Teoría de Ginzburg-Landau

Teoría de la superconductividad

En física , la teoría de Ginzburg-Landau , a menudo llamada teoría de Landau-Ginzburg , llamada así en honor a Vitaly Ginzburg y Lev Landau , es una teoría física matemática utilizada para describir la superconductividad . En su forma inicial, se postuló como un modelo fenomenológico que podía describir superconductores de tipo I sin examinar sus propiedades microscópicas. Un superconductor de tipo GL es el famoso YBCO , y en general todos los cupratos . ^[1]

Más tarde, Lev Gor'kov derivó una versión de la teoría de Ginzburg-Landau a partir de la teoría microscópica de Bardeen-Cooper-Schrieffer , ^[2] mostrando así que también aparece en algún límite de la teoría microscópica y dando una interpretación microscópica de todos sus parámetros. También se puede dar a la teoría un marco geométrico general, ubicándola en el contexto de la geometría riemanniana , donde en muchos casos se pueden dar soluciones exactas. Esta configuración general luego se extiende a la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas , nuevamente debido a su solubilidad y su estrecha relación con otros sistemas similares.

Introducción

Basándose en la teoría previamente establecida de Landau sobre las transiciones de fase de segundo orden , Ginzburg y Landau argumentaron que la densidad de energía libre de un superconductor cerca de la transición superconductora se puede expresar en términos de un campo de parámetros de orden complejo , donde la cantidad es una medida de la densidad local de electrones superconductores análoga a una función de onda de la mecánica cuántica . ^[2] Si bien es distinto de cero por debajo de una transición de fase a un estado superconductor, en el artículo original no se dio ninguna interpretación directa de este parámetro. Suponiendo la pequeñez y la pequeñez de sus gradientes , la densidad de energía libre tiene la forma de una teoría de campo y exhibe simetría de calibre U (1): ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \psi (r)=|\psi (r)|e^{i\phi (r)}}$ ${\displaystyle |\psi (r)|^{2}}$ ${\displaystyle n_{s}(r)}$ ${\displaystyle \psi (r)}$ ${\displaystyle |\psi |}$

$${\displaystyle f_{s}=f_{n}+\alpha (T)|\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta (T)|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }},}$$

dónde

• ${\displaystyle f_{n}}$es la densidad de energía libre de la fase normal,
• ${\displaystyle \alpha (T)}$y son parámetros fenomenológicos que son funciones de T (y a menudo escritos simplemente y ). ${\displaystyle \beta (T)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle m^{*}}$es una masa efectiva ,
• ${\displaystyle e^{*}}$es una carga efectiva (generalmente , donde e es la carga de un electrón), ${\displaystyle 2e}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$es el potencial del vector magnético , y
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$es el campo magnético.

La energía libre total está dada por . Minimizando con respecto a las variaciones en el parámetro de orden y el potencial vectorial , se llega a las ecuaciones de Ginzburg-Landau. ${\displaystyle F=\int f_{s}d^{3}r}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \;\;;\;\;\mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right\},}$$

donde denota la densidad de corriente eléctrica libre de disipación y Re la parte real . La primera ecuación, que tiene algunas similitudes con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , pero es principalmente diferente debido a un término no lineal, determina el parámetro de orden, . La segunda ecuación proporciona entonces la corriente superconductora. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \psi }$

Interpretación sencilla

Considere un superconductor homogéneo donde no hay corriente superconductora y la ecuación para ψ se simplifica a:

$${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0.}$$

Esta ecuación tiene una solución trivial: ψ = 0 . Esto corresponde al estado conductor normal, es decir, para temperaturas superiores a la temperatura de transición superconductora _, T > Tc .

Por debajo de la temperatura de transición superconductora, se espera que la ecuación anterior tenga una solución no trivial (es decir ). Bajo este supuesto, la ecuación anterior se puede reordenar en: ${\displaystyle \psi \neq 0}$

$${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}.}$$

Cuando el lado derecho de esta ecuación es positivo, hay una solución distinta de cero para ψ (recuerde que la magnitud de un número complejo puede ser positiva o cero). Esto se puede lograr suponiendo la siguiente dependencia de la temperatura con : ${\displaystyle \alpha :\alpha (T)=\alpha _{0}(T-T_{\rm {c}})}$ ${\displaystyle \alpha _{0}/\beta >0}$

• Por encima de la temperatura de transición superconductora, T > T _c , la expresión α ( T )/ β es positiva y el lado derecho de la ecuación anterior es negativo. La magnitud de un número complejo debe ser un número no negativo, por lo que sólo ψ = 0 resuelve la ecuación de Ginzburg-Landau.
• Por debajo de la temperatura de transición superconductora, T < T _c , el lado derecho de la ecuación anterior es positivo y existe una solución no trivial para ψ . Además,
  $${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }},}$$
  es decir, ψ se acerca a cero a medida que T se acerca a T _c desde abajo. Este comportamiento es típico de una transición de fase de segundo orden.

En la teoría de Ginzburg-Landau se propuso que los electrones que contribuyen a la superconductividad formaran un superfluido . ^[3] En esta interpretación, | ψ | ² indica la fracción de electrones que se han condensado en un superfluido. ^[3]

Longitud de coherencia y profundidad de penetración.

Las ecuaciones de Ginzburg-Landau predijeron dos nuevas longitudes características en un superconductor. La primera longitud característica se denominó longitud de coherencia , ξ . Para T > T _c (fase normal), viene dado por

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}|\alpha |}}}.}$

mientras que para T < T _c (fase superconductora), donde es más relevante, viene dado por

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m^{*}|\alpha |}}}.}$

Establece la ley exponencial según la cual pequeñas perturbaciones de la densidad de los electrones superconductores recuperan su valor de equilibrio ψ ₀ . Así, esta teoría caracterizaba a todos los superconductores mediante dos escalas de longitud. El segundo es la profundidad de penetración, λ . Fue introducido previamente por los hermanos London en su teoría de Londres . Expresado en términos de los parámetros del modelo de Ginzburg-Landau, es

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m^{*}}{\mu _{0}e^{*2}\psi _{0}^{2}}}}={\sqrt {\frac {m^{*}\beta }{\mu _{0}e^{*2}|\alpha |}}},}$

donde ψ ₀ es el valor de equilibrio del parámetro de orden en ausencia de un campo electromagnético. La profundidad de penetración establece la ley exponencial según la cual un campo magnético externo decae dentro del superconductor.

La idea original sobre el parámetro κ pertenece a Landau. La relación κ = λ / ξ se conoce actualmente como parámetro de Ginzburg-Landau. Landau ha propuesto que los superconductores de Tipo I son aquellos con 0 < κ < 1/ √ 2 , y los superconductores de Tipo II aquellos con κ > 1/ √ 2 .

Fluctuaciones

La transición de fase desde el estado normal es de segundo orden para los superconductores de Tipo II, teniendo en cuenta las fluctuaciones, como lo demostraron Dasgupta y Halperin, mientras que para los superconductores de Tipo I es de primer orden, como lo demostraron Halperin, Lubensky y Ma. ^[4]

Clasificación de superconductores.

En el artículo original, Ginzburg y Landau observaron la existencia de dos tipos de superconductores dependiendo de la energía de la interfaz entre los estados normal y superconductor. El estado de Meissner se rompe cuando el campo magnético aplicado es demasiado grande. Los superconductores se pueden dividir en dos clases según cómo se produce esta descomposición. En los superconductores _de Tipo I , la superconductividad se destruye abruptamente cuando la intensidad del campo aplicado aumenta por encima de un valor crítico Hc . Dependiendo de la geometría de la muestra, se puede obtener un estado intermedio ^[5] que consiste en un patrón barroco ^[6] de regiones de material normal que llevan un campo magnético mezclado con regiones de material superconductor que no contiene campo. En los superconductores de Tipo II , elevar el campo aplicado más allá de un valor crítico H _{c 1} conduce a un estado mixto (también conocido como estado de vórtice) en el que una cantidad creciente de flujo magnético penetra en el material, pero no permanece ninguna resistencia al flujo de corriente eléctrica siempre que la corriente no sea demasiado grande. En una segunda intensidad de campo crítica _Hc 2 _se destruye la superconductividad. El estado mixto en realidad es causado por vórtices en el superfluido electrónico, a veces llamados fluxones porque el flujo transportado por estos vórtices está cuantificado . La mayoría de los superconductores elementales puros , excepto los nanotubos de niobio y carbono , son del Tipo I, mientras que casi todos los superconductores impuros y compuestos son del Tipo II.

El hallazgo más importante de la teoría de Ginzburg-Landau lo realizó Alexei Abrikosov en 1957. Utilizó la teoría de Ginzburg-Landau para explicar experimentos con aleaciones superconductoras y películas delgadas. Descubrió que en un superconductor de tipo II en un campo magnético elevado, el campo penetra en una red triangular de tubos cuantificados de vórtices de flujo . ^[7]

formulación geométrica

El funcional de Ginzburg-Landau se puede formular en el contexto general de un paquete de vectores complejo sobre una variedad de Riemann compacta . ^[8] Este es el mismo funcional que se indicó anteriormente, transpuesto a la notación comúnmente utilizada en la geometría de Riemann. En múltiples casos interesantes, se puede demostrar que exhibe los mismos fenómenos que los anteriores, incluidos los vórtices de Abrikosov (ver discusión a continuación).

Para un haz de vectores complejo sobre una variedad de Riemann con fibra , el parámetro de orden se entiende como una sección del haz de vectores . El funcional de Ginzburg-Landau es entonces un lagrangiano para esa sección: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}\left[\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

La notación utilizada aquí es la siguiente. Se supone que las fibras están equipadas con un producto interno hermitiano de modo que el cuadrado de la norma se escribe como . Los parámetros fenomenológicos y han sido absorbidos de manera que el término de energía potencial sea un potencial de sombrero mexicano cuártico ; es decir, exhibiendo ruptura espontánea de simetría , con un mínimo en algún valor real . La integral está explícitamente sobre la forma del volumen. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \vert ^{2}=\langle \psi ,\psi \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}}$

para una variedad dimensional con determinante del tensor métrico . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$

La es la conexión de una forma y es la curvatura correspondiente de 2 formas (esto no es lo mismo que la energía libre dada arriba; aquí, corresponde al tensor de intensidad del campo electromagnético ). Corresponde al potencial vectorial , pero en general no es abeliano cuando , y está normalizado de manera diferente. En física, convencionalmente se escribe la conexión como para la carga eléctrica y el potencial vectorial ; en geometría de Riemann, es más conveniente eliminar (y todas las demás unidades físicas) y tomar valores uniformes en el álgebra de Lie correspondientes al grupo de simetría de la fibra. Aquí, el grupo de simetría es SU(n) , ya que eso deja invariante el producto interno ; Entonces aquí hay una forma que toma valores en el álgebra . ${\displaystyle D=d+A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle d-ieA}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A=A_{\mu }dx^{\mu }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

La curvatura generaliza la intensidad del campo electromagnético al entorno no abeliano, como la forma de curvatura de una conexión afín en un haz de vectores . Se escribe convencionalmente como ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=D\circ D\\&=dA+A\wedge A\\&=\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}+A_{\mu }A_{\nu }\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+[A_{\mu },A_{\nu }]\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\\end{aligned}}}$

Es decir, cada una es una matriz asimétrica. (Consulte el artículo sobre la conexión métrica para obtener una articulación adicional de esta notación específica). Para enfatizar esto, tenga en cuenta que el primer término del funcional de Ginzburg-Landau, que involucra únicamente la intensidad de campo, es ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=YM(A)=\int _{M}*(1)\vert F\vert ^{2}}$

que es simplemente la acción de Yang-Mills en una variedad de Riemann compacta.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional de Ginzburg-Landau son las ecuaciones de Yang-Mills ^[9]

${\displaystyle D^{*}D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$

y

${\displaystyle D^{*}F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$

donde es el adjunto de , análogo al codiferencial . Tenga en cuenta que éstas están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Yang-Mills-Higgs . ${\displaystyle D^{*}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \delta =d^{*}}$

Resultados específicos

En teoría de cuerdas , es convencional estudiar el funcional de Ginzburg-Landau para que la variedad sea una superficie de Riemann , y tomando ; es decir, un paquete de líneas . ^[10] El fenómeno de los vórtices de Abrikosov persiste en estos casos generales, incluido , donde se puede especificar cualquier conjunto finito de puntos donde desaparece, incluida la multiplicidad. ^[11] La prueba se generaliza a superficies arbitrarias de Riemann y a variedades de Kähler . ^{[12] [13] [14] [15]} En el límite del acoplamiento débil, se puede demostrar que converge uniformemente a 1, mientras que y converge uniformemente a cero, y la curvatura se convierte en una suma de distribuciones de función delta en los vórtices. . ^[16] La suma de los vórtices, con multiplicidad, es exactamente igual al grado del haz de líneas; como resultado, se puede escribir un paquete de líneas en una superficie de Riemann como un paquete plano, con N puntos singulares y una sección covariantemente constante. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \vert \psi \vert }$ ${\displaystyle D\psi }$ ${\displaystyle dA}$

Cuando la variedad es de cuatro dimensiones y posee una estructura de espín ^c , entonces se puede escribir un funcional muy similar, el funcional de Seiberg-Witten , que puede analizarse de manera similar y que posee muchas propiedades similares, incluida la autodualidad. Cuando dichos sistemas son integrables , se estudian como sistemas Hitchin .

Autodualidad

Cuando la variedad es una superficie de Riemann , el funcional se puede reescribir para mostrar explícitamente la autodualidad. Esto se logra escribiendo la derivada exterior como una suma de operadores de Dolbeault . Asimismo, el espacio de formas unicas sobre una superficie de Riemann se descompone en un espacio que es holomorfo y uno antiholomórfico: , de modo que las formas en son holomorfas en y no dependen de ; y viceversa para . Esto permite escribir el potencial vectorial como y de la misma manera con y . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=\Sigma }$ ${\displaystyle d=\partial +{\overline {\partial }}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega ^{1,0}\oplus \Omega ^{0,1}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1,0}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{0,1}}$ ${\displaystyle A=A^{1,0}+A^{0,1}}$ ${\displaystyle D=\partial _{A}+{\overline {\partial }}_{A}}$ ${\displaystyle \partial _{A}=\partial +A^{1,0}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{A}={\overline {\partial }}+A^{0,1}}$

Para el caso de , donde la fibra es tal que el haz es un haz de líneas , la intensidad del campo se puede escribir de manera similar como ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F=-\left(\partial _{A}{\overline {\partial }}_{A}+{\overline {\partial }}_{A}\partial _{A}\right)}$

Tenga en cuenta que en la convención de signos que se utiliza aquí, ambos y son puramente imaginarios ( es decir, U(1) se genera por lo que las derivadas son puramente imaginarias). Lo funcional entonces se convierte en ${\displaystyle A^{1,0},A^{0,1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\psi ,A\right)=2\pi \sigma \operatorname {deg} L+\int _{\Sigma }{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}\left[2\vert {\overline {\partial }}_{A}\psi \vert ^{2}+\left(*(-iF)-{\frac {1}{2}}(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

Se entiende que la integral está sobre la forma del volumen.

${\displaystyle *(1)={\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}}$,

de modo que

${\displaystyle \operatorname {Area} \Sigma =\int _{\Sigma }*(1)}$

es el área total de la superficie . Es la estrella Hodge , como antes. El grado del haz de líneas sobre la superficie es ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {deg} L=c_{1}(L)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }iF}$

¿ Dónde está la primera clase Chern ? ${\displaystyle c_{1}(L)=c_{1}(L)[\Sigma ]\in H^{2}(\Sigma )}$

El lagrangiano se minimiza (estacionario) al resolver las ecuaciones de Ginzberg-Landau ${\displaystyle \psi ,A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\partial }}_{A}\psi &=0\\*(iF)&={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que ambas son ecuaciones diferenciales de primer orden, manifiestamente autoduales. Al integrar el segundo de ellos, rápidamente se descubre que una solución no trivial debe obedecer

${\displaystyle 4\pi \operatorname {deg} L\leq \sigma \operatorname {Area} \Sigma }$.

En términos generales, esto puede interpretarse como un límite superior de densidad de las vórtices de Abrikosov. También se puede demostrar que las soluciones son acotadas; uno debe tener . ${\displaystyle |\psi |\leq \sigma }$

En la teoría de cuerdas

En física de partículas , cualquier teoría cuántica de campos con un estado de vacío clásico único y una energía potencial con un punto crítico degenerado se denomina teoría de Landau-Ginzburg. La generalización a N  = (2,2) teorías supersimétricas en 2 dimensiones del espacio-tiempo fue propuesta por Cumrun Vafa y Nicholas Warner en noviembre de 1988; ^[17] en esta generalización se impone que el superpotencial posee un punto crítico degenerado. El mismo mes, junto con Brian Greene, argumentaron que estas teorías están relacionadas mediante un flujo de grupo de renormalización con modelos sigma en variedades de Calabi-Yau . ^[18] En su artículo de 1993 "Fases de N  = 2 teorías en dos dimensiones", Edward Witten argumentó que las teorías de Landau-Ginzburg y los modelos sigma en variedades de Calabi-Yau son fases diferentes de la misma teoría. ^[19] Se dio una construcción de tal dualidad al relacionar la teoría Gromov-Witten de los orbifolds de Calabi-Yau con la teoría FJRW y una teoría análoga de Landau-Ginzburg "FJRW". ^[20] Los modelos sigma de Witten se utilizaron más tarde para describir la dinámica de baja energía de las teorías de calibre de 4 dimensiones con monopolos y construcciones de branas. ^[21]

Ver también

• Fijación de flujo
• Ecuación de Gross-Pitaevskii
• Teoría de Landau
• Ecuación de Stuart-Landau
• Sistemas de reacción-difusión.
• Vórtice cuántico
• paquete de Higgs
• Con destino a Bogomol'nyi – Prasad – Sommerfield

Referencias

1. Wesche, Capítulo 50: Superconductores de alta temperatura, Springer 2017, en pág. 1233, contenido en Casap, Manual de Kapper
2. Tsuei, CC; Kirtley, JR Simetría de emparejamiento en superconductores de cuprato (PDF) . Centro de investigación IBM Thomas J. Watson. pag. 970.
3. Ginzburg VL (julio de 2004). "Sobre la superconductividad y la superfluidez (lo que he conseguido y lo que no he conseguido), así como sobre el 'mínimo físico' de principios del siglo XXI". ChemPhysChem . 5 (7): 930–945. doi :10.1002/cphc.200400182. PMID  15298379.
4. Halperin, B; Lubensky, T; Ma, S (11 de febrero de 1974). "Transiciones de fase de primer orden en superconductores y cristales líquidos Smectic-A". Cartas de revisión física . 32 (6): 292–295. Código bibliográfico : 1974PhRvL..32..292H. doi : 10.1103/PhysRevLett.32.292 . Consultado el 7 de abril de 2022 .
5. Lev D. Landau; Evgeny M. Lifschitz (1984). Electrodinámica de Medios Continuos . Curso de Física Teórica . vol. 8. Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2634-7.
6. David JE Callaway (1990). "Sobre la notable estructura del estado intermedio superconductor". Física Nuclear B. 344 (3): 627–645. Código bibliográfico : 1990NuPhB.344..627C. doi :10.1016/0550-3213(90)90672-Z.
7. Abrikosov, AA (1957). Las propiedades magnéticas de las aleaciones superconductoras. Revista de Física y Química de Sólidos , 2(3), 199–208.
8. Jost, Jürgen (2002). "El funcional Ginzburg-Landau". Geometría de Riemann y análisis geométrico (Tercera ed.). Springer-Verlag. págs. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
9. Jost, Jürgen (2008). "El funcional Ginzburg-Landau". Geometría de Riemann y análisis geométrico (Quinta ed.). Springer-Verlag. págs. 521–522. ISBN 978-3-540-77340-5.
10. Hitchin, Nueva Jersey (1987). "Las ecuaciones de autodualidad en una superficie de Riemann". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T3-55 (1): 59-126. doi :10.1112/plms/s3-55.1.59. ISSN  0024-6115.
11. Taubes, Clifford Henry (1980). "Soluciones arbitrarias de N-vórtices para las ecuaciones de Ginzburg-Landau de primer orden". Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science y Business Media LLC. 72 (3): 277–292. Código bibliográfico : 1980CMaPh..72..277T. doi :10.1007/bf01197552. ISSN  0010-3616. S2CID  122086974.
12. Bradlow, Steven B. (1990). "Vórtices en haces de líneas holomorfas sobre variedades Kähler cerradas". Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science y Business Media LLC. 135 (1): 1–17. Código bibliográfico : 1990CMaPh.135....1B. doi :10.1007/bf02097654. ISSN  0010-3616. S2CID  59456762.
13. Bradlow, Steven B. (1991). "Métricas especiales y estabilidad para paquetes holomorfos con secciones globales". Revista de Geometría Diferencial . Prensa Internacional de Boston. 33 (1): 169–213. doi : 10.4310/jdg/1214446034 . ISSN  0022-040X.
14. García-Prada, Oscar (1993). "Conexiones invariantes y vórtices". Comunicaciones en Física Matemática . Springer Science y Business Media LLC. 156 (3): 527–546. Código Bib : 1993CMaPh.156..527G. doi :10.1007/bf02096862. ISSN  0010-3616. S2CID  122906366.
15. García-Prada, Oscar (1994). "Una prueba de existencia directa de las ecuaciones de vórtice sobre una superficie compacta de Riemann". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . Wiley. 26 (1): 88–96. doi :10.1112/blms/26.1.88. ISSN  0024-6093.
16. MC Hong, J, Jost, M Struwe, "Límites asintóticos de un funcional de tipo Ginzberg-Landau", Análisis geométrico y cálculo de variaciones para Stefan Hildebrandt (1996) Prensa internacional (Boston) págs.
17. Vafa, Cumrún; Warner, Nicholas (febrero de 1989). "Catástrofes y clasificación de teorías conformes". Letras de Física B. 218 (1): 51–58. Código Bib : 1989PhLB..218...51V. doi :10.1016/0370-2693(89)90473-5.
18. Greene, BR; Vafa, C.; Warner, NP (septiembre de 1989). "Múltiples Calabi-Yau y flujos de grupos de renormalización". Física Nuclear B. 324 (2): 371–390. Código bibliográfico : 1989NuPhB.324..371G. doi :10.1016/0550-3213(89)90471-9.
19. Witten, Edward (16 de agosto de 1993). "Fases de N = 2 teorías en dos dimensiones". Física Nuclear B. 403 (1): 159–222. arXiv : hep-th/9301042 . Código bibliográfico : 1993NuPhB.403..159W. doi :10.1016/0550-3213(93)90033-L. S2CID  16122549.
20. Fan, Huijun; Jarvis, Tyler; Ruan, Yongbin (1 de julio de 2013). "La ecuación de Witten, la simetría especular y la teoría de la singularidad cuántica". Anales de Matemáticas . 178 (1): 1–106. arXiv : 0712.4021 . doi : 10.4007/anales.2013.178.1.1 . S2CID  115154206.
21. Gaiotto, Davide ; Gukov, Serguéi ; Seiberg, Nathan (2013), "Surface Defects and Resolvents", Journal of High Energy Physics , 2013 (9): 70, arXiv : 1307.2578 , Bibcode :2013JHEP...09..070G, doi :10.1007/JHEP09(2013) 070, S2CID  118498045

Documentos

• VL Ginzburg y LD Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20 , 1064 (1950). Traducción al inglés en: LD Landau, Collected papers (Oxford: Pergamon Press, 1965) p. 546
• AA Abrikosov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32 , 1442 (1957) (traducción al inglés: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)].) Artículo original de Abrikosov sobre la estructura de vórtice de superconductores de tipo II derivada como una solución de ecuaciones G – L para κ > 1/√2
• LP Gor'kov, Sov. Física. JETP 36 , 1364 (1959)
• Conferencia Nobel de 2003 de AA Abrikosov: archivo pdf o vídeo
• Conferencia Nobel de 2003 de VL Ginzburg: archivo pdf o vídeo