Estructura de giro

En geometría diferencial , una estructura de espín en una variedad de Riemann orientable ( M , g ) permite definir haces de espinores asociados , dando lugar a la noción de espinor en geometría diferencial.

Las estructuras de espín tienen amplias aplicaciones en la física matemática , en particular en la teoría cuántica de campos , donde son un ingrediente esencial en la definición de cualquier teoría con fermiones sin carga . También son de interés puramente matemático en geometría diferencial , topología algebraica y teoría K. Forman la base de la geometría del espín .

Descripción general

En geometría y teoría de campos , los matemáticos se preguntan si una variedad de Riemann orientada dada ( M , g ) admite espinores . Un método para abordar este problema es exigir que M tenga una estructura de espín. ^{[1] [2] [3]} Esto no siempre es posible ya que existe potencialmente una obstrucción topológica a la existencia de estructuras de espín. Las estructuras de espín existirán si y sólo si la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M desaparece. Además, si w ₂ ( M ) = 0, entonces H ¹ ( M , Z ₂ ) actúa libre y transitivamente sobre el conjunto de clases de isomorfismo de estructuras de espín en M. Como se supone que la variedad M está orientada, la primera clase Stiefel-Whitney w ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ ) de M también desaparece. (Las clases de Stiefel-Whitney w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z ₂ ) de una variedad M se definen como las clases de Stiefel-Whitney de su paquete tangente TM .)

El paquete de espinores π _S : S → M sobre M es entonces el paquete de vectores complejo asociado con el correspondiente paquete principal π _P : P → M de marcos de espín sobre M y la representación de espín de su grupo de estructuras Spin( n ) en el espacio de espinores Δ _norte . El paquete S se llama paquete de espinor para una estructura de espín dada en M.

Una definición precisa de la estructura de espín en una variedad sólo fue posible después de que se introdujo la noción de haz de fibras ; André Haefliger (1956) encontró la obstrucción topológica a la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable y Max Karoubi (1968) extendió este resultado al caso pseudo-riemanniano no orientable. ^{[4] [5]}

Estructuras de espín en variedades de Riemann

Definición

Una estructura de espín en una variedad de Riemann orientable con un haz de vectores orientado es una elevación equivariante del haz de marcos ortonormal con respecto a la doble cubierta . En otras palabras, un par es una estructura de espín en el paquete principal SO( n ) cuando ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$ ${\displaystyle \rho :\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle (P_{\operatorname {Spin} },\phi )}$ ${\displaystyle \pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

a) es un paquete principal Spin( n ) , y ${\displaystyle \pi _{P}:P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

b) es un mapa de cobertura doble equivariante tal que ${\displaystyle \phi :P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)}$

${\displaystyle \pi \circ \phi =\pi _{P}\quad }$y para todos y . ${\displaystyle \quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

Dos estructuras de espín y en la misma variedad de Riemann orientada se denominan "equivalentes" si existe un mapa equivalente de Spin( n ) tal que ${\displaystyle (P_{1},\phi _{1})}$ ${\displaystyle (P_{2},\phi _{2})}$ ${\displaystyle f:P_{1}\rightarrow P_{2}}$

${\displaystyle \phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad }$y para todos y . ${\displaystyle \quad f(pq)=f(p)q\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{1}}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

En este caso y son dos coberturas dobles equivalentes. ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

La definición de estructura de espín como estructura de espín del haz principal se debe a André Haefliger (1956). ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

Obstrucción

Haefliger ^[1] encontró condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una estructura de espín en una variedad de Riemann orientada ( M , g ). _{El obstáculo para tener una estructura de} espín es un cierto elemento [ k ] de H2 ⁽ M , Z2 ) . Para una estructura de espín, la clase [ k ] es la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M . Por lo tanto, existe una estructura de espín si y sólo si la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M desaparece.

Estructuras de giro en paquetes de vectores

Sea M una variedad topológica paracompacta y E un paquete de vectores orientado en M de dimensión n equipado con una fibra métrica . Esto significa que en cada punto de M , la fibra de E es un espacio producto interno . Un paquete de espín de E es una prescripción para asociar consistentemente una representación de espín a cada punto de M. Existen obstrucciones topológicas para poder hacerlo y, en consecuencia, un paquete E determinado puede no admitir ningún paquete de espinores. En caso de que así sea, se dice que el paquete E es espín .

Esto puede hacerse riguroso mediante el lenguaje de los paquetes principales . La colección de marcos ortonormales orientados de un paquete de vectores forma un paquete de marcos P _SO ( E ), que es un paquete principal bajo la acción del grupo ortogonal especial SO ( n ). Una estructura de espín para P _SO ( E ) es un ascenso de P _SO ( E ) a un paquete principal P _Spin ( E ) bajo la acción del grupo de espín Spin( n ), con lo que queremos decir que existe un mapa de paquete  : P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) tal que ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}$, para todo p ∈ P _Spin ( E ) y g ∈ Spin ( n ) ,

donde ρ  : Spin( n ) → SO( n ) es el mapeo de grupos que presenta el grupo de spin como una doble cobertura de SO( n ).

En el caso especial en el que E es el paquete tangente TM sobre la variedad base M , si existe una estructura de espín, entonces se dice que M es una variedad de espín . De manera equivalente, M es espín si el haz principal SO( n ) de bases ortonormales de las fibras tangentes de M es un cociente Z ₂ de un haz de espín principal.

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín puede considerarse equivalente como una clase de homotopía de trivialización del paquete tangente sobre el esqueleto 1 que se extiende sobre el esqueleto 2. Si la dimensión es inferior a 3, primero se toma una suma de Whitney con un paquete de líneas trivial.

Obstrucción y clasificación.

Para un paquete de vectores orientable , existe una estructura de espín si y sólo si la segunda clase Stiefel-Whitney desaparece. Este es el resultado de Armand Borel y Friedrich Hirzebruch . ^[6] Además, en el caso del espín, el número de estructuras de espín están en biyección con . Estos resultados se pueden probar fácilmente ^{[7] páginas 110-111} utilizando un argumento de secuencia espectral para el paquete principal asociado . Note que esto da una fibración. ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w_{2}(E)}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle P_{E}\to M}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M}$

por tanto , se puede aplicar la secuencia espectral de Serre . De la teoría general de secuencias espectrales, existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}\xrightarrow {d_{2}} E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$

Además, y por alguna filtración , de ahí nos sale un mapa. ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2))}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}}$

dando una secuencia exacta

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$

Ahora bien, una estructura de espín es exactamente una doble cobertura de ajuste en un diagrama conmutativo. ${\displaystyle P_{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}}$

donde los dos mapas verticales de la izquierda son los mapas de doble cobertura. Ahora, las coberturas dobles de están en biyección con subgrupos índice de , que está en biyección con el conjunto de morfismos de grupo . Pero, según el teorema de Hurewicz y el cambio de coeficientes, este es exactamente el grupo de cohomología . Aplicando el mismo argumento a , la cobertura no trivial corresponde a , y el mapa de es precisamente el de la segunda clase Stiefel-Whitney, por lo tanto . Si desaparece, entonces la imagen inversa de debajo del mapa. ${\displaystyle P_{E}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

es el conjunto de dobles revestimientos que dan estructuras de espín. Ahora, este subconjunto de se puede identificar con , lo que muestra que este último grupo de cohomología clasifica las diversas estructuras de espín en el paquete de vectores . Esto se puede hacer observando la secuencia larga y exacta de grupos de homotopía de la fibración. ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1}$

y aplicando , dando la secuencia de grupos de cohomología ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Como es el núcleo y la imagen inversa de está en biyección con el núcleo, tenemos el resultado deseado. ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Comentarios sobre la clasificación

Cuando existen estructuras de espín, las estructuras de espín no equivalentes en una variedad tienen una correspondencia uno a uno (no canónica) con los elementos de H ¹ ( M , Z ₂ ), que según el teorema del coeficiente universal es isomorfo a H ₁ ( M , Z ₂ ). Más precisamente, el espacio de las clases de isomorfismo de estructuras de espín es un espacio afín sobre H ¹ ( M , Z ₂ ).

Intuitivamente, para cada ciclo no trivial en M , una estructura de espín corresponde a una elección binaria de si una sección del paquete SO( N ) cambia de hoja cuando se rodea el bucle. Si w ₂ ^[8] desaparece, entonces estas opciones pueden extenderse a los dos esqueletos , entonces (por la teoría de la obstrucción ) pueden extenderse automáticamente a todo M. En física de partículas, esto corresponde a una elección de condiciones de contorno periódicas o antiperiódicas para los fermiones que giran alrededor de cada bucle. Tenga en cuenta que en una variedad compleja, la segunda clase de Stiefel-Whitney se puede calcular como la primera clase de chern . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{mod }}2}$

Ejemplos

1. Una superficie de Riemann del género g admite 2 ^{2 g} de estructuras de espín no equivalentes; ver característica theta .
2. Si H ² ( M , Z ₂ ) desaparece, M es espín . Por ejemplo, S ⁿ es spin para todos . (Tenga en cuenta que S ² también es spin , pero por diferentes razones; ver más abajo). ${\displaystyle n\neq 2}$
3. El plano proyectivo complejo CP ² no es espín .
4. De manera más general, todos los espacios proyectivos complejos de dimensión par CP ^{2 n} no son espín .
5. Todos los espacios proyectivos complejos de dimensiones impares CP ²ⁿ⁺¹ son espín .
6. Todos los colectores compactos y orientables de dimensión 3 o menos son giratorios .
7. Todas las variedades Calabi-Yau son de espín .

Propiedades

• El género de una variedad de espín es un número entero, y es un número entero par si además la dimensión es 4 mod 8.

  En general, el género  es un invariante racional, definido para cualquier variedad, pero en general no es un número entero.

  Esto fue probado originalmente por Hirzebruch y Borel , y puede probarse mediante el teorema del índice de Atiyah-Singer , al considerar el género  como el índice de un operador de Dirac : un operador de Dirac es una raíz cuadrada de un operador de segundo orden y existe debido a a que la estructura de espín sea una "raíz cuadrada". Este fue un ejemplo motivador para el teorema del índice.

Estructuras de espín C

Una estructura de espín ^C es análoga a una estructura de espín en una variedad de Riemann orientada , ^[9] pero utiliza el grupo Spin ^C , que en cambio está definido por la secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Para motivar esto, supongamos que κ  : Spin( n ) → U( N ) es una representación de espinor compleja. El centro de U( N ) está formado por los elementos diagonales provenientes de la inclusión i  : U(1) → U( N ) , es decir, los múltiplos escalares de la identidad. Por tanto hay un homomorfismo

${\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}$

Esto siempre tendrá el elemento (−1,−1) en el kernel. Tomando el cociente módulo de este elemento se obtiene el grupo Spin ^C ( n ). Este es el producto retorcido.

${\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}$

donde U(1) = SO(2) = S ¹ . En otras palabras, el grupo Spin ^C ( n ) es una extensión central de SO ( n ) por S ¹ .

Visto de otra manera, Spin ^C ( n ) es el grupo cociente obtenido de Spin( n ) × Spin(2) con respecto a la normal Z ₂ que se genera por el par de transformaciones de cobertura para los paquetes Spin( n ) → SO( n ) y Spin(2) → SO(2) respectivamente. Esto hace que el grupo Spin ^C sea un paquete sobre el círculo con fibra Spin( n ) y un paquete sobre SO( n ) con fibra en un círculo. ^{[10] [11]}

El grupo fundamental π ₁ (Spin ^C ( n )) es isomorfo a Z si n ≠ 2, y a Z ⊕ Z si n = 2.

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín ^C puede considerarse equivalente como una clase de homotopía de estructura compleja sobre el esqueleto 2 que se extiende sobre el esqueleto 3. De manera similar al caso de las estructuras de espín, se toma una suma de Whitney con un paquete de líneas trivial si la variedad es de dimensiones impares.

Otra definición más es que una estructura de espín C ^en una variedad N es un paquete de líneas complejo L sobre N junto con una estructura de espín en T N ⊕ L.

Obstrucción

Una estructura de espín ^C existe cuando el paquete es orientable y la segunda clase Stiefel-Whitney del paquete E está en la imagen del mapa H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (en otras palabras , la tercera clase integral Stiefel-Whitney desaparece). En este caso se dice que E es el espín ^C. Intuitivamente, la elevación da la clase Chern del cuadrado de la parte U(1) de cualquier paquete de espín ^C obtenido . Según un teorema de Hopf y Hirzebruch, las 4 variedades cerradas orientables siempre admiten una estructura de espín ^C.

Clasificación

Cuando una variedad lleva una estructura de espín ^{C , el conjunto de estructuras de espín C} forma un espacio afín. Además, el conjunto de estructuras de espín ^{C tiene} una acción transitiva libre de H2 ( M , Z ) . Así, las estructuras de espín ^C corresponden a elementos de H ² ( M , Z ) aunque no de forma natural.

imagen geométrica

Esta tiene la siguiente interpretación geométrica, la cual se debe a Edward Witten . Cuando la estructura de espín ^C es distinta de cero, este paquete de raíz cuadrada tiene una clase Chern no integral, lo que significa que no cumple la condición de triple superposición . En particular, el producto de las funciones de transición en una intersección de tres vías no siempre es igual a uno, como se requiere para un paquete principal . En cambio, a veces es −1.

Esta falla ocurre precisamente en las mismas intersecciones que una falla idéntica en los productos triples de las funciones de transición del haz de espín obstruido . Por lo tanto, los productos triples de las funciones de transición del paquete ^c de espín completo , que son los productos del producto triple del paquete de componentes de espín y U(1), son 1 ² = 1 o (−1) ² = 1 , por lo que el paquete spin ^C satisface la condición de triple superposición y, por lo tanto, es un paquete legítimo.

Los detalles

La imagen geométrica intuitiva anterior se puede concretar de la siguiente manera. Considere la secuencia exacta corta 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , donde la segunda flecha es la multiplicación por 2 y la tercera es la reducción módulo 2. Esto induce una secuencia exacta larga en cohomología, que contiene

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

donde la segunda flecha es inducida por la multiplicación por 2, la tercera es inducida por el módulo de restricción 2 y la cuarta es el homomorfismo de Bockstein asociado β .

La obstrucción a la existencia de un haz de espines es un elemento w ₂ de H ² ( M , Z ₂ ) . Refleja el hecho de que siempre se puede elevar localmente un haz SO(n) a un haz de espín , pero es necesario elegir una elevación Z ₂ de cada función de transición, que es una elección de signo. La sustentación no existe cuando el producto de estos tres signos en una superposición triple es −1, lo que produce la imagen de cohomología de Čech de w ₂ .

Para cancelar esta obstrucción, se tensa este paquete de espines con un paquete U(1) con la misma obstrucción w ₂ . Tenga en cuenta que esto es un abuso de la palabra paquete , ya que ni el paquete de espín ni el paquete U(1) satisfacen la condición de triple superposición y, por lo tanto, ninguno de los dos es realmente un paquete.

Un paquete U(1) legítimo se clasifica por su clase Chern , que es un elemento de H ² ( M , Z ). Identifique esta clase con el primer elemento en la secuencia exacta anterior. La siguiente flecha duplica esta clase de Chern, por lo que los paquetes legítimos corresponderán a elementos pares en el segundo ^H2 ( M , Z ) , mientras que los elementos impares corresponderán a paquetes que no cumplen la condición de triple superposición. La obstrucción entonces se clasifica por el hecho de que un elemento en el segundo H ² ( M , Z ) no esté en la imagen de la flecha, la cual, por exactitud, se clasifica por su imagen en H ² ( M , Z ₂ ) en la siguiente flecha.

Para cancelar la obstrucción correspondiente en el haz de espín , esta imagen debe ser w ₂ . En particular, si w ₂ no está en la imagen de la flecha, entonces no existe ningún paquete U(1) con obstrucción igual a w ₂ y, por lo tanto, la obstrucción no se puede cancelar. Para ser exactos, w ₂ está en la imagen de la flecha anterior sólo si está en el núcleo de la siguiente flecha, que recordemos es el homomorfismo β de Bockstein. Es decir, la condición para la cancelación de la obstrucción es

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

donde hemos utilizado el hecho de que la tercera integral Stiefel-Whitney clase W ₃ es el Bockstein de la segunda clase Stiefel-Whitney w ₂ (esto puede tomarse como una definición de W ₃ ).

Ascensores integrales de clases Stiefel–Whitney

Este argumento también demuestra que la segunda clase de Stiefel-Whitney define elementos no sólo de la cohomología Z ₂ sino también de la cohomología integral en un grado superior. De hecho, este es el caso incluso de todas las clases de Stiefel-Whitney. Es tradicional utilizar una W mayúscula para las clases resultantes en grado impar, que se denominan clases integrales de Stiefel-Whitney y están etiquetadas por su grado (que siempre es impar).

Ejemplos

1. Todas las variedades lisas orientadas de dimensión 4 o menos son de giro ^{C. [12]}
2. Todas las variedades casi complejas son de espín ^C.
3. Todos los colectores de espín son de espín ^C.

Aplicación a la física de partículas.

En física de partículas , el teorema de la estadística de espín implica que la función de onda de un fermión sin carga es una sección del haz de vectores asociado a la elevación de espín de un haz SO( N ) E. Por lo tanto, la elección de la estructura de espín es parte de los datos necesarios para definir la función de onda y, a menudo, es necesario sumar estas elecciones en la función de partición . En muchas teorías físicas, E es el paquete tangente , pero para los fermiones en los volúmenes mundiales de D-branas en la teoría de cuerdas es un paquete normal .

En la teoría cuántica de campos, los espinores cargados son secciones de haces de espín ^c asociados y, en particular, no pueden existir espinores cargados en un espacio que no sea espín ^c . Surge una excepción en algunas teorías de supergravedad donde interacciones adicionales implican que otros campos pueden cancelar la tercera clase Stiefel-Whitney. La descripción matemática de los espinores en la supergravedad y la teoría de cuerdas es un problema abierto particularmente sutil, que se abordó recientemente en las referencias. ^{[13] [14]} Resulta que la noción estándar de estructura de espín es demasiado restrictiva para aplicaciones a la supergravedad y la teoría de cuerdas, y que la noción correcta de estructura espinorial para la formulación matemática de estas teorías es una "estructura de Lipschitz". ^{[13] [15]}

Ver también

• Estructura metapléctica
• Paquete de marco ortonormal
• espinor

Referencias

1. Haefliger, A. (1956). "Sobre la extensión del grupo estructural de un espacio de fibra". CR Acad. Ciencia. París . 243 : 558–560.
2. J. Milnor (1963). "Estructuras de giro sobre colectores". L'Enseignement Mathématique . 9 : 198-203.
3. Lichnerowicz, A. (1964). "Campeones espinorieles y propagadores de la relatividad general". Toro. Soc. Matemáticas. P. _ 92 : 11-100. doi : 10.24033/bsmf.1604 .
4. Karoubi, M. (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie". Ana. Ciencia. CE. Norma. Súper . 1 (2): 161–270. doi : 10.24033/asens.1163 .
5. Alagia, recursos humanos; Sánchez, CU (1985), "Estructuras de espín en variedades pseudo-riemannianas" (PDF) , Revista de la Unión Matemática Argentina , 32 : 64–78
6. Borel, A.; Hirzebruch, F. (1958). "Clases características y espacios homogéneos I". Revista Estadounidense de Matemáticas . 80 (2): 97-136. doi :10.2307/2372795. JSTOR  2372795.
7. Pati, Vishwambhar. "Complejos elípticos y teoría de índices" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2018.
8. "Múltiple de giro y la segunda clase Stiefel-Whitney". Math.Stachexchange .
9. Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de giro . Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 391.ISBN _ 978-0-691-08542-5.
10. R. Gompf (1997). " Spin ^c –estructuras y equivalencias de homotopía ". Geometría y topología . 1 : 41–50. arXiv : matemáticas/9705218 . Código Bib : 1997 matemáticas ...... 5218G. doi :10.2140/gt.1997.1.41. S2CID  6906852.
11. Federico, Thomas (2000). Operadores de Dirac en geometría riemanniana . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 26.ISBN _ 978-0-8218-2055-1.
12. Gompf, Robert E.; Stipsicz, Andras I. (1999). 4-Múltiples y Cálculo de Kirby . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 55–58, 186–187. ISBN 0-8218-0994-6.
13. Lazaroiu, C.; Shahbazi, CS (2019). "Haces de pinor reales y estructuras de Lipschitz reales". Revista asiática de matemáticas . 23 (5): 749–836. arXiv : 1606.07894 . doi :10.4310/AJM.2019.v23.n5.a3. S2CID  119598006..
14. Lázaroiu, C.; Shahbazi, CS (2019). "Sobre la geometría de espín de la supergravedad y la teoría de cuerdas". Métodos Geométricos en Física XXXVI . Tendencias en Matemáticas. págs. 229-235. arXiv : 1607.02103 . doi :10.1007/978-3-030-01156-7_25. ISBN 978-3-030-01155-0. S2CID  104292702.
15. Federico, Thomas; Trautman, Andrzej (2000). "Espacios de espín, grupos de Lipschitz y haces de espinores". Anales de geometría y análisis global . 18 (3): 221–240. arXiv : matemáticas/9901137 . doi :10.1023/A:1006713405277. S2CID  118698159.

Otras lecturas

• Lawson, H.Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de giro . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Federico, Thomas (2000). Operadores de Dirac en geometría riemanniana . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Karoubi, Max (2008). Teoría K. Saltador. págs. 212-214. ISBN 978-3-540-79889-7.
• Greub, Werner; Petry, Herbert-Rainer (2006) [1978]. "Sobre el levantamiento de grupos estructurales". Métodos Geométricos Diferenciales en Física Matemática II . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 676. Springer-Verlag. págs. 217–246. doi :10.1007/BFb0063673. ISBN 9783540357216.
• Scorpan, Alexandru (2005). "4.5 Notas Estructuras de espín, definición del grupo de estructuras; Equivalencia de las definiciones de". El mundo salvaje de las 4 variedades . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 174–189. ISBN 9780821837498.

enlaces externos

• Algo sobre estructuras de espín de Sven-S. Port es una breve introducción a las estructuras de orientación y espín para estudiantes de matemáticas.