Ecuación de Stuart-Landau

La ecuación de Stuart-Landau describe el comportamiento de un sistema oscilante no lineal cerca de la bifurcación de Hopf , llamada así por John Trevor Stuart y Lev Landau . En 1944, Landau propuso una ecuación para la evolución de la magnitud de la perturbación, que ahora se llama ecuación de Landau , para explicar la transición a la turbulencia basada en un argumento fenomenológico ^[1] y un intento de derivar esta ecuación a partir de ecuaciones hidrodinámicas fue realizado por Stuart para el flujo plano de Poiseuille en 1958. ^[2] La derivación formal para derivar la ecuación de Landau fue dada por Stuart, Watson y Palm en 1960. ^{[3] [4] [5]} La perturbación en la vecindad de la bifurcación está gobernada por la siguiente ecuación

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\sigma A-{\frac {l}{2}}A|A|^{2}.}$

dónde

• ${\displaystyle A=|A|e^{i\phi }}$es una cantidad compleja que describe la perturbación,
• ${\displaystyle \sigma =\sigma _{r}+i\sigma _{i}}$es la tasa de crecimiento compleja,
• ${\displaystyle l=l_{r}+il_{i}}$es un número complejo y es la constante de Landau . ${\displaystyle l_{r}}$

La evolución de la perturbación actual está dada por la parte real de , es decir, por . Aquí la parte real de la tasa de crecimiento se toma como positiva, es decir, porque de lo contrario el sistema es estable en el sentido lineal, es decir, para perturbaciones infinitesimales ( es un número pequeño), el término no lineal en la ecuación anterior es despreciable en comparación con los otros dos términos, en cuyo caso la amplitud crece en el tiempo solo si . La constante de Landau también se toma como positiva, porque de lo contrario la amplitud crecerá indefinidamente (ver las ecuaciones a continuación y la solución general en la siguiente sección). La ecuación de Landau es la ecuación para la magnitud de la perturbación, ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle |A|\cos \phi }$ ${\displaystyle \sigma _{r}>0}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle \sigma _{r}>0}$ ${\displaystyle l_{r}>0}$

${\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4},}$

que también puede reescribirse como ^[6]

${\displaystyle {\frac {d|A|}{dt}}=\sigma _{r}|A|-{\frac {l_{r}}{2}}|A|^{3}.}$

De manera similar, la ecuación para la fase está dada por

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=\sigma _{i}-{\frac {l_{i}}{2}}|A|^{2}.}$

Para sistemas no homogéneos, es decir, cuando dependen de coordenadas espaciales, véase la ecuación de Ginzburg-Landau . Debido a la universalidad de la ecuación, la ecuación encuentra su aplicación en muchos campos, como la estabilidad hidrodinámica , ^[7] la reacción de Belousov-Zhabotinsky , ^[8] etc. ${\displaystyle A}$

Solución general

La ecuación de Landau es lineal cuando se escribe para la variable dependiente , ${\displaystyle |A|^{-2}}$

${\displaystyle {\frac {d|A|^{-2}}{dt}}+2\sigma _{r}|A|^{-2}=l_{r}.}$

La solución general de la ecuación anterior es ${\displaystyle \sigma _{r}\neq 0}$

${\displaystyle |A(t)|^{-2}={\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}+\left(|A(0)|^{-2}-{\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}\right)e^{-2\sigma _{r}t}.}$

Como , la magnitud de la perturbación se acerca a un valor constante que es independiente de su valor inicial, es decir, cuando . La solución anterior implica que no tiene una solución real si y . La solución asociada para la función de fase está dada por ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\rightarrow (2\sigma _{r}/l_{r})^{1/2}}$ ${\displaystyle t\gg 1/\sigma _{r}}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle l_{r}<0}$ ${\displaystyle \sigma _{r}>0}$ ${\displaystyle \phi (t)}$

${\displaystyle \phi (t)-\phi (0)=\sigma _{i}t-{\frac {l_{i}}{2l_{r}}}\ln \left[1+{\frac {|A(0)|^{2}l_{r}}{2\sigma _{r}}}(e^{2\sigma _{r}t}-1)\right].}$

Como la fase varía linealmente con el tiempo, ${\displaystyle t\gg 1/\sigma _{r}}$ ${\displaystyle \phi \sim (\sigma _{i}/\sigma _{r}-l_{i}/l_{r})\sigma _{r}t.}$

Es instructivo considerar un caso de estabilidad hidrodinámica donde se encuentra que, de acuerdo con el análisis de estabilidad lineal, el flujo es estable cuando e inestable en caso contrario, donde es el número de Reynolds y es el número crítico de Reynolds; un ejemplo familiar que es aplicable aquí es el número crítico de Reynolds, , correspondiente a la transición a la calle de vórtices de Kármán en el problema del flujo que pasa por un cilindro. ^{[9] [10]} La tasa de crecimiento es negativa cuando y es positiva cuando y por lo tanto en la vecindad de , puede escribirse como donde la constante es positiva. Por lo tanto, la amplitud límite está dada por ${\displaystyle Re\leq Re_{\mathrm {cr} }}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }}$ ${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }\approx 50}$ ${\displaystyle \sigma _{r}}$ ${\displaystyle Re<Re_{\mathrm {cr} }}$ ${\displaystyle Re>Re_{\mathrm {cr} }}$ ${\displaystyle Re\rightarrow Re_{\mathrm {cr} }}$ ${\displaystyle \sigma _{r}={\text{const}}.\times (Re-Re_{\mathrm {cr} })}$

${\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\propto {\sqrt {Re-Re_{\mathrm {cr} }}}.}$

Constante de Landau negativa

Cuando la constante de Landau es negativa, , debemos incluir un término negativo de orden superior para detener el aumento ilimitado de la perturbación. En este caso, la ecuación de Landau se convierte en ^[11] ${\displaystyle l_{r}<0}$

${\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4}-\beta _{r}|A|^{6},\quad \beta _{r}>0.}$

La amplitud límite se convierte entonces en

${\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\rightarrow {\frac {|l_{r}|}{2\beta _{r}}}\pm {\sqrt {{\frac {l_{r}^{2}}{4\beta _{r}^{2}}}+{\frac {2|l_{r}|\sigma _{r}}{\beta _{r}}}}},\quad {\text{as}}\quad t\gg 1/\sigma _{r}}$

donde el signo más corresponde a la rama estable y el signo menos a la rama inestable. Existe un valor de un valor crítico donde las dos raíces anteriores son iguales ( ) tal que , indicando que el flujo en la región es metaestable , es decir, en la región metaestable, el flujo es estable a perturbaciones infinitesimales, pero no a perturbaciones de amplitud finita. ${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'}$ ${\displaystyle \sigma _{r}=-|l_{r}|/8\beta _{r}}$ ${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'<Re_{\mathrm {cr} }}$ ${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'<Re<Re_{\mathrm {cr} }}$

Véase también

• Teoría de transición de fase de Landau
• Teoría de Ginzburg-Landau

Referencias

1. Landau, LD (1944). Sobre el problema de la turbulencia. En Dokl. Akad. Nauk SSSR (Vol. 44, No. 8, págs. 339-349).
2. Stuart, JT (1958). Sobre la mecánica no lineal de la estabilidad hidrodinámica. Journal of Fluid Mechanics, 4(1), 1-21.
3. Stuart, JT (1960). Sobre la mecánica no lineal de las perturbaciones ondulatorias en flujos paralelos estables e inestables. Parte 1. El comportamiento básico en el flujo plano de Poiseuille. Journal of Fluid Mechanics, 9(3), 353-370.
4. Watson, J. (1960). Sobre la mecánica no lineal de perturbaciones ondulatorias en flujos paralelos estables e inestables. Parte 2. Desarrollo de una solución para el flujo plano de Poiseuille y para el flujo plano de Couette. Journal of Fluid Mechanics, 9(3), 371-389.
5. Palm, E. (1960). Sobre la tendencia hacia celdas hexagonales en convección estacionaria. Journal of Fluid Mechanics, 8(2), 183-192.
6. Provansal, M., Mathis, C. y Boyer, L. (1987). Inestabilidad de Bénard-von Kármán: regímenes transitorios y forzados. Journal of Fluid Mechanics, 182, 1-22.
7. Drazin, PG y Reid, WH (2004). Estabilidad hidrodinámica. Prensa de la Universidad de Cambridge.
8. Kuramoto, Y. (2012). Oscilaciones químicas, ondas y turbulencia (Vol. 19). Springer Science & Business Media.
9. Schumm, M., Berger, E. y Monkewitz, PA (1994). Oscilaciones autoexcitadas en la estela de cuerpos bidimensionales y su control. Journal of Fluid Mechanics, 271, 17-53.
10. Dušek, J., Le Gal, P. y Fraunié, P. (1994). Un estudio numérico y teórico de la primera bifurcación de Hopf en una estela cilíndrica. Journal of Fluid Mechanics, 264, 59-80.
11. Landau, LD (1959). EM Lifshitz, Mecánica de fluidos. Curso de Física Teórica, 6.