Solución de campo escalar

Tipo de solución exacta en relatividad general de las ecuaciones de campo de Einstein

En la relatividad general , una solución de campo escalar es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que el campo gravitacional se debe enteramente a la energía del campo y al momento de un campo escalar . Tal campo puede o no tener masa , y se puede considerar que tiene un acoplamiento de curvatura mínimo , o alguna otra opción, como un acoplamiento conforme .

Definición

En la relatividad general, el escenario geométrico de los fenómenos físicos es una variedad de Lorentz , que se interpreta físicamente como un espacio-tiempo curvo, y que se especifica matemáticamente definiendo un tensor métrico (o definiendo un campo de marco ). El tensor de curvatura de esta variedad y cantidades asociadas como el tensor de Einstein , están bien definidos incluso en ausencia de cualquier teoría física, pero en la relatividad general adquieren una interpretación física como manifestaciones geométricas del campo gravitacional . ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$ ${\displaystyle G_{ab}}$

Además, debemos especificar un campo escalar dando una función . Esta función debe satisfacer dos condiciones siguientes: ${\displaystyle \psi }$

1. La función debe satisfacer la ecuación de onda libre de fuente (espacio-tiempo curvo) , ${\displaystyle g^{ab}\psi _{;ab}=0}$
2. El tensor de Einstein debe coincidir con el tensor de tensión-energía para el campo escalar, que en el caso más simple, un campo escalar sin masa mínimamente acoplado , se puede escribir

${\displaystyle G_{ab}=\kappa \left(\psi _{;a}\psi _{;b}-{\frac {1}{2}}\psi _{;m}\psi ^{;m}g_{ab}\right)}$.

Ambas condiciones se derivan de variar la densidad lagrangiana para el campo escalar, que en el caso de un campo escalar sin masa mínimamente acoplado es

${\displaystyle L=-g^{mn}\,\psi _{;m}\,\psi _{;n}}$

Aquí,

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta \psi }}=0}$

da la ecuación de onda, mientras que

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta g^{ab}}}=0}$

da la ecuación de Einstein (en el caso en que la energía del campo escalar es la única fuente del campo gravitacional).

Interpretación física

Los campos escalares a menudo se interpretan como aproximaciones clásicas, en el sentido de teoría de campos efectivos , a algún campo cuántico. En la relatividad general, el campo de quintaesencia especulativo puede aparecer como un campo escalar. Por ejemplo, un flujo de piones neutros puede, en principio, modelarse como un campo escalar sin masa mínimamente acoplado.

tensor de einstein

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de marco en lugar de la base de coordenadas a menudo se denominan componentes físicos , porque estos son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso especial de un campo escalar sin masa mínimamente acoplado , un marco adaptado

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(el primero es un campo vectorial unitario temporal , los últimos tres son campos vectoriales unitarios espaciales ) siempre se puede encontrar en el que el tensor de Einstein toma la forma simple

${\displaystyle G_{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \sigma \,\left[{\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$¿Dónde está la densidad de energía del campo escalar? ${\displaystyle \sigma }$

Valores propios

El polinomio característico del tensor de Einstein en una solución de campo escalar sin masa mínimamente acoplada debe tener la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=(\lambda +8\pi \sigma )^{3}\,(\lambda -8\pi \sigma )}$

En otras palabras, tenemos un valor propio simple y un valor propio triple, siendo cada uno negativo del otro. Multiplicando y usando métodos de base de Gröbner , encontramos que los siguientes tres invariantes deben desaparecer de manera idéntica:

${\displaystyle a_{2}=0,\;\;a_{1}^{3}+4a_{3}=0,\;\;a_{1}^{4}+16a_{4}=0}$

Usando las identidades de Newton , podemos reescribirlas en términos de las huellas de las potencias. Encontramos eso

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;t_{3}=t_{1}^{3}/4,\;t_{4}=t_{1}^{4}/4}$

Podemos reescribir esto en términos de gimnasia índice como criterio manifiestamente invariante:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=R^{3}/4}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}/4}$

Ejemplos

Las soluciones de campo escalar individuales notables incluyen

• la solución de campo escalar de Janis-Newman-Winicour, que es la única solución de campo escalar mínimamente acoplado, estática y esféricamente simétrica .

Ver también

• Soluciones exactas en relatividad general.
• grupo lorentz

Referencias

• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C. y Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7.
• Hawking, SW y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09906-4.Consulte la sección 3.3 para conocer el tensor tensión-energía de un campo escalar mínimamente acoplado.