puede escribir usando el escalar de Ricci como:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=-R^{4}}$

En el caso de un fluido de radiación, los criterios son

${\displaystyle a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^{2}=0}$

o

${\displaystyle t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{2}^{2}=0}$

Al utilizar estos criterios, se debe tener cuidado de garantizar que el valor propio más grande pertenezca a un vector propio de tipo temporal , ya que existen variedades de Lorentz , que satisfacen este criterio de valor propio, en las que el valor propio grande pertenece a un vector propio de tipo espacial , y estos no pueden representar fluidos de radiación.

Los coeficientes de la característica a menudo parecerán muy complicados y las trazas no son mucho mejores; Cuando se buscan soluciones, casi siempre es mejor calcular los componentes del tensor de Einstein con respecto a un marco adecuadamente adaptado y luego eliminar directamente las combinaciones apropiadas de componentes. Sin embargo, cuando no es evidente un marco adaptado, estos criterios de valores propios a veces pueden resultar útiles, especialmente cuando se emplean junto con otras consideraciones.

Estos criterios a menudo pueden ser útiles para realizar comprobaciones puntuales de supuestas soluciones fluidas perfectas, en cuyo caso los coeficientes de la característica suelen ser mucho más simples de lo que serían para un fluido imperfecto más simple.

Ejemplos

Las soluciones de polvo individuales dignas de mención se enumeran en el artículo sobre soluciones de polvo . Entre las soluciones de fluidos perfectos dignas de mención que presentan presión positiva se incluyen varios modelos de fluidos de radiación de la cosmología, incluidos

• Fluidos de radiación FRW , a menudo denominados modelos FRW dominados por la radiación .

Además de la familia de fluidos estáticos esféricamente simétricos perfectos, las soluciones de fluidos rotativos notables incluyen

• El fluido de Wahlquist , que tiene simetrías similares al vacío de Kerr , generó esperanzas iniciales (desaparecidas) de que podría proporcionar la solución interior para un modelo simple de una estrella en rotación.

Ver también

• Portal de física

• Solución de polvo , para el importante caso especial de soluciones de polvo,
• Soluciones exactas en relatividad general , para soluciones exactas en general,
• grupo lorentz
• Fluido perfecto , para fluidos perfectos en física en general,
• Discos relativistas , para la interpretación de discos relativistas en términos de fluidos perfectos.

Referencias

1. Eckart, Carl (1940). "La Termodinámica de Procesos Irreversibles III. Teoría Relativista del Fluido Simple". Física. Rdo . 58 (10): 919. Código bibliográfico : 1940PhRv...58..919E. doi : 10.1103/PhysRev.58.919.

• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7. Da muchos ejemplos de soluciones exactas y perfectas de fluidos y polvo.
• Stephani, Hans (1996). Relatividad general (segunda ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-37941-5.. Véase el Capítulo 8 para una discusión sobre fluidos relativistas y termodinámica.
• Delgaty, MSR; Lago, Kayll (1998). "Aceptabilidad física de soluciones fluidas perfectas, estáticas, esféricamente simétricas y aisladas de las ecuaciones de Einstein". Computadora. Física. Comunitario . 115 (2–3): 395–415. arXiv : gr-qc/9809013 . Código Bib : 1998CoPhC.115..395D. doi :10.1016/S0010-4655(98)00130-1. S2CID  17957408.. Este artículo de revisión analiza soluciones de fluidos estáticos esféricamente simétricos conocidos hasta aproximadamente 1995.
• Lago, Kayll (2003). "Todas las soluciones fluidas perfectas, estáticas y esféricamente simétricas de las ecuaciones de Einstein". Física. Rev. D. 67 (10): 104015. arXiv : gr-qc/0209104 . Código Bib : 2003PhRvD..67j4015L. doi : 10.1103/PhysRevD.67.104015. S2CID  119447644.. Este artículo describe uno de varios esquemas encontrados recientemente para obtener todas las soluciones estáticas de fluidos perfectos esféricamente simétricos en la relatividad general.