Ecuación de Korteweg-De Vries

Modelo matemático de olas en una superficie de agua poco profunda.

Solución de onda cnoidal a la ecuación de Korteweg-De Vries, en términos del cuadrado de la función elíptica de Jacobi cn (y con valor del parámetro m = 0,9 ).

Solución numérica de la ecuación de KdV u _t + u u _x + δ ² u _{x x x} = 0 ( δ = 0.022 ) con una condición inicial u ( x , 0) = cos(π x ) . La evolución temporal se realizó mediante el esquema Zabusky-Kruskal. ^[1] La onda coseno inicial evoluciona hacia un tren de ondas de tipo solitario.

Solución de dos solitones a la ecuación KdV

En matemáticas , la ecuación de Korteweg-De Vries (KdV) es una ecuación diferencial parcial (PDE) que sirve como modelo matemático de olas en superficies de aguas poco profundas. Es particularmente notable como el ejemplo prototípico de una PDE integrable y exhibe muchos de los comportamientos esperados para una PDE integrable, como una gran cantidad de soluciones explícitas, en particular soluciones de solitones , y una cantidad infinita de cantidades conservadas , a pesar de la no linealidad que normalmente hace que las PDE sean intratables. El KdV se puede resolver mediante el método de dispersión inversa (ISM). ^[2] De hecho, Gardner , Greene , Kruskal y Miura desarrollaron el método clásico de dispersión inversa para resolver la ecuación de KdV.

La ecuación KdV fue introducida por primera vez por Boussinesq  (1877, nota al pie de la página 360) y redescubierta por Diederik Korteweg y Gustav de Vries  (1895), ^{[3] [4]} quienes encontraron la solución más simple, la solución de un solitón. La comprensión de la ecuación y el comportamiento de las soluciones avanzó enormemente gracias a las simulaciones por computadora de Zabusky y Kruskal en 1965 y luego al desarrollo de la transformada de dispersión inversa en 1967.

Definición

La ecuación KdV es una ecuación diferencial parcial dispersiva , no lineal, para una función de dos variables reales adimensionales, y que son proporcionales al espacio y al tiempo respectivamente: ^[5] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

con y que denota derivadas parciales con respecto a y . Para modelar olas en aguas poco profundas, es el desplazamiento en altura de la superficie del agua desde su altura de equilibrio. ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$

La constante delante del último término es convencional pero no tiene gran importancia: multiplicar , y por constantes se puede usar para hacer que los coeficientes de cualquiera de los tres términos sean iguales a cualquier constante distinta de cero. ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$

Introduce dispersión mientras que es un término de advección . ${\displaystyle \partial _{x}^{3}\phi }$ ${\displaystyle \phi \partial _{x}\phi }$

Soluciones Solitón

Solución de un solitón

Considere soluciones en las que una forma de onda fija (dada por ) mantiene su forma mientras viaja hacia la derecha con velocidad de fase . Tal solución viene dada por . Sustituyéndolo en la ecuación KdV se obtiene la ecuación diferencial ordinaria ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)}$

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

o, integrándose con respecto a , ${\displaystyle X}$

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A}$

donde es una constante de integración . Al interpretar la variable independiente anterior como una variable de tiempo virtual, esto significa que satisface la ecuación de movimiento de Newton de una partícula de masa unitaria en un potencial cúbico. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}$.

Si

${\displaystyle A=0,\,c>0}$

entonces la función potencial tiene un máximo local en , hay una solución en la que comienza en este punto en el 'tiempo virtual' , eventualmente se desliza hacia abajo hasta el mínimo local , luego retrocede por el otro lado, alcanza la misma altura, luego invierte la dirección y termina hasta el máximo local nuevamente en el momento . En otras palabras, enfoques como . Ésta es la forma característica de la solución de onda solitaria . ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\to -\infty }$

Más precisamente, la solución es

${\displaystyle \phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]}$

donde representa la secante hiperbólica y es una constante arbitraria. ^[6] Esto describe un solitón que se mueve hacia la derecha con velocidad . ${\displaystyle \operatorname {sech} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$

solución de N-solitón

Existe una expresión conocida para una solución que es una solución -solitón, que en tiempos tardíos se resuelve en solitones individuales separados. ^[7] La ​​solución depende de un conjunto de parámetros positivos decrecientes y un conjunto de parámetros distinto de cero . La solución se da en la forma ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}$ ${\displaystyle \beta _{1},\cdots ,\beta _{N}}$

$${\displaystyle \phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} [\mathrm {det} A(x,t)]}$$

${\displaystyle A(x,t)}$ ${\displaystyle A_{nm}(x,t)=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}e^{8\chi _{n}^{3}t}e^{-(\chi _{n}+\chi _{m})x}}{\chi _{n}+\chi _{m}}}.}$

Esto se obtiene utilizando el método de dispersión inversa.

Integrales de movimiento

La ecuación KdV tiene infinitas integrales de movimiento (Miura, Gardner y Kruskal 1968), que no cambian con el tiempo. Se pueden dar explícitamente como

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$

donde los polinomios se definen recursivamente por ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}}$

Las primeras integrales de movimiento son:

• la masa ${\displaystyle \int \phi \,\mathrm {d} x,}$
• el momento ${\displaystyle \int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,}$
• la energía . ${\displaystyle \int \left[2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\right]\,\mathrm {d} x}$

Sólo los términos impares dan como resultado integrales de movimiento no triviales (es decir, distintas de cero) (Dingemans 1997, p. 733). ${\displaystyle P_{2n+1}}$

pares laxos

La ecuación de KdV

${\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }$

se puede reformular como la ecuación de Lax

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,}$

con un operador de Sturm-Liouville : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-3\left[2\phi \,\partial _{x}+\partial _{x}\phi \right]\end{aligned}}}$

y esto explica el número infinito de primeras integrales de la ecuación KdV (Lax 1968).

De hecho, es el operador de Schrödinger independiente del tiempo (sin tener en cuenta las constantes) con potencial . Se puede demostrar que debido a esta formulación de Lax, de hecho los valores propios no dependen de . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi (x,t)}$ ${\displaystyle t}$

Representación de curvatura cero

Configuración de los componentes de la conexión Lax para que sean

$${\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle \partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+[L_{x},L_{t}]=0.}$$

Principio de mínima acción

La ecuación de Korteweg-De Vries

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,}$

es la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange derivada de la densidad lagrangiana , ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$

con definido por ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Derivación de ecuaciones de Euler-Lagrange

Dado que el lagrangiano (ecuación (1)) contiene segundas derivadas, la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para este campo es

donde es una derivada con respecto al componente. ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \mu }$

Está implícita una suma, por lo que la ecuación (2) realmente dice: ${\displaystyle \mu }$

Evalúe los cinco términos de la ecuación (3) reemplazando la ecuación (1),

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0}$

${\displaystyle \partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0}$

Recuerde la definición , así que úsela para simplificar los términos anteriores. ${\displaystyle \phi =\partial _{x}\psi }$

${\displaystyle \partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi }$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi }$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi }$

Finalmente, vuelva a insertar estos tres términos distintos de cero en la ecuación (3) para ver

${\displaystyle \left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,}$

cual es exactamente la ecuación de KdV

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.}$

Asintóticas de largo tiempo

Se puede demostrar que cualquier solución suave que se desintegre lo suficientemente rápido eventualmente se dividirá en una superposición finita de solitones que se desplazan hacia la derecha más una parte dispersiva en desintegración que se desplaza hacia la izquierda. Esto fue observado por primera vez por Zabusky y Kruskal (1965) y puede probarse rigurosamente utilizando el análisis no lineal de descenso más pronunciado para problemas oscilatorios de Riemann-Hilbert . ^[8]

Historia

La historia de la ecuación KdV comenzó con los experimentos de John Scott Russell en 1834, seguidos por las investigaciones teóricas de Lord Rayleigh y Joseph Boussinesq alrededor de 1870 y, finalmente, Korteweg y De Vries en 1895.

La ecuación de KdV no se estudió mucho después de esto hasta que Zabusky y Kruskal (1965) descubrieron numéricamente que sus soluciones parecían descomponerse en tiempos prolongados en una colección de "solitones": ondas solitarias bien separadas. Además, la forma de los solitones parece casi no verse afectada al pasar unos a través de otros (aunque esto podría provocar un cambio en su posición). También hicieron la conexión con experimentos numéricos anteriores de Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou al mostrar que la ecuación KdV era el límite continuo del sistema FPUT . El desarrollo de la solución analítica mediante la transformada de dispersión inversa fue realizado en 1967 por Gardner, Greene, Kruskal y Miura. ^{[9] [10]}

Actualmente se considera que la ecuación de KdV está estrechamente relacionada con el principio de Huygens . ^{[11] [12]}

Aplicaciones y conexiones

La ecuación KdV tiene varias conexiones con problemas físicos. Además de ser la ecuación rectora de la cuerda en el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou en el límite del continuo, describe aproximadamente la evolución de ondas largas y unidimensionales en muchos entornos físicos, entre ellos:

• olas en aguas poco profundas con fuerzas restauradoras débilmente no lineales ,
• ondas internas largas en un océano estratificado por densidad ,
• ondas acústicas iónicas en un plasma ,
• Ondas acústicas en una red cristalina .

La ecuación de KdV también se puede resolver utilizando la transformada de dispersión inversa , como las aplicadas a la ecuación de Schrödinger no lineal .

Ecuación de KdV y ecuación de Gross-Pitaevskii

Considerando las soluciones simplificadas de la forma.

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}$

obtenemos la ecuación de KdV como

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

o

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}$

Integrando y tomando el caso especial en el que la constante de integración es cero, tenemos:

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}$

que es el caso especial de la ecuación estacionaria generalizada de Gross-Pitaevskii (GPE) ${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}$

Por lo tanto, para cierta clase de soluciones de GPE generalizado ( para el condensado unidimensional verdadero y cuando se usa la ecuación tridimensional en una dimensión), dos ecuaciones son una. Además, tomando el caso del signo menos y el real, se obtiene una autointeracción atractiva que debería producir un solitón brillante. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \lambda =4}$ ${\displaystyle \lambda =2}$ ${\displaystyle \lambda =3}$ ${\displaystyle \phi }$

Variaciones

Se han estudiado muchas variaciones diferentes de las ecuaciones de KdV. Algunos se enumeran en la siguiente tabla.

Ver también

• Ecuación de advección-difusión
• Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony
• Aproximación de Boussinesq (ondas de agua)
• onda cnoidal
• Dispersión (ondas de agua)
• Ecuación sin dispersión
• Ecuación de Korteweg-De Vries de quinto orden
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• Jerarquía KdV
• Ecuación de KdV-Burgers modificada
• Ecuación de Novikov-Veselov
• ecuación de shamel
• número de ursell
• Solitón vectorial

Notas

1. Zabusky, Nueva Jersey; Kruskal, MD (9 de agosto de 1965). "Interacción de" solitones "en un plasma sin colisiones y recurrencia de estados iniciales". Cartas de revisión física . 15 (6): 240–243. Código bibliográfico : 1965PhRvL..15..240Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
2. Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martín D.; Miura, Robert M. (6 de noviembre de 1967). "Método para resolver la ecuación de Korteweg-deVries". Cartas de revisión física . 19 (19): 1095–1097. Código bibliográfico : 1967PhRvL..19.1095G. doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1095 . Consultado el 14 de julio de 2023 .
3. Korteweg, DJ; de Vries, G. (mayo de 1895). "XLI. Sobre el cambio de forma de ondas largas que avanzan en un canal rectangular, y sobre un nuevo tipo de ondas largas estacionarias". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 39 (240): 422–443. doi :10.1080/14786449508620739.
4. Darrigol, O. (2005), Mundos de flujo: una historia de la hidrodinámica desde Bernoullis hasta Prandtl, Oxford University Press, p. 84, ISBN 9780198568438
5. Véase, por ejemplo , Newell, Alan C. (1985), Solitones en matemáticas y física , SIAM, ISBN . 0-89871-196-7, pag. 6. O Lax (1968), sin el factor 6.
6. Alexander F. Vakakis (31 de enero de 2002). Modos normales y localización en sistemas no lineales. Saltador. págs. 105-108. ISBN 978-0-7923-7010-9. Consultado el 27 de octubre de 2012 .
7. Dunajski, Maciej (2015). Solitones, instantones y tornadores (1. publ., corregida en la edición de 2015). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0198570639.
8. Véase, por ejemplo, Grunert y Teschl (2009)
9. Gardner, CS; Greene, JM; Kruskal, MD; Miura, RM (1967), "Método para resolver la ecuación de Korteweg-De Vries", Physical Review Letters , 19 (19): 1095–1097, Bibcode :1967PhRvL..19.1095G, doi :10.1103/PhysRevLett.19.1095.
10. Dauxois, Thierry; Peyrard, Michel (2006), Física de solitones , Cambridge University Press, ISBN 0-521-85421-0
11. Fabio ACC Chalub y Jorge P. Zubelli, "Principio de Huygens para operadores hiperbólicos y jerarquías integrables"
12. Berest, Yuri Y.; Loutsenko, Igor M. (1997). "Principio de Huygens en espacios de Minkowski y soluciones de Solitón de la ecuación de Korteweg-De Vries". Comunicaciones en Física Matemática . 190 (1): 113-132. arXiv : solv-int/9704012 . Código Bib : 1997CMaPh.190..113B. doi :10.1007/s002200050235. S2CID  14271642.
13. Shu, Jian-Jun (1987). "La solución analítica adecuada de la ecuación de Korteweg-De Vries-Burgers". Revista de Física A: Matemática y General . 20 (2): 49–56. arXiv : 1403.3636 . Código Bib : 1987JPhA...20L..49J. doi :10.1088/0305-4470/20/2/002.

Referencias

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• Drazin, PG (1983), Solitones, Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 85, Cambridge: Cambridge University Press, págs. viii+136, doi :10.1017/CBO9780511662843, ISBN 0-521-27422-2, señor  0716135
• Grunert, Katrin; Teschl, Gerald (2009), "Asintóticas de largo tiempo para la ecuación de Korteweg-De Vries mediante el descenso más pronunciado no lineal", Matemáticas. Física. Anal. Geom. , vol. 12, núm. 3, págs. 287–324, arXiv : 0807.5041 , Bibcode : 2009MPAG...12..287G, doi : 10.1007/s11040-009-9062-2, S2CID  8740754
• Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2003), KdV & KAM , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], vol. 45, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-08054-2, ISBN 978-3-540-02234-3, SEÑOR  1997070
• Korteweg, DJ; De Vries, G. (1895), "Sobre el cambio de forma de ondas largas que avanzan en un canal rectangular y sobre un nuevo tipo de ondas largas estacionarias", Revista Filosófica , 39 (240): 422–443, doi :10.1080 /14786449508620739
• Lax, P. (1968), "Integrales de ecuaciones no lineales de evolución y ondas solitarias", Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5): 467–490, doi :10.1002/cpa.3160210503
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• Takhtadzhyan, LA (2001) [1994], "Ecuación de Korteweg-de Vries", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

• Ecuación de Korteweg-De Vries en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Korteweg-De Vries en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.
• Ecuación cilíndrica de Korteweg-De Vries en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación modificada de Korteweg-De Vries en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Korteweg-De Vries modificada en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.
• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Korteweg-deVries". MundoMatemático .
• Derivación de la ecuación de Korteweg-De Vries para un canal estrecho.
• Solución de tres solitones de la ecuación KdV – [1]
• Solución de tres solitones (inestables) de la ecuación KdV – [2]
• Los aspectos matemáticos de las ecuaciones del tipo Korteweg-De Vries se analizan en Dispersive PDE Wiki.
• Solitones de la ecuación de Korteweg-De Vries por SM Blinder, The Wolfram Demonstrations Project .
• Solitones y ecuaciones de ondas no lineales