Ecuación de Euler-Lagrange

Ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe el movimiento de un sistema mecánico

En el cálculo de variaciones y la mecánica clásica , las ecuaciones de Euler-Lagrange ^{[1] son ​​un sistema de} ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios de la función de acción dada . Las ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange .

Debido a que una función diferenciable es estacionaria en sus extremos locales , la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dada una función, se busca la función que la minimiza o maximiza. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo , que establece que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local su derivada es cero. En mecánica lagrangiana , según el principio de acción estacionaria de Hamilton , la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones de la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler suelen denominarse ecuaciones de Lagrange . En mecánica clásica , ^[2] es equivalente a las leyes del movimiento de Newton ; de hecho, las ecuaciones de Euler-Lagrange producirán las mismas ecuaciones que las leyes de Newton. Esto es particularmente útil al analizar sistemas cuyos vectores de fuerza son particularmente complicados. Tiene la ventaja de que toma la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas y se adapta mejor a las generalizaciones. En la teoría clásica de campos existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo .

Historia

La ecuación de Euler-Lagrange se desarrolló en relación con sus estudios del problema de la tautocrona .

La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautocrona , que consiste en determinar una curva en la que una partícula ponderada caerá hasta un punto fijo en un tiempo fijo, independientemente del punto de partida.

Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron aún más el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica , lo que condujo a la formulación de la mecánica lagrangiana . Su correspondencia finalmente condujo al cálculo de variaciones , un término acuñado por el propio Euler en 1766. ^[3]

Declaración

Sea un sistema dinámico real con grados de libertad. Aquí está el espacio de configuración y el lagrangiano , es decir, una función real suave tal que y es un "vector de velocidad" en -dimensional. (Para aquellos familiarizados con la geometría diferencial , es una variedad suave , y donde es el fibrado tangente de ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t)\in X,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X).}$

Sea el conjunto de caminos suaves para los cuales y ${\displaystyle {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$

La acción funcional se define mediante ${\displaystyle S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.}$$

Un camino es un punto estacionario si y sólo si ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.}$

Aquí, es la derivada temporal de Cuando decimos punto estacionario, nos referimos a un punto estacionario de con respecto a cualquier pequeña perturbación en . Vea las pruebas a continuación para obtener detalles más rigurosos. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

Derivación de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange

La derivación de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange es una de las demostraciones clásicas de las matemáticas . Se basa en el lema fundamental del cálculo de variaciones .

Deseamos encontrar una función que satisfaga las condiciones de contorno , , y que extreme la función ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)=A}$ ${\displaystyle f(b)=B}$ $${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

Suponemos que es dos veces continuamente diferenciable. ^[4] Se puede utilizar una suposición más débil, pero la prueba se vuelve más difícil. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle L}$

Si se extrema el sujeto funcional a las condiciones de contorno, entonces cualquier ligera perturbación que preserve los valores de contorno debe aumentar (si es un minimizador) o disminuir (si es un maximizador). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$

Sea el resultado de tal perturbación de , donde es pequeño y es una función diferenciable que satisface . Luego defina ${\displaystyle f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ $${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

Ahora deseamos calcular la derivada total de con respecto a ε . ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}}$$

La tercera línea se desprende del hecho de que no depende de , es decir . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0}$

Cuando , tiene un valor extremo , de modo que ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}$$

El siguiente paso es utilizar la integración por partes en el segundo término del integrando, obteniendo $${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .}$$

Utilizando las condiciones de contorno , ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}$$

Aplicando el lema fundamental del cálculo de variaciones ahora obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.}$$

Derivación alternativa de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange

Dado un funcional con las condiciones de contorno y , procedemos aproximando la curva extremal mediante una línea poligonal con segmentos y pasando al límite a medida que el número de segmentos crece arbitrariamente. $${\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t}$$ ${\displaystyle C^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle y(a)=A}$ ${\displaystyle y(b)=B}$ ${\displaystyle n}$

Dividamos el intervalo en segmentos iguales con puntos finales y sea . En lugar de una función suave, consideramos la línea poligonal con vértices , donde y . En consecuencia, nuestra función se convierte en una función real de variables dadas por ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b}$ ${\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle y_{0}=A}$ ${\displaystyle y_{n}=B}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}$$

Los extremos de esta nueva función definida en los puntos discretos corresponden a los puntos donde ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}$$

Nótese que el cambio de afecta a L no sólo en m sino también en m-1 para la derivada del tercer argumento. ${\displaystyle y_{m}}$ $${\displaystyle L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}$$ $${\displaystyle L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}$$

Evaluando la derivada parcial se obtiene $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}$$

Dividiendo la ecuación anterior por da y tomando el límite como del lado derecho de esta expresión se obtiene ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}$$ ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ $${\displaystyle L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.}$$

El lado izquierdo de la ecuación anterior es la derivada funcional de la función . Una condición necesaria para que una función diferenciable tenga un extremo en alguna función es que su derivada funcional en esa función se anule, lo que se cumple en la última ecuación. ${\displaystyle \delta J/\delta y}$ ${\displaystyle J}$

Ejemplo

Un ejemplo estándar ^{[ cita requerida ]} es encontrar la función de valor real y ( x ) en el intervalo [ a , b ], tal que y ( a ) = c y y ( b ) = d , para el cual la longitud de la trayectoria a lo largo de la curva trazada por y es lo más corta posible.

${\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}$

la función integrando es . ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$

Las derivadas parciales de L son:

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$

Sustituyéndolos en la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$

es decir, la función debe tener una primera derivada constante, y por lo tanto su gráfica es una línea recta .

Generalizaciones

Función única de una sola variable con derivadas superiores

Los valores estacionarios de la función

${\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}$

se puede obtener de la ecuación de Euler-Lagrange ^[5]

${\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}$

en condiciones de contorno fijas para la función misma así como para las primeras derivadas (es decir, para todos los ). Los valores de punto final de la derivada más alta permanecen flexibles. ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

Varias funciones de una sola variable con una sola derivada

Si el problema implica encontrar varias funciones ( ) de una sola variable independiente ( ) que definen un extremo de la función ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}}$

Función única de varias variables con derivada única

Una generalización multidimensional surge al considerar una función sobre n variables. Si es una superficie, entonces ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

se extrema solo si f satisface la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}$

Cuando n = 2 y funcional es la energía funcional , esto conduce al problema de superficie mínima de la película de jabón . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Varias funciones de varias variables con derivada única

Si hay varias funciones desconocidas por determinar y varias variables tales que

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

El sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange es ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}$

Función única de dos variables con derivadas mayores

Si hay una única función desconocida f a determinar que depende de dos variables x ₁ y x ₂ y si la funcional depende de derivadas superiores de f hasta el n -ésimo orden tales que

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

entonces la ecuación de Euler-Lagrange es ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}$

que puede representarse brevemente como:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

donde son índices que abarcan el número de variables, es decir, aquí van de 1 a 2. Aquí la suma sobre los índices solo se realiza para evitar contar la misma derivada parcial varias veces, por ejemplo aparece solo una vez en la ecuación anterior. ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{12}=f_{21}}$

Varias funciones de varias variables con derivadas superiores

Si hay p funciones desconocidas f _i a determinar que dependen de m variables x ₁ ... x _m y si la funcional depende de derivadas superiores de f _i hasta n -ésimo orden tales que

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

donde son índices que abarcan el número de variables, es decir, van de 1 a m. Entonces la ecuación de Euler-Lagrange es ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

donde la suma sobre la derivada evita contar varias veces la misma derivada, tal como en la subsección anterior. Esto se puede expresar de forma más compacta como ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

Generalización a variedades

Sea una variedad suave y sea el espacio de funciones suaves . Entonces, para funcionales de la forma ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle f\colon [a,b]\to M}$ ${\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}$

donde es el Lagrangiano, la afirmación es equivalente a la afirmación de que, para todo , cada trivialización del marco de coordenadas de un vecindario de produce las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle L\colon TM\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0}$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$ ${\displaystyle (x^{i},X^{i})}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)}$ ${\displaystyle \dim M}$

${\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange también se pueden escribir en forma libre de coordenadas como ^[7]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL}$

donde es la forma 1 de los momentos canónicos correspondiente al lagrangiano . El campo vectorial que genera las traslaciones temporales se denota por y la derivada de Lie se denota por . Se pueden utilizar gráficos locales en los que y y utilizar expresiones de coordenadas para la derivada de Lie para ver la equivalencia con expresiones de coordenadas de la ecuación de Euler Lagrange. La forma libre de coordenadas es particularmente adecuada para la interpretación geométrica de las ecuaciones de Euler Lagrange. ${\displaystyle \theta _{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })}$ ${\displaystyle \theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}}$

Véase también

• Mecánica lagrangiana
• Mecánica hamiltoniana
• Mecánica analítica
• Identidad de Beltrami
• Derivada funcional

Notas

1. Fox, Charles (1987). Introducción al cálculo de variaciones . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.
2. Goldstein, H. ; Poole, CP; Safko, J. (2014). Mecánica clásica (3.ª ed.). Addison Wesley.
3. Una breve biografía de Lagrange Archivado el 14 de julio de 2007 en Wayback Machine.
4. Courant y Hilbert 1953, pág. 184
5. Courant, R ; Hilbert, D (1953). Métodos de física matemática . Vol. I (Primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
6. Weinstock, R. (1952). Cálculo de variaciones con aplicaciones a la física y la ingeniería . Nueva York: McGraw-Hill.
7. José; Saletan (1998). Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo. Cambridge University Press. ISBN 9780521636360. Recuperado el 12 de septiembre de 2023 .

Referencias

• "Ecuaciones de Lagrange (en mecánica)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Euler-Lagrange". MundoMatemático .
• Cálculo de variaciones en PlanetMath .
• Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Cálculo de variaciones . Dover. ISBN 0-486-41448-5.
• Roubicek, T.: Cálculo de variaciones. Cap.17 en: Herramientas matemáticas para físicos. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , págs. 551–588.