Teoría de Seiberg-Witten

Teoría en la teoría del calibre supersimétrico.

En física teórica , la teoría de Seiberg-Witten es una teoría de calibre supersimétrica con una acción efectiva exacta de baja energía (para grados de libertad sin masa), cuya parte cinética coincide con el potencial de Kähler del espacio de módulos de vacío . Antes de tomar la acción efectiva de baja energía, la teoría se conoce como teoría supersimétrica de Yang-Mills , ya que el contenido del campo es un supermultiplete de un solo vector , análogo al contenido de campo de la teoría de Yang-Mills que es un campo calibre de un solo vector (en teoría de partículas lenguaje) o conexión (en lenguaje geométrico). ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

La teoría fue estudiada en detalle por Nathan Seiberg y Edward Witten (Seiberg y Witten 1994).

Curvas de Seiberg-Witten

En general, los lagrangianos efectivos de las teorías de calibre supersimétrico están determinados en gran medida por sus propiedades holomorfas (en realidad, meromórficas ) y su comportamiento cerca de las singularidades . En la teoría de calibre con supersimetría extendida , el espacio de módulos de vacío es una variedad de Kähler especial y su potencial de Kähler está limitado por las condiciones anteriores. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

En el enfoque original, ^{[1] [2]} de Seiberg y Witten , las restricciones de holomorfia y dualidad eléctrico-magnética son lo suficientemente fuertes como para restringir casi de manera única el prepotencial (una función holomorfa que define la teoría) y, por lo tanto, la métrica del espacio de módulos. de vacua, para teorías con grupo calibre SU(2) . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De manera más general, considere el ejemplo con el grupo de calibre SU(n) . El potencial clásico es

¿Dónde aparece un campo escalar en una expansión de supercampos en la teoría? El potencial debe desaparecer en el espacio de módulos de vacío por definición, pero no es necesario. El valor esperado del vacío se puede rotar en la subálgebra de Cartan , convirtiéndola en una matriz compleja diagonal sin rastros . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$

Debido a que los campos ya no tienen el valor esperado de vacío evanescente, otros campos se vuelven masivos debido al mecanismo de Higgs ( ruptura espontánea de la simetría ). Se integran para encontrar la teoría efectiva del calibre U(1). Su acción de baja energía de cuatro fermiones y dos derivadas está dada por un lagrangiano que puede expresarse en términos de una única función holomorfa en el superespacio de la siguiente manera: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

dónde

y es un supercampo quiral en el superespacio que encaja dentro del multiplete quiral . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El primer término es un cálculo de bucle perturbativo y el segundo es la parte del instante donde se etiquetan los números instantáneos fijos. En teorías cuyos grupos de calibre son productos de grupos unitarios, se pueden calcular exactamente utilizando la localización ^[3] y las técnicas de forma límite. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

El potencial de Kähler es la parte cinética de la acción de baja energía y se escribe explícitamente en términos de como ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De podemos obtener la masa de las partículas BPS . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Una forma de interpretar esto es que estas variables y su dual pueden expresarse como períodos de un diferencial meromórfico en una superficie de Riemann llamada curva de Seiberg-Witten. ${\displaystyle a}$

N = 2 teoría supersimétrica de Yang-Mills

Antes de tomar el límite de baja energía, o infrarrojo, la acción se puede dar en términos de un superespacio lagrangiano con contenido de campo , que es un supercampo vectorial/quiral único en la representación adjunta del grupo de calibre, y una función holomorfa de llamado prepotencial. Entonces el lagrangiano viene dado por ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Psi }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{SYM2}=\mathrm {Im} \mathrm {Tr} \left({\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}\theta d^{2}\vartheta {\mathcal {F}}(\Psi )\right)}$$

^[5] ${\displaystyle \theta ,\vartheta }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La llamada teoría mínima está dada por una elección específica de , ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\psi )={\frac {1}{2}}\tau \Psi ^{2},}$$

${\displaystyle \tau }$

La teoría mínima se puede escribir en el espacio-tiempo de Minkowski como

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{g^{2}}}\mathrm {Tr} \left(-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+g^{2}{\frac {\theta }{32\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }*F^{\mu \nu }+(D_{\mu }\phi )^{\dagger }(D^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}[\phi ,\phi ^{\dagger }]^{2}-i\lambda \sigma ^{\mu }D_{\mu }{\bar {\lambda }}-i{\bar {\psi }}{\bar {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\psi -i{\sqrt {2}}[\lambda ,\psi ]\phi ^{\dagger }-i{\sqrt {2}}[{\bar {\lambda }},{\bar {\psi }}]\phi \right)}$$

${\displaystyle A_{\mu },\lambda ,\psi ,\phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Geometría del espacio de módulos.

Para esta sección fije el grupo de calibres como . Una solución de vacío de baja energía es un supercampo vectorial que resuelve las ecuaciones de movimiento del Lagrangiano de baja energía, para el cual la parte escalar tiene potencial de fuga, que como se mencionó anteriormente se cumple si (lo que significa exactamente es un operador normal y, por lo tanto, diagonalizable) . El escalar se transforma en el adjunto, es decir, se puede identificar como un elemento de la complejización de . Por lo tanto , no tiene rastros y es diagonalizable, por lo que se puede rotar el calibre a (está en la clase de conjugación de) una matriz de la forma (donde está la tercera matriz de Pauli ) para . Sin embargo, y proporcione matrices conjugadas (correspondientes al hecho de que el grupo Weyl de es ) para que ambos etiqueten el mismo vacío. Por lo tanto, la cantidad invariante de calibre que etiqueta la vacua no equivalente es . El espacio de módulos (clásico) de vacío es una variedad compleja unidimensional (superficie de Riemann) parametrizada por , aunque la métrica de Kähler se da en términos de como ${\displaystyle \mathrm {SU(2)} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [\phi ,\phi ^{\dagger }]=0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}a\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle u=a^{2}/2=\mathrm {Tr} \phi ^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle ds^{2}=\mathrm {Im} {\frac {\partial ^{2}{\mathcal {F}}}{\partial a^{2}}}dad{\bar {a}}=\mathrm {Im} da_{D}d{\bar {a}}=-{\frac {i}{2}}(da_{D}d{\bar {a}}-dad{\bar {a}}_{D})=:\mathrm {Im} \tau (a)dad{\bar {a}},}$$

dónde . Esto no es invariante bajo un cambio arbitrario de coordenadas, pero debido a la simetría en y , el cambio a coordenadas locales da una métrica similar a la forma final pero con una función armónica diferente que reemplaza . El cambio de las dos coordenadas puede interpretarse como un caso de dualidad eléctrico-magnética (Seiberg y Witten 1994). ${\displaystyle a_{D}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{D}}$ ${\displaystyle a_{D}}$ ${\displaystyle \mathrm {Im} \tau (a)}$

Bajo el supuesto mínimo de suponer que sólo hay tres singularidades en el espacio de módulos en y , con datos de monodromía prescritos en cada punto derivados de argumentos de la teoría cuántica de campos, se encontró que el espacio de módulos es , donde es el semiplano hiperbólico y es el segundo subgrupo principal de congruencia , el subgrupo de matrices congruentes con 1 mod 2, generado por ${\displaystyle u=-1,+1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle H/\Gamma (2)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma (2)<\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle M_{\infty }={\begin{pmatrix}-1&2\\0&-1\end{pmatrix}},M_{1}={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}},M_{-1}={\begin{pmatrix}-1&2\\-2&3\end{pmatrix}}.}$$

dominio fundamentalgrupo modularcurvas elípticas ${\displaystyle E_{u}}$

$${\displaystyle y^{2}=(x-1)(x+1)(x-u),}$$

curvas de Seiberg-Witten ${\displaystyle u=-1,+1}$ ${\displaystyle \infty }$

Gráfica de función métrica en espacio de módulos parametrizado por , con singularidades evidentes en . La función se define utilizando la integral elíptica completa de primer tipo (Hunter-Jones 2012). ${\displaystyle \mathrm {Im} \tau (u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=-1,+1}$ ${\displaystyle \tau }$

Condensación y confinamiento monopolares

La teoría exhibe fenómenos físicos que involucran y vinculan monopolos magnéticos , confinamiento , una brecha de masa alcanzada y una dualidad fuerte-débil, descrita en la sección 5.6 de Seiberg y Witten (1994). El estudio de estos fenómenos físicos también motivó la teoría de las invariantes de Seiberg-Witten .

La acción de baja energía se describe mediante el multiplete quiral con grupo calibre , el calibre residual ininterrumpido de la simetría original. Esta descripción está débilmente acoplada para los grandes , pero fuertemente acoplada para los pequeños . Sin embargo, en el punto fuertemente acoplado la teoría admite una descripción dual que está débilmente acoplada. La teoría dual tiene un contenido de campo diferente, con dos supercampos quirales , y el campo de calibre el fotón dual , con un potencial que da ecuaciones de movimiento que son las ecuaciones monopolo de Witten , también conocidas como ecuaciones de Seiberg-Witten en los puntos críticos donde los monopolos se convierten. sin masa. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle M,{\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{D}}$ ${\displaystyle u=\pm u_{0}}$

En el contexto de las invariantes de Seiberg-Witten, se puede considerar que las invariantes de Donaldson provienen de un giro de la teoría original al dar una teoría de campos topológicos . Por otro lado, las invariantes de Seiberg-Witten surgen de torcer la teoría dual en . En teoría, tales invariantes deberían recibir contribuciones de todos los finitos , pero de hecho pueden localizarse en los dos puntos críticos, y los invariantes topológicos pueden leerse desde espacios de solución a las ecuaciones monopolares. ^[6] ${\displaystyle u=\infty }$ ${\displaystyle u=\pm u_{0}}$ ${\displaystyle u}$

Relación con sistemas integrables

La geometría especial de Kähler en el espacio de módulos de vacío en la teoría de Seiberg-Witten se puede identificar con la geometría de la base de un sistema complejo completamente integrable . La fase total de este sistema complejo completamente integrable se puede identificar con el espacio de módulos de vacío de la teoría 4d compactado en un círculo. Eric D'Hoker y DH Phong han revisado la relación entre la teoría de Seiberg-Witten y los sistemas integrables . ^[7] Véase Sistema Hitchin .

Prepotencial de Seiberg-Witten mediante conteo instantáneo

Utilizando técnicas de localización supersimétrica, se puede determinar explícitamente la función de partición instantónica de la teoría súper Yang-Mills. El prepotencial de Seiberg-Witten se puede extraer utilizando el enfoque de localización ^[8] de Nikita Nekrasov . Surge en el límite del espacio plano , , de la función de partición de la teoría sujeta al llamado fondo. Este último es un trasfondo específico de supergravedad de cuatro dimensiones . Puede diseñarse formalmente elevando la teoría súper Yang-Mills a seis dimensiones, luego compactándola en dos toros , mientras se retuerce el espacio-tiempo de cuatro dimensiones alrededor de dos ciclos no contráctiles . Además, se tuercen los fermiones para producir espinores covariantemente constantes que generan supersimetrías ininterrumpidas. Los dos parámetros del fondo corresponden a los ángulos de rotación del espacio-tiempo. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}\to 0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$

En el fondo Ω, todos los modos distintos de cero se pueden integrar, por lo que la integral de ruta con la condición de frontera en se puede expresar como una suma sobre el número de instantes de los productos y proporciones de los determinantes fermiónicos y bosónicos , produciendo el llamado Función de partición de Nekrasov . En el límite donde se acerca a 0, esta suma está dominada por un punto de silla único . Por otro lado, cuando se acerca a 0, ${\displaystyle \phi \to a}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$

sostiene.

Ver también

• Teoría de Ginzburg-Landau
• Teoría de Donaldson

Referencias

1. Seiberg, Nathan; Witten, Edward (1994). "Dualidad eléctrico-magnética, condensación monopolar y confinamiento en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 2". Núcleo. Física. B . 426 (1): 19–52. arXiv : hep-th/9407087 . Código bibliográfico : 1994NuPhB.426...19S. doi :10.1016/0550-3213(94)90124-4. S2CID  14361074.
2. Seiberg, Nathan; Witten, Edward (1994). "Monopolos, dualidad y simetría quiral rompiendo en N = 2 QCD supersimétrico". Núcleo. Física. B . 431 (3): 484–550. arXiv : hep-th/9408099 . Código bibliográfico : 1994NuPhB.431..484S. doi :10.1016/0550-3213(94)90214-3. S2CID  17584951.
3. Nekrasov, Nikita (2004). "Prepotencial de Seiberg-Witten del conteo instantáneo". Avances en Física Teórica y Matemática . 7 (5): 831–864. arXiv : hep-th/0206161 . doi :10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID  2285041.
4. Nekrasov, Nikita; Okounkov, Andrei (2003). "Teoría de Seiberg-Witten y particiones aleatorias". Prog. Matemáticas . Progreso en Matemáticas. 244 : 525–596. arXiv : hep-th/0306238 . Código Bib : 2003hep.th....6238N. doi :10.1007/0-8176-4467-9_15. ISBN 978-0-8176-4076-7. S2CID  14329429.
5. Seiberg, Nathan (mayo de 1988). "Supersimetría y funciones beta no perturbativas". Letras de Física B. 206 (1): 75–80. doi :10.1016/0370-2693(88)91265-8.
6. Witten, Edward (1994). "Monopolos y cuatro colectores". Cartas de investigación matemática . 1 (6): 769–796. arXiv : hep-th/9411102 . doi :10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13.
7. D'Hoker, Eric; Phong, DH (29 de diciembre de 1999). "Conferencias sobre teoría supersimétrica de Yang-Mills y sistemas integrables". Física Teórica a finales del Siglo XX . págs. 1-125. arXiv : hep-th/9912271 . Código Bib : 1999hep.th...12271D. doi :10.1007/978-1-4757-3671-7_1. ISBN 978-1-4419-2948-8. S2CID  117202391.
8. Nekrasov, Nikita (2004). "Prepotencial de Seiberg-Witten del conteo instantáneo". Avances en Física Teórica y Matemática . 7 (5): 831–864. arXiv : hep-th/0206161 . doi :10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID  2285041.

• Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.( Ver Sección 7.2 )
• Hunter-Jones, Nicholas R. (septiembre de 2012). Teoría de Seiberg-Witten y dualidad en N = 2 teorías de calibre supersimétrico (Maestría). Colegio Imperial de Londres.