Sistema no lineal

Sistema donde los cambios en la producción no son proporcionales a los cambios en los insumos.

En matemáticas y ciencias , un sistema no lineal (o sistema no lineal ) es un sistema en el que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada. ^{[1] [2]} Los problemas no lineales son de interés para ingenieros , biólogos , ^{[3] [4] [5]} físicos , ^{[6] [7]} matemáticos y muchos otros científicos , ya que la mayoría de los sistemas son inherentemente de naturaleza no lineal. ^[8] Los sistemas dinámicos no lineales , que describen cambios en las variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contrarios a la intuición, en contraste con sistemas lineales mucho más simples .

Normalmente, el comportamiento de un sistema no lineal se describe en matemáticas mediante un sistema de ecuaciones no lineal , que es un conjunto de ecuaciones simultáneas en las que las incógnitas (o las funciones desconocidas en el caso de ecuaciones diferenciales ) aparecen como variables de un polinomio de grado. mayor que uno o en el argumento de una función que no es un polinomio de grado uno. En otras palabras, en un sistema de ecuaciones no lineal, la ecuación a resolver no se puede escribir como una combinación lineal de las variables o funciones desconocidas que aparecen en ellas. Los sistemas se pueden definir como no lineales, independientemente de si en las ecuaciones aparecen funciones lineales conocidas. En particular, una ecuación diferencial es lineal si lo es en términos de la función desconocida y sus derivadas, incluso si no es lineal en términos de las otras variables que aparecen en ella.

Como las ecuaciones dinámicas no lineales son difíciles de resolver, los sistemas no lineales comúnmente se aproximan mediante ecuaciones lineales ( linealización ). Esto funciona bien con cierta precisión y cierto rango para los valores de entrada, pero algunos fenómenos interesantes como los solitones , el caos , ^[9] y las singularidades quedan ocultos por la linealización. De ello se deduce que algunos aspectos del comportamiento dinámico de un sistema no lineal pueden parecer contrarios a la intuición, impredecibles o incluso caóticos. Aunque tal comportamiento caótico puede parecerse a un comportamiento aleatorio , en realidad no lo es. Por ejemplo, algunos aspectos del clima se consideran caóticos, donde cambios simples en una parte del sistema producen efectos complejos en todas partes. Esta no linealidad es una de las razones por las que con la tecnología actual es imposible hacer pronósticos precisos a largo plazo.

Algunos autores utilizan el término ciencia no lineal para el estudio de sistemas no lineales. Este término es cuestionado por otros:

Usar un término como ciencia no lineal es como referirse a la mayor parte de la zoología como el estudio de animales no elefantes.

—  Estanislao Ulam ^[10]

Definición

En matemáticas , una aplicación lineal (o función lineal ) es aquella que satisface las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle f(x)}$

• Principio de aditividad o superposición : ${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• Homogeneidad: ${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

La aditividad implica homogeneidad para cualquier α racional y, para funciones continuas , para cualquier α real . Para un complejo α , la homogeneidad no se deriva de la aditividad. Por ejemplo, un mapa antilineal es aditivo pero no homogéneo. Las condiciones de aditividad y homogeneidad a menudo se combinan en el principio de superposición.

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$

Una ecuación escrita como

${\displaystyle f(x)=C}$

se llama lineal si es un mapa lineal (como se define anteriormente) y no lineal en caso contrario. La ecuación se llama homogénea si y es una función homogénea . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle f(x)}$

La definición es muy general en el sentido de que puede ser cualquier objeto matemático sensible (número, vector, función, etc.) y la función puede ser literalmente cualquier mapeo , incluida la integración o diferenciación con restricciones asociadas (como valores límite ). Si contiene diferenciación con respecto a , el resultado será una ecuación diferencial . ${\displaystyle f(x)=C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Ecuaciones de sistemas no lineales

Un sistema de ecuaciones no lineal consiste en un conjunto de ecuaciones en varias variables tales que al final una de ellas no es una ecuación lineal .

Para una sola ecuación de la forma se han diseñado muchos métodos; consulte Algoritmo de búsqueda de raíces . En el caso en que f es un polinomio , se tiene una ecuación polinómica como la Los algoritmos generales de búsqueda de raíces se aplican a las raíces polinómicas, pero, por lo general, no encuentran todas las raíces, y cuando no logran encontrar una raíz, esto no Implica que no hay raíces. Los métodos específicos para polinomios permiten encontrar todas las raíces o las raíces reales ; consulte aislamiento de raíz real . ${\displaystyle f(x)=0,}$ ${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

Resolver sistemas de ecuaciones polinomiales , es decir encontrar los ceros comunes de un conjunto de varios polinomios en varias variables, es un problema difícil para el que se han diseñado algoritmos elaborados, como los algoritmos base de Gröbner . ^[11]

Para el caso general de sistema de ecuaciones formado por igualar a cero varias funciones diferenciables , el método principal es el método de Newton y sus variantes. Generalmente pueden proporcionar una solución, pero no proporcionan ninguna información sobre la cantidad de soluciones.

Relaciones de recurrencia no lineales

Una relación de recurrencia no lineal define los términos sucesivos de una secuencia como una función no lineal de los términos precedentes. Ejemplos de relaciones de recurrencia no lineales son el mapa logístico y las relaciones que definen las diversas secuencias de Hofstadter . Los modelos discretos no lineales que representan una amplia clase de relaciones de recurrencia no lineal incluyen el modelo NARMAX (Promedio móvil autorregresivo no lineal con entradas exógenas) y los procedimientos de análisis e identificación de sistemas no lineales relacionados . ^[12] Estos enfoques se pueden utilizar para estudiar una amplia clase de comportamientos no lineales complejos en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal.

Ecuaciones diferenciales no lineales

Un sistema de ecuaciones diferenciales se dice que es no lineal si no es un sistema de ecuaciones lineales . Los problemas que involucran ecuaciones diferenciales no lineales son extremadamente diversos y los métodos de solución o análisis dependen del problema. Ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales son las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos y las ecuaciones de Lotka-Volterra en biología.

Una de las mayores dificultades de los problemas no lineales es que generalmente no es posible combinar soluciones conocidas en soluciones nuevas. En problemas lineales, por ejemplo, se puede utilizar una familia de soluciones linealmente independientes para construir soluciones generales mediante el principio de superposición . Un buen ejemplo de esto es el transporte de calor unidimensional con condiciones de contorno de Dirichlet , cuya solución se puede escribir como una combinación lineal dependiente del tiempo de sinusoides de diferentes frecuencias; esto hace que las soluciones sean muy flexibles. A menudo es posible encontrar varias soluciones muy específicas a ecuaciones no lineales; sin embargo, la falta de un principio de superposición impide la construcción de nuevas soluciones.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden suelen tener solución exacta mediante la separación de variables , especialmente en el caso de ecuaciones autónomas. Por ejemplo, la ecuación no lineal

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

tiene como solución general (y también la solución especial correspondiente al límite de la solución general cuando C tiende a infinito). La ecuación es no lineal porque puede escribirse como ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$ ${\displaystyle u=0,}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

y el lado izquierdo de la ecuación no es una función lineal de y sus derivadas. Tenga en cuenta que si el término fuera reemplazado por , el problema sería lineal (el problema de decaimiento exponencial ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle u}$

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo y orden superior (más generalmente, sistemas de ecuaciones no lineales) rara vez producen soluciones de forma cerrada , aunque se encuentran soluciones implícitas y soluciones que involucran integrales no elementales .

Los métodos comunes para el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales incluyen:

• Examen de cualquier cantidad conservada , especialmente en sistemas hamiltonianos.
• Examen de cantidades disipativas (ver función de Lyapunov ) análogas a cantidades conservadas
• Linealización mediante expansión de Taylor
• Cambio de variables en algo más fácil de estudiar.
• Teoría de la bifurcación
• Métodos de perturbación (también se pueden aplicar a ecuaciones algebraicas)
• Existencia de soluciones de Duración Finita, ^[13] que pueden ocurrir bajo condiciones específicas para algunas ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.

Ecuaciones diferenciales parciales

El enfoque básico más común para estudiar ecuaciones diferenciales parciales no lineales es cambiar las variables (o transformar el problema) para que el problema resultante sea más simple (posiblemente lineal). A veces, la ecuación se puede transformar en una o más ecuaciones diferenciales ordinarias , como se ve en la separación de variables , lo que siempre es útil independientemente de que las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes se puedan resolver o no.

Otra táctica común (aunque menos matemática), a menudo explotada en mecánica de fluidos y calor, es utilizar el análisis de escala para simplificar una ecuación general y natural en un determinado problema de valor límite específico . Por ejemplo, las (muy) ecuaciones no lineales de Navier-Stokes se pueden simplificar en una ecuación diferencial parcial lineal en el caso de un flujo unidimensional, laminar y transitorio en una tubería circular; el análisis de escala proporciona condiciones bajo las cuales el flujo es laminar y unidimensional y también produce la ecuación simplificada.

Otros métodos incluyen examinar las características y utilizar los métodos descritos anteriormente para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Péndula

Ilustración de un péndulo

Linealizaciones de un péndulo

Un problema no lineal clásico y ampliamente estudiado es la dinámica de un péndulo sin fricción bajo la influencia de la gravedad . Utilizando la mecánica lagrangiana , se puede demostrar ^[14] que el movimiento de un péndulo puede describirse mediante la ecuación no lineal adimensional

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

donde la gravedad apunta "hacia abajo" y es el ángulo que forma el péndulo con su posición de reposo, como se muestra en la figura de la derecha. Una forma de "resolver" esta ecuación es utilizarla como factor integrante , lo que eventualmente produciría ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta /dt}$

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

que es una solución implícita que involucra una integral elíptica . Esta "solución" generalmente no tiene muchos usos porque la mayor parte de la naturaleza de la solución está oculta en la integral no elemental (no elemental a menos que ). ${\displaystyle C_{0}=2}$

Otra forma de abordar el problema es linealizar cualquier no linealidad (el término de la función seno en este caso) en los distintos puntos de interés mediante expansiones de Taylor . Por ejemplo, la linealización en , llamada aproximación de ángulo pequeño, es ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

desde hace . Este es un oscilador armónico simple que corresponde a las oscilaciones del péndulo cerca del final de su trayectoria. Otra linealización sería en , correspondiente a que el péndulo esté hacia arriba: ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ ${\displaystyle \theta \approx 0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

desde hace . La solución a este problema involucra sinusoides hiperbólicas y tenga en cuenta que, a diferencia de la aproximación de ángulo pequeño, esta aproximación es inestable, lo que significa que generalmente crecerá sin límite, aunque son posibles soluciones acotadas. Esto corresponde a la dificultad de equilibrar un péndulo en posición vertical, es literalmente un estado inestable. ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$ ${\displaystyle \theta \approx \pi }$ ${\displaystyle |\theta |}$

Es posible una linealización más interesante alrededor de la cual : ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

Esto corresponde a un problema de caída libre. Se puede obtener una imagen cualitativa muy útil de la dinámica del péndulo juntando dichas linealizaciones, como se ve en la figura de la derecha. Se pueden utilizar otras técnicas para encontrar retratos de fase (exactos) y períodos aproximados.

Tipos de comportamientos dinámicos no lineales

• Muerte de amplitud : cualquier oscilación presente en el sistema cesa debido a algún tipo de interacción con otro sistema o retroalimentación del mismo sistema.
• Caos : los valores de un sistema no se pueden predecir indefinidamente en un futuro lejano y las fluctuaciones son aperiódicas.
• Multiestabilidad : la presencia de dos o más estados estables.
• Solitones : ondas solitarias que se refuerzan a sí mismas
• Ciclos límite : órbitas periódicas asintóticas hacia las que se atraen puntos fijos desestabilizados.
• Autooscilaciones : oscilaciones de retroalimentación que tienen lugar en sistemas físicos disipativos abiertos.

Ejemplos de ecuaciones no lineales

• Ecuación algebraica de Riccati
• Sistema de bolas y vigas
• Ecuación de Bellman para una política óptima
• ecuación de Boltzmann
• Ecuación de Colebrook
• Relatividad general
• Teoría de Ginzburg-Landau
• ecuación de ishimori
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• Ecuación de Korteweg-de Vries
• Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
• ecuación de liénard
• Ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes
• Óptica no lineal
• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Estudio de flujo de energía
• Ecuación de Richards para flujo de agua no saturada
• monociclo autoequilibrado
• Ecuación seno-Gordon
• Oscilador de Van der Pol
• ecuación de vlasov

Ver también

• Aleksandr Mijáilovich Liapunov
• sistema dinámico
• Comentario
• Condición inicial
• sistema lineal
• Acoplamiento de modo
• Solitón vectorial
• serie volterra

Referencias

1. "Explicado: sistemas lineales y no lineales". Noticias del MIT . Consultado el 30 de junio de 2018 .
2. "Sistemas no lineales, Matemáticas Aplicadas - Universidad de Birmingham". www.birmingham.ac.uk . Consultado el 30 de junio de 2018 .
3. "Biología no lineal", El universo no lineal , The Frontiers Collection, Springer Berlin Heidelberg, 2007, págs. 181–276, doi :10.1007/978-3-540-34153-6_7, ISBN 9783540341529
4. Korenberg, Michael J.; Hunter, Ian W. (marzo de 1996). "La identificación de sistemas biológicos no lineales: enfoques del núcleo de Volterra". Anales de Ingeniería Biomédica . 24 (2): 250–268. doi :10.1007/bf02667354. ISSN  0090-6964. PMID  8678357. S2CID  20643206.
5. Mosconi, Francisco; Julou, Thomas; Desprat, Nicolás; Sinha, Deepak Kumar; Allemand, Jean-François; Vicente Croqueta; Bensimon, David (2008). "Algunos desafíos no lineales en biología". No linealidad . 21 (8): T131. Código Bib : 2008Nonli..21..131M. doi :10.1088/0951-7715/21/8/T03. ISSN  0951-7715. S2CID  119808230.
6. Gintautas, V. (2008). "Forzamiento resonante de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales". Caos . 18 (3): 033118. arXiv : 0803.2252 . Código Bib :2008Caos..18c3118G. doi :10.1063/1.2964200. PMID  19045456. S2CID  18345817.
7. Stephenson, C.; et., al. (2017). "Propiedades topológicas de una red eléctrica autoensamblada mediante cálculo ab initio". Ciencia. Representante . 7 : 41621. Código Bib : 2017NatSR...741621S. doi :10.1038/srep41621. PMC 5290745 . PMID  28155863. 
8. de Canete, Javier, Cipriano Galindo e Inmaculada García-Moral (2011). Ingeniería de sistemas y automatización: un enfoque educativo interactivo. Berlín: Springer. pag. 46.ISBN​ 978-3642202292. Consultado el 20 de enero de 2018 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Dinámica no lineal I: Caos Archivado el 12 de febrero de 2008 en Wayback Machine en OpenCourseWare del MIT
10. Campbell, David K. (25 de noviembre de 2004). "Física no lineal: un nuevo respiro". Naturaleza . 432 (7016): 455–456. Código Bib :2004Natur.432..455C. doi :10.1038/432455a. ISSN  0028-0836. PMID  15565139. S2CID  4403332.
11. Lazard, D. (2009). "Treinta años de resolución de sistemas polinomiales, ¿y ahora?". Revista de Computación Simbólica . 44 (3): 222–231. doi : 10.1016/j.jsc.2008.03.004 .
12. Billings SA "Identificación de sistemas no lineales: métodos NARMAX en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal". wiley, 2013
13. Vardia T. Haimo (1985). "Ecuaciones diferenciales de tiempo finito". 1985 24ª Conferencia del IEEE sobre Decisión y Control . págs. 1729-1733. doi :10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.
14. David Tong: Conferencias sobre dinámica clásica

Otras lecturas

• Diederich Hinrichsen y Anthony J. Pritchard (2005). Teoría de Sistemas Matemáticos I - Modelado, Análisis del Espacio de Estados, Estabilidad y Robustez . Springer Verlag. ISBN 9783540441250.
• Jordania, DW; Smith, P. (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Khalil, Hassan K. (2001). Sistemas no lineales . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Kreyszig, Erwin (1998). Matemáticas de Ingeniería Avanzada . Wiley. ISBN 978-0-471-15496-9.
• Sontag, Eduardo (1998). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensiones finitas. Segunda edicion . Saltador. ISBN 978-0-387-98489-6.

enlaces externos

• Programa de investigación de mando y control (CCRP)
• Instituto de Sistemas Complejos de Nueva Inglaterra: conceptos en sistemas complejos
• Dinámica no lineal I: Caos en OpenCourseWare del MIT
• Biblioteca de modelos no lineales: (en MATLAB ) una base de datos de sistemas físicos
• El Centro de Estudios No Lineales del Laboratorio Nacional de Los Álamos